蔡志丹, 劉青青, 呂顯瑞

(1. 長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130022; 2. 洛陽師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 河南 洛陽 471934; 3. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

為使一個(gè)隨機(jī)微分方程對(duì)任意給定的初始值都有唯一的全局解, 方程的系數(shù)通常需要滿足線性增長(zhǎng)條件和局部Lipschitz條件[1-2], 或者滿足一個(gè)給定的非Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件[3-4], 即線性增長(zhǎng)條件在抑制解的潛在爆炸和保證解的存在性方面具有重要作用. 文獻(xiàn)[5-6]將上述兩類情形推廣到了無窮時(shí)滯隨機(jī)泛函微分方程上. 但實(shí)際應(yīng)用中, 許多重要的無窮時(shí)滯系統(tǒng)并不滿足線性增長(zhǎng)條件, 因此, 研究這些系統(tǒng)解的全局存在性具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

經(jīng)典的Khasminskii-型定理在沒有線性增長(zhǎng)條件的情形下, 通過使用Lyapunov函數(shù)研究了隨機(jī)微分方程解的全局存在性[7-12], 進(jìn)而對(duì)有限隨機(jī)微分方程的全局解建立了各種存在唯一性定理. 文獻(xiàn)[13]給出了不滿足線性增長(zhǎng)條件的無窮時(shí)滯隨機(jī)泛函方程解的存在唯一性定理. 但對(duì)于帶有無窮時(shí)滯的隨機(jī)發(fā)展方程, 目前尚未見文獻(xiàn)報(bào)道. 本文考慮帶無限時(shí)滯的隨機(jī)發(fā)展方程

dx(t)=(Ax(t)+f(t,xt))dt+g(t,xt)dWt,

(1)

其中:xt=xt(θ)∶={x(t+θ): -∞<θ≤0};A表示從V到V*的有界線性算子;f:+×BC((-∞,0];H)→H和g:+×BC((-∞,0];H)→L(U,H)是Borel可測(cè)的,H,U表示可分的Hilbert空間, 有一個(gè)數(shù)量積〈·,·〉.V是一個(gè)可分的Banach空間, 其范數(shù)為 ‖·‖,V?H是連續(xù)稠密的,V*是V的對(duì)偶空間. 由Riesz同構(gòu)知,V?H=H*?V*是連續(xù)稠密的.BC((-∞,0];H)表示從(-∞,0]到H, 具有范數(shù)<∞, 構(gòu)成一個(gè)Banach空間的有界連續(xù)函數(shù)族.L(U,H)表示所有從U到H的有界線性算子空間,L(U,H)是Banach空間,W是(Ω,F,P)上U-值的Brown運(yùn)動(dòng). 令(Ω,F,P)是一個(gè)帶有信息流{Ft}t≥0的完備概率空間,C2(H,+)是H上所有連續(xù)兩次可微的非負(fù)函數(shù)族, 對(duì)任意的V ∈C2(H,+), 定義LV為

假設(shè):

(H1) 設(shè)A是一個(gè)從V到V*上的有界線性算子, 對(duì)p≥2, 存在一個(gè)常數(shù)δ, 使得對(duì)μ∈V, 有‖Aμ‖*≤δ‖μ‖p-1, 且滿足下述強(qiáng)制性條件: 存在常數(shù)α>0和γ>0, 使得

(H2)f和g滿足局部的Lipstiz條件,φ,φ∈BC((-∞,0];H),t≥0, 對(duì)每個(gè)k>0, 存在一個(gè)常數(shù)ck, 使得

‖f(t,φ)-g(t,φ)‖H∨‖g(t,φ)-g(t,φ)‖H≤ck‖φ-φ‖H,

其中‖φ‖H,‖φ‖H≤k.

1 主要結(jié)果

對(duì)方程(1)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的截?cái)嗉夹g(shù), 可得:

定理1在假設(shè)條件(H1),(H2)下, 對(duì)任意的初值ξ∈BC((-∞,0];H), 方程(1)在-∞

則方程(1)在[0,+∞]上存在一個(gè)概率1意義下的全局解.

證明： 由假設(shè)(H1),(H2)和定理1知, 對(duì)任意的初值ξ∈BC((-∞,0];H), 方程(1)在t∈(-∞,τe)上都有一個(gè)唯一的局部強(qiáng)解x(t), 其中τe表示爆破時(shí)間. 為了證明該解是全局的, 只需證明τe=∞. 注意到ξ∈BC((-∞,0];H), 因此必存在一個(gè)正數(shù)k0, 使得|ξ(0)|≤k0. 對(duì)每個(gè)整數(shù)k>k0, 定義停時(shí)

τk=inf{t∈[0,τe]: |x(t)|≥k}.

顯然τk是遞增的, 并且當(dāng)k→∞時(shí),τk→τ∞≤τe. 若τ∞→∞, 則τe=∞, 即x(t)是一個(gè)全局解. 其等價(jià)于對(duì)任意的t>0, 當(dāng)k→∞時(shí),P(τk≤t)→0. 由條件(2), 對(duì)V (x(t)), 應(yīng)用It公式可得

利用Fubini定理, 可得如下估計(jì)：

類似地, 有

(5)

注意到K(t)是一個(gè)不減的函數(shù), 將式(4),(5)替換到式(3)中得

(6)

利用Gronwall不等式, 有

其中:

由停時(shí)τk的定義, 有

即當(dāng)k→∞時(shí),P(τk≤t)→0. 證畢.

為了使條件更簡(jiǎn)便, 指定條件(2), 對(duì)任意的φ∈BC((-∞,0];H), 對(duì)f,g應(yīng)用如下條件.

定理3假設(shè)(H1),(H2)成立, 在條件1),2)下, 如果

(7)

由假設(shè)(H2), 有

由條件1), 有

由條件2)應(yīng)用H?lder不等式得

由I0,I1,I2得

其中

注意到α>2β,p≥2, 因此有

其中K(t)=H(x),a=1,b=c=0. 應(yīng)用定理2即可得到結(jié)果. 證畢.

[1] Arnold L. Stochastic Differential Equations: Theory and Applications [M]. New York: Wiley, 1974.

[2] MAO Xuerong. Stochastic Differential Equations and Applications [M]. Chichester: Horwood Publishing Limited, 1997.

[3] FANG Shizan, ZHANG Tusheng. A Study of a Class of Stochastic Differential Equations with Non-Lipschitzian Coefficients [J]. Probab Theory Related Fields, 2005, 132(3): 356-390.

[4] MAO Xuerong. Exponential Stability of Stochastic Differential Equations [M]. New York: Marcel Dekker Inc, 1994.

[5] REN Yong, XIA Ningmao. Existence, Uniqueness and Stability of the Solutions to Neutral Stochastic Functional Differential Equations with Infinite Delay [J]. Appl Math Comput, 2009, 210(1): 72-79.

[6] WEI Fengying, WANG Ke. The Existence and Uniqueness of the Solution for Stochastic Functional Differential Equations with Infinite Delay [J]. J Math Anal Appl, 2007, 331(1): 516-531.

[7] Khasminskii R Z. Stochastic Stability of Differential Equations [M]. Alphen Aanden Rijn: Sijthoff and Noordhoff, 1980.

[8] MAO Xuerong, Rassias M J. Khasminskii-Type Theorems for Stochastic Differential Delay Equations [J]. Stoch Anal Appl, 2005, 23(5): 1045-1069.

[9] SHEN Yi, LUO Qi, MAO Xuerong. The Improved LaSalle-Type Theorems for Stochastic Functional Differential Equations [J]. J Math Anal Appl, 2006, 318(1): 134-154.

[10] WU Fuke. Khasminskii-Type Theorems for Neutral Stochastic Functional Differential Equations [J]. Math Appl, 2008, 21(4): 794-799.

[11] LI Xinpeng, LIN Xiangyun, LIN Yiqing. Lyapunov-Type Conditions and Stochastic Differential Equations Driven byG-Brownian Motion [J]. J Math Anal Appl, 2016, 439(1): 235-255.

[12] XING Jiaming, LI Yong. Explosive Solutions for Stochastic Differential Equations Driven by Lévy Processes [J]. J Math Anal Appl, 2017, 454(1): 94-105.

[13] WU Fuke, HU Shigeng. Khasminskii-Type Theorems for Stochastic Functional Differential Equations with Infinite Delay [J]. Statist Probab Lett, 2011, 81(11): 1690-1694.