☉江蘇省南京市第十二中學(xué) 韓 靜

探索式教學(xué)是一種非常前沿的教學(xué)方式，其在上個(gè)世紀(jì)五十年代漸漸成為一種合理的教學(xué)方式.據(jù)筆者在各種參考資料上研究表明，探索式教學(xué)在國(guó)外公立學(xué)校中的使用頻率是相當(dāng)高的，其目的旨在通過(guò)學(xué)生探索使其主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的形成，從而牢固地掌握知識(shí)體系.本文以三角函數(shù)內(nèi)容《兩角差的余弦》為例，談一談自身的教學(xué)設(shè)計(jì)，如何讓學(xué)生理解公式的形成、推導(dǎo)，以及這樣設(shè)計(jì)的原因，請(qǐng)讀者指正.

一、背景分析

本課是人教版必修四第三章第一節(jié)的內(nèi)容，它是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式教學(xué)內(nèi)容的延續(xù)，同時(shí)也是兩角和、差和倍角公式的源頭，是三角恒等變換的基礎(chǔ).它對(duì)于三角變換、三角恒等式的證明都有著極強(qiáng)的工具性作用，是承上啟下的重要知識(shí).

從學(xué)生的教學(xué)掌握水平來(lái)看，其已經(jīng)掌握了利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)，學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式.理解了平面向量及其運(yùn)算的意義，并能用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，經(jīng)歷了用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.然而學(xué)生對(duì)向量作為工具處理問(wèn)題的廣泛可用性體會(huì)不深，很難將一個(gè)三角問(wèn)題聯(lián)想到用向量來(lái)解決.同時(shí)思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)，教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分清楚兩角差與相應(yīng)向量夾角的區(qū)別和聯(lián)系.

完成本節(jié)知識(shí)的主要目標(biāo)是：第一，通過(guò)向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式.通過(guò)公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能；第二，通過(guò)公式的推導(dǎo)，著重培養(yǎng)學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和數(shù)學(xué)交流的能力.同時(shí)通過(guò)公式的靈活運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和變化能力；第三，在教師的設(shè)計(jì)下，通過(guò)探索式教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)、自我鉆研的精神，從學(xué)科素養(yǎng)的角度提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

二、設(shè)計(jì)思路

（1）兩角差的余弦作為和差關(guān)系的起始課，是有一定難度的.這里往后的三角公式與前期的三角公式有著本質(zhì)的不同，因此如何設(shè)計(jì)教學(xué)成為關(guān)鍵.關(guān)于兩角差余弦公式的認(rèn)知起點(diǎn)：我們都知道，教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生已有的與本節(jié)課相關(guān)的知識(shí)作為認(rèn)知起點(diǎn)來(lái)展開(kāi)教學(xué)，那么什么知識(shí)與兩角差的余弦公式有直接聯(lián)系呢？答案是誘導(dǎo)公式.我們都知道誘導(dǎo)公式是兩角和差公式的特殊情況，按照特殊與一般地辯證思想，誘導(dǎo)公式中反應(yīng)出來(lái)的核心知識(shí)，思想方法在兩角差的余弦公式中會(huì)有更一般的反應(yīng).

圖1

圖2

誘導(dǎo)公式（一除外）反映圓的對(duì)稱性，看如下事實(shí)：π-α與α的終邊關(guān)于的終邊所在直線對(duì)稱，如圖1-α與α的終邊關(guān)于的終邊所在直線對(duì)稱，可以歸納出β-α與α的終邊關(guān)于的終邊所在直線對(duì)稱.這說(shuō)明兩角差的余弦公式本質(zhì)是對(duì)稱，是一個(gè)角的終邊關(guān)于另一個(gè)角的一半的終邊所在直線的對(duì)稱問(wèn)題，是圓的對(duì)稱性的廣泛意義上的代數(shù)解析式.如圖2，從對(duì)稱性角度求解如下：

直角坐標(biāo)系xoy 直角坐標(biāo)系x′oy′

（2）鑒于此處的探究本質(zhì)上是教師牽引學(xué)生完成，刪去教材中“幾何證明”部分.對(duì)比人教版、北師大版、蘇教版教材，只有人教版有“幾何證明”內(nèi)容，表明“幾何證明”不是必需的；從證明的簡(jiǎn)潔程度和教材的編排順序來(lái)看，著重要學(xué)習(xí)的是向量法證明，“幾何證明”的作用是思路的一個(gè)過(guò)渡，是考慮到證明兩角差余弦公式時(shí)學(xué)生不容易想到向量方法，而是更容易想到三角函數(shù)線，根據(jù)三角函數(shù)線設(shè)計(jì)的一個(gè)辦法.新的設(shè)計(jì)只要從三角函數(shù)線入手，逐步遷移到向量法即可.

（3）探索過(guò)程不追求一步到位，先不理會(huì)其中的細(xì)節(jié)，抓住主要問(wèn)題進(jìn)行探索，然后再反思完善.設(shè)計(jì)思路經(jīng)歷以下兩個(gè)階段的修正：

圖3

圖4

第一階段：如圖3，圖4，將α，β特殊成45°和30°，將求cos（α-β）問(wèn)題修改為求cos15°，有利于顯化已知條件和所求解，讓學(xué)生有可能從解三角形的角度解決問(wèn)題，如圖3，圖4，即在等腰△AOB中，已知三邊，求頂角∠AOB.

設(shè)計(jì)的好處如下：第一，從求cos（π-α）遷移到求cos很自然地聯(lián)系到角的定義，單位圓，三角函數(shù)線；第二，很自然地體現(xiàn)角-α的終邊.這里有一個(gè)問(wèn)題，是否需要體現(xiàn)-α的終邊？之前的學(xué)習(xí)通過(guò)旋轉(zhuǎn)的方式將角推廣到任意角，并用終邊與單位圓的交點(diǎn)來(lái)定義三角函數(shù)，而本課又是探究-α的三角函數(shù)，應(yīng)該畫(huà)出-α的終邊，從而體現(xiàn)這個(gè)角的三角函數(shù)，讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的聯(lián)系；第三，通過(guò)探究-α的位置，如圖5，得到△AOP?△P1OP2，將余弦線OM的長(zhǎng)等價(jià)到OM2的長(zhǎng)，通過(guò)提示OM2的含義：線段OP2在線段OP1上的射影，容易聯(lián)想到向量投影，從而過(guò)渡到向量方法求解.

圖5

三、步驟分析

步驟2：你認(rèn)為公式會(huì)是cos（α-β）=cosα-cosβ嗎？讓學(xué)生自己動(dòng)腦，動(dòng)手驗(yàn)證，從而認(rèn)識(shí)要探索的意圖：公式在“恒等”方面要求的意義.第一，使學(xué)生明確常犯的直覺(jué)性錯(cuò)誤為什么是錯(cuò)的；第二，統(tǒng)一對(duì)探究目標(biāo)中“恒等”要求的認(rèn)識(shí).

步驟3：回憶cos（π-α）=-cosα推導(dǎo)的過(guò)程.

意圖：教師展示“回顧過(guò)程”，回顧三角函數(shù)的定義，為下一步做好鋪墊.

圖6

圖7

步驟5：分析要求的量和已知條件.

意圖：學(xué)生依次思考以下問(wèn)題：第一，已知條件都集中在哪個(gè)三角形內(nèi)，已知什么？第二，余弦線OM可以轉(zhuǎn)化為△P1OP2中哪段長(zhǎng)？第三，有沒(méi)有辦法求解OM1的長(zhǎng).

步驟6：注意到OM2的含義：線段OP2在線段OP1上的射影.你在學(xué)習(xí)什么知識(shí)時(shí)接觸過(guò)射影的概念？

意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷怎樣用向量知識(shí)作出探索的過(guò)程：第一，結(jié)合圖形，明確應(yīng)選擇哪幾個(gè)向量，它們?cè)趺幢硎?？第二，怎樣利用向量?shù)量積的概念和計(jì)算公式得到探索結(jié)果；第三，③將求射影遷移到求夾角余弦上來(lái).

圖8

圖9

步驟7：推導(dǎo)cos（α-β）.

意圖：第一，觀察以上圖8和圖9，指出α-β與向量夾角θ之間的關(guān)系；第二，推導(dǎo)cos（α-β）與cosθ的關(guān)系.

步驟8：用兩角差的余弦公式證明：

意圖：體會(huì)誘導(dǎo)公式是兩角和差公式的特殊情況.

步驟9：教材例題1、例題2.

意圖：通過(guò)應(yīng)用理解公式最基礎(chǔ)的練習(xí).第一，三角變換關(guān)注角的拆分，易于理解；第二，由于是具體角，拆分過(guò)程容易進(jìn)行；第三，拆分的多樣性，決定變換的多樣性；第四，思考問(wèn)題：由求sin75°的值，為后面變換函數(shù)種類的思考作出鋪墊；第五，它需要思考實(shí)用公式前應(yīng)做出的必要準(zhǔn)備；第六，作出必要準(zhǔn)備要運(yùn)用同角三角函數(shù)的知識(shí).

步驟10：小結(jié).

意圖：教師可引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下方面小結(jié)：第一，對(duì)公式的探索過(guò)程：怎么聯(lián)系有關(guān)知識(shí)？怎么進(jìn)行探索？在探索方法方面的啟示；第二，利用差角余弦公式方面：對(duì)公式結(jié)構(gòu)和功能的認(rèn)識(shí)；三角式變換的特點(diǎn)；表述變換過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生思考建構(gòu)探索過(guò)程中解決問(wèn)題的方式方法.

總之，探索式課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)是整節(jié)課流程的關(guān)鍵，從課程流程中，我們不難發(fā)現(xiàn)教師合理的設(shè)計(jì)是引發(fā)學(xué)生探索的主動(dòng)力，在教學(xué)中需要不斷引導(dǎo)學(xué)生探索，這種學(xué)習(xí)方式有助于學(xué)生后續(xù)形成正確的知識(shí)學(xué)習(xí)觀，有助于其學(xué)科素養(yǎng)能力的形成.

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