☉廣東省東莞市東華高級中學(xué) 張紅蓮

作為高中數(shù)學(xué)解析幾何中的重點(diǎn)難點(diǎn)，圓錐曲線問題在高考中屢見不鮮，這也是令大多數(shù)學(xué)生感到頭疼的一類問題.所以對這類相關(guān)問題進(jìn)行詳細(xì)解析非常有必要，教師應(yīng)該做到庖丁解牛般分析問題，讓學(xué)生從根本上理解和掌握這類問題，而韋達(dá)定理的運(yùn)用對于解決這類問題至關(guān)重要，通過靈活地運(yùn)用韋達(dá)定理，必然能夠很好地解決圓錐曲線相關(guān)的解析幾何難題.

一、真題呈現(xiàn)

例1 如圖1所示，已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1，它的圓心為點(diǎn)M.

（1）求點(diǎn)M到拋物線C1準(zhǔn)線的距離；

（2）已知點(diǎn)P是拋物線C1上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，并且使切線交拋物線C1于點(diǎn)A和B，如果經(jīng)過點(diǎn)M和點(diǎn)P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

二、試題點(diǎn)評

本題主要考查圓錐曲線問題的應(yīng)用，通過將拋物線與圓相結(jié)合，綜合考查了解析幾何的相關(guān)知識.對于第（1）問的解答，并不存在太大的問題，只要先求出拋物線準(zhǔn)線的方程，再利用圓心的坐標(biāo)M（0，4），可以輕松得到圓心到拋物線準(zhǔn)線之間的距離.而對于第（2）問，解決問題的途徑有許多，主要有三種方法：①M(fèi)的坐標(biāo)已知，設(shè)直線l的斜率為k，利用斜率求方程；②利用兩點(diǎn)式，設(shè)P的坐標(biāo)然后求解；③確定AB的斜率，然后確定要求的斜率，分析后再求解.綜合分析這三種方法，經(jīng)過對比之后可以發(fā)現(xiàn)第①種方法需要求出P的坐標(biāo)，再求切線方程會復(fù)雜，過A、B兩點(diǎn)的斜率計(jì)算量太大，而第②種則較為簡單，可以大大提高解題效率，第③種方法實(shí)際上并不可行.所以綜合比較之后采用第②種方法求解最為合理，即由P點(diǎn)出發(fā)，設(shè)出切線的斜率，再利用韋達(dá)定理找到直線斜率與P點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，繼而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)之后，直線l的方程自然容易解出.

三、試題解析

本題的關(guān)鍵在于未知數(shù)的設(shè)定以及一元二次方程的構(gòu)造，接著可以運(yùn)用韋達(dá)定理，構(gòu)造相應(yīng)的等量關(guān)系，從而求出未知數(shù)的值.韋達(dá)定理的使用大大提高了解題的效率，讓解題能夠做到有的放矢.本題若不能夠靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，解題的過程將會十分煩瑣，浪費(fèi)寶貴的時間以及精力，為了能夠鞏固知識，筆者接著再介紹一道運(yùn)用韋達(dá)定理解決圓錐曲線問題的例子.

四、試題延伸

（1）求出橢圓M的方程；

（2）如果橢圓上有兩點(diǎn)P，Q，使得∠PBQ的角平分線垂直于AO，請問是否存在實(shí)數(shù)λ（λ≠0）使得說明理由.

問題解析：對于問題（1），通過離心率的值和B點(diǎn)的坐標(biāo)，易得橢圓M的方程為.對于問題（2），可以采用“設(shè)而不求”的方法，設(shè)直線PB的斜率為k，那么根據(jù)∠PBQ的角平分線垂直于AO，即垂直于x軸，所以QB的斜率為-k，因此可以設(shè)出PB，QB的直線方程，即y=k（x-1）+1和y=-k（x-1）+1.由（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0①，由于直線PB與橢圓有2個交點(diǎn)，所以方程①有2個實(shí)根，那么Δ＞0，得

又因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓上，所以x=1是方程①的一個實(shí)根，可設(shè)P（xP，yP），Q（xQ，yQ），再根據(jù)韋達(dá)定理，得xP×1=可得直線PQ的斜率的坐標(biāo)為（2，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-1），易得直線AC的斜率為，所以k=k，故向量與向量平行，所以PQAC存在實(shí)數(shù)λ（λ≠0）使得

本題的解題思路與第一道例題是相似的，只是將拋物線換成了橢圓，但是問題的本質(zhì)是一樣的.解題的關(guān)鍵依舊是一元二次方程的構(gòu)造以及韋達(dá)定理的靈活運(yùn)用，接著找到相應(yīng)的等量關(guān)系，解出所要求的未知數(shù).

五、總結(jié)提高

圓錐曲線問題一直是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)難點(diǎn)，在每年的高考中都會有考查，而且一般是以壓軸題的形式出現(xiàn)，順利地解決這類問題需要學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力.但是這類問題的解決是有一定的套路的，一般是先將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出，采用設(shè)而不求的方法，得到相關(guān)的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理找到其中的關(guān)系，最終解決問題.這種方法對學(xué)生的基本運(yùn)算能力提出了比較高的要求，煩瑣的計(jì)算需要學(xué)生有扎實(shí)的基本功，因此學(xué)生在平時的高考復(fù)習(xí)中需要進(jìn)行大量的基本功訓(xùn)練，只有通過不斷的訓(xùn)練，才能提高自己的數(shù)學(xué)能力，從而在高考中取得優(yōu)異的成績.

1.吳興國.解決圓錐曲線問題的一把“利器”——談“設(shè)而不求”思想在解析幾何中的妙用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（1）.

2.姜坤崇.巧解圓錐曲線中的“焦點(diǎn)分弦所成比”問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2011（11）.

3.嵇廣陽.橢圓重要考點(diǎn)分析及解題策略［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（7）.H