☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 李懷軍

☉河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 黃廣月

為了提升學(xué)生核心素養(yǎng)、深化課程教學(xué)改革，教育部考試中心于2016年10月公布了《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》（教試中心函［2016］179號(hào)），提出“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容”.2017年高考數(shù)學(xué)試題在命制上就體現(xiàn)出上述文件的要求：以太極圖中的陰陽(yáng)魚、劉徽的割圓術(shù)和數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》為背景滲透數(shù)學(xué)文化；關(guān)注社會(huì)發(fā)展，注重引導(dǎo)考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題.［1］高考試題命制的實(shí)踐和探尋，是推進(jìn)考試內(nèi)容改革的切入點(diǎn).湖北省持續(xù)12年自主命制高考數(shù)學(xué)試題（湖北省自2004年起持續(xù)自主命制語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和外語(yǔ)三門高考試題，并按照教育部要求于2016年回歸使用全國(guó)卷.），積累了豐富的命題經(jīng)驗(yàn)，“依托數(shù)學(xué)史料，嵌入數(shù)學(xué)名題，彰顯數(shù)學(xué)文化”［2］便是其中一個(gè)特色.對(duì)此，一些學(xué)者主要從試題賞析［2，3］或?qū)υ嚲砗暧^的把握與展望［4］的角度進(jìn)行了階段性或整體性的研究.本文側(cè)重從整體的角度，對(duì)湖北12年文、理兩科自主命題，共二十四套高考數(shù)學(xué)卷進(jìn)行較為全面的統(tǒng)計(jì)和深入的分析，以總結(jié)出命題特色和經(jīng)驗(yàn)，為廣大高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提供參考.

一、數(shù)學(xué)文化命題的特征分析框架

唐恒鈞等在對(duì)澳大利亞數(shù)學(xué)統(tǒng)一評(píng)估試題進(jìn)行文化研究時(shí)，從顯性要素的角度，將數(shù)學(xué)文化類型分為數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與人文社會(huì)、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)與藝術(shù)體育等6類.［5］對(duì)湖北12年高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)不存在“數(shù)學(xué)與體育”類試題，所以本文將高考試題中的數(shù)學(xué)文化整合為數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)游戲共5類.

二、數(shù)學(xué)文化類試題的命題特征分析

初步統(tǒng)計(jì)，湖北2004～2015年高考數(shù)學(xué)試題共有135道數(shù)學(xué)文化類試題，年度分布如圖1所示.據(jù)此可知，數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技類是數(shù)學(xué)文化命題的兩大傳統(tǒng).其中，數(shù)學(xué)與生活類試題在歷年試題中均有分布，所占比重也幾乎是最高；數(shù)學(xué)與科技類試題在前10年均有出現(xiàn)，且呈穩(wěn)定狀態(tài)，不過于最后2年“消失”于試卷.與此相反的是，數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)游戲散見于某些年份，數(shù)量極少.與前四類截然不同的是，數(shù)學(xué)史自2006年首次出現(xiàn)，之后在數(shù)量上呈上升態(tài)勢(shì)，并在2012～2015年穩(wěn)居高位.

圖1 數(shù)學(xué)文化類型試題2004～2015年度分布

進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，湖北高考數(shù)學(xué)文化命題呈現(xiàn)出以下四個(gè)顯著特征：

1.依托數(shù)學(xué)史料，特色鮮明

如劉翀、儲(chǔ)廣釗所言：“依托數(shù)學(xué)史料，嵌入數(shù)學(xué)名題，彰顯數(shù)學(xué)文化”，這是湖北卷鮮明的特點(diǎn).其實(shí)，經(jīng)過12年時(shí)間的沉淀，湖北卷在數(shù)學(xué)文化類型的呈現(xiàn)上更加豐富多彩.

（1）取材數(shù)學(xué)名著，彰顯中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.

數(shù)學(xué)名著幾乎全部取材于我國(guó)古代的三本古算術(shù)書——《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》和《算數(shù)書》，見表1所示.該類試題主要以我國(guó)古代社會(huì)人們的生活實(shí)際和生產(chǎn)實(shí)際為背景，先用古漢語(yǔ)描述，再用現(xiàn)代漢語(yǔ)進(jìn)行翻譯和解釋.［6］

這些試題的設(shè)計(jì)既符合考生的認(rèn)知水平，又讓考生了解中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)——數(shù)學(xué)要關(guān)注生產(chǎn)、生活等社會(huì)問題，通過了解數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法在認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界中的重要作用.［2］

（2）借助數(shù)學(xué)名題，考查數(shù)學(xué)思想方法.

表1 取材于數(shù)學(xué)名著的試題

表2 取材于數(shù)學(xué)名題的試題

數(shù)學(xué)名題是在歷史發(fā)展的長(zhǎng)河中形成的，并在數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)等方面起過或仍起著重要的作用，在數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)教育史上有重要的地位和特殊的作用.

湖北省12年的高考自主命題數(shù)學(xué)試題中，也融入了數(shù)學(xué)名題、趣題（見表2）.它們大都與經(jīng)典名題有關(guān)，背景涉及古今中外，有助于考生接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，領(lǐng)略古今中外數(shù)學(xué)思想和方法的魅力.

（3）以數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)學(xué)派成果為背景，領(lǐng)略數(shù)學(xué)全貌.

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的成果，他們的思維方法、思維過程、求真向善尚美的精神及獨(dú)特的人格魅力是以“對(duì)象”的形式存貯在知識(shí)的內(nèi)核之中.根據(jù)歷史相似性原理，學(xué)生在面對(duì)新問題時(shí)，很大程度上也會(huì)經(jīng)歷數(shù)學(xué)家相似的思維過程，經(jīng)受精神的洗禮.因此，以數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)學(xué)派成果進(jìn)行命制試題，不僅可以考查學(xué)生的思維方式和方法，也有利于幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展性、直觀性、構(gòu)造性和證偽性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)機(jī)，培育真善美.

以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為例，湖北高考數(shù)學(xué)分別于2009、2012、2013年共三次（見表3）將其圖形數(shù)作為背景命制試題.圖形數(shù)理論源于古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)自然現(xiàn)象和人類生活的觀察和思索——數(shù)不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀，數(shù)量和形狀決定自然物體的形式，并逐漸抽象成“萬物皆數(shù)”的哲學(xué)觀——數(shù)為宇宙提供了一個(gè)概念模型，數(shù)是宇宙萬物的本原.因此，這三道高考題不僅內(nèi)在傳遞著上述的數(shù)學(xué)觀念，也引發(fā)一種思考——數(shù)學(xué)的孕育是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，還能為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供了很好的數(shù)學(xué)文化“引子”，有利于學(xué)生感受“萬物皆數(shù)”的哲學(xué)觀是人類文明史上首次將數(shù)學(xué)與文化緊密結(jié)合，對(duì)于自然科學(xué)的形成和發(fā)展中起到非常巨大的積極作用，體會(huì)列寧對(duì)畢達(dá)哥拉斯所作出的評(píng)價(jià)——“是科學(xué)思維的萌芽同宗教神話之類幻想間的一種聯(lián)系”——的涵義.

2.滲透“數(shù)學(xué)回歸生活”的理念

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》在基本理念中指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.”［7］湖北高考數(shù)學(xué)自主命題較為充分地體現(xiàn)了這一理念（見表4），既密切關(guān)注住房、環(huán)保等社會(huì)熱點(diǎn)問題，也涉及諸如過江大橋的車輛通行能力、車輛載運(yùn)量與成本、志愿服務(wù)、家電送鄉(xiāng)活動(dòng)等交通和公共服務(wù)問題.并且試題對(duì)生活話題的關(guān)注具有很強(qiáng)的時(shí)效性：2008年6月“中星9號(hào)”廣播電視直播衛(wèi)星被成功送入太空，同年8月8日我國(guó)舉辦北京奧運(yùn)會(huì)，2009年這些元素就出現(xiàn)在理科第13題中.

表3 取材于數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)學(xué)派成果的試題

將“數(shù)學(xué)回歸生活”的課程理念貫穿到高考數(shù)學(xué)試題的命制之中，既要求高考試題要貼近生活，蘊(yùn)含生活化的情境.比如2013年文科第3題以小明同學(xué)騎車上學(xué)的三個(gè)連續(xù)事件為情境，讓考生判斷出哪一個(gè)是與這些事件吻合得最好的（距學(xué)校的距離關(guān)于時(shí)間的）圖像.又要讓學(xué)生能夠真切感受到數(shù)學(xué)是有用的，即將學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中，去解決歷史的、當(dāng)下的許多現(xiàn)實(shí)問題.比如2008年文科第19題要求設(shè)計(jì)一張矩形廣告——含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目，兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄間中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸，能使矩形廣告面積最小.

貼近生活與感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，不僅可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的廣泛聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值；同時(shí)還可以使學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí).特別是，在解答應(yīng)用題時(shí)往往需要綜合性的數(shù)學(xué)知識(shí)，這將能幫助學(xué)生形成良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).［8］

3.跨學(xué)科融合，考查素養(yǎng)

科學(xué)與數(shù)學(xué)融合，培養(yǎng)求真精神；技術(shù)與數(shù)學(xué)整合，培養(yǎng)信息素養(yǎng).［9］數(shù)學(xué)與科技類試題利于考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理、化學(xué)、地理、生物、天文、醫(yī)療、衛(wèi)生、環(huán)境等學(xué)科或領(lǐng)域內(nèi)問題的能力，以及探索、創(chuàng)新的精神、人際交往與合作能力和實(shí)踐能力.

表4 數(shù)學(xué)與生活類試題

在數(shù)學(xué)與科技這一類型上，湖北高考試題關(guān)注的范圍比較廣泛，見表5所示.既密切關(guān)注天文、地理相關(guān)的地球科學(xué)，比如嫦娥一號(hào)繞月變軌，水庫(kù)枯水期與最大蓄水量，衛(wèi)星覆蓋區(qū)域與“中星九號(hào)”衛(wèi)星發(fā)射，里氏震級(jí)M計(jì)算公式.又有諸如電子元件連接、放射性元素衰變現(xiàn)象、零部件的防腐處理等有關(guān)物理、化學(xué)物質(zhì)科學(xué)的試題.

4.融入游戲和人文藝術(shù)，玩味數(shù)學(xué)

湖北卷從2009年開始以數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)游戲命制試題，如表6所示.這些試題以其雅趣的形式“娛人”，以其豐富的內(nèi)容“引人”，以其無窮的奧秘“迷人”，以其潛在的功能“育人”.并且，部分?jǐn)?shù)學(xué)游戲類試題與數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)名題交織重疊.

三、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的啟示

由以上分析可知，湖北高考數(shù)學(xué)12年自主命題，逐漸形成了以下命題特色：依托數(shù)學(xué)史料，特色鮮明；滲透“數(shù)學(xué)回歸生活”的理念；跨學(xué)科融合，考查素養(yǎng)；融入游戲和人文藝術(shù)，玩味數(shù)學(xué).從試題的分析得到以下數(shù)學(xué)教學(xué)改革的啟示.

1.進(jìn)一步擴(kuò)大素材遴選范圍

教學(xué)素材既可以來源于生活、科技、數(shù)學(xué)名著或名題，也可以取材于高等數(shù)學(xué)，還可以從對(duì)古中國(guó)、古印度等世界古代數(shù)學(xué)文明，甚至包括現(xiàn)、當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)家在內(nèi)的研究成果進(jìn)行加工獲得.比如，狄利克雷函數(shù)、（上、下）取整函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、群、環(huán)、無窮的概念與性質(zhì)，楊輝三角與排列組合，祖暅原理與微積分，劉徽的出入相補(bǔ)原理、割圓術(shù)與徽率，以及張丘建、朱世杰、秦九韶、祖沖之、李善蘭等數(shù)學(xué)家的杰出貢獻(xiàn)就是重要的教學(xué)素材.更有必要從教材文本中挖掘重要概念、法則、公式、定理、典型例、習(xí)題并加以改編，從國(guó)內(nèi)外經(jīng)典的數(shù)學(xué)游戲中遴選出集趣味性、啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性與評(píng)價(jià)性于一體的游戲題材，甚至從“萬物皆數(shù)”到“數(shù)學(xué)是一種文化體系”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀的嬗變中提取思想素材.

2.倡導(dǎo)發(fā)生式教學(xué)法

發(fā)生教學(xué)法是根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程與數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程存在相似性，將數(shù)學(xué)思想逐步演化的歷史過程與數(shù)學(xué)嚴(yán)格的邏輯推理過程有機(jī)地結(jié)合起來，運(yùn)用數(shù)學(xué)史的觀點(diǎn)和材料來重新組織教學(xué)的體系與內(nèi)容，使學(xué)生真正理解課本上形式化推理體系背后的真正內(nèi)涵.［10］運(yùn)用發(fā)生教學(xué)法時(shí)，教師首先要通過創(chuàng)設(shè)情境等方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、動(dòng)機(jī)，并在學(xué)生心理活動(dòng)發(fā)展到恰當(dāng)時(shí)機(jī)講授某個(gè)主題.在整個(gè)教學(xué)過程中，要根據(jù)重構(gòu)的歷史進(jìn)行教學(xué)，呈現(xiàn)知識(shí)的自然發(fā)生過程，努力讓學(xué)生在“文化繼承”中進(jìn)行“意義賦予”.

表5 數(shù)學(xué)與科技類試題

表6 數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)游戲類試題

3.強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)回歸生活

教師要針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從歷史生活與當(dāng)下生活中尋求素材，根據(jù)學(xué)生特征與教學(xué)環(huán)境選擇生活素材作為教學(xué)素材，以及利用教學(xué)素材設(shè)計(jì)生活化的教學(xué)方案，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育形態(tài)，也即“數(shù)學(xué)生活化”.另一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生在生活化的學(xué)習(xí)情境中探究、體驗(yàn)或欣賞隱藏于其中的數(shù)學(xué)，用現(xiàn)實(shí)生活素材理解數(shù)學(xué)，用所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活，從生活場(chǎng)景中實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”.［8］

4.踐行跨學(xué)科教育理念

從狹義上講，跨學(xué)科教育是基于復(fù)雜的問題通過多學(xué)科知識(shí)和方法的整合促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教育.跨學(xué)科教育的產(chǎn)生是人們對(duì)知識(shí)、科技乃至社會(huì)發(fā)展至今的一個(gè)全新的、深刻的認(rèn)識(shí)和訴求，具有優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力、提升綜合素養(yǎng)的教育意義和價(jià)值.［11］教師可以通過教師之間的合作教學(xué)和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，初步踐行跨學(xué)科教學(xué)理念.對(duì)于前者，教師之間可以采取全程合作教學(xué)、角色替換合作教學(xué)、互補(bǔ)合作教學(xué)、小組輪換合作教學(xué)等不同方式的合作教學(xué).而對(duì)于后者，教師可以通過拋錨式教學(xué)、情境式教學(xué)、研討式教學(xué)、探究式教學(xué)、研究性教學(xué)，突出以學(xué)生為中心、強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)精神、促進(jìn)合作學(xué)習(xí).

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