韓佳輝， 畢大平， 陳 璐

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，合肥 230037)

0 引言

波達(dá)方向(Direction of Arrival，DOA)估計(jì)是雷達(dá)對(duì)抗偵察領(lǐng)域的一重要研究方向。隨著戰(zhàn)場(chǎng)電磁環(huán)境日益復(fù)雜，傳統(tǒng)的超分辨算法如MUSIC(Multiple Signal Classification)[1]算法已經(jīng)不能滿足作戰(zhàn)要求。研究表明陣列DOA估計(jì)性能取決于陣列孔徑的大小[2]，稀疏陣可以有效增加陣列孔徑[3]。但當(dāng)陣元間距大于信源半波長(zhǎng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生DOA估計(jì)模糊問(wèn)題[4-5]。文獻(xiàn)[6-8]提出利用Khatri-Rao(KR)積估計(jì)方法，可以估計(jì)大于陣元數(shù)目的信源，但是只適用于均勻線陣;文獻(xiàn)[9-11]提出了稀疏嵌套陣列形式，但是陣列結(jié)構(gòu)復(fù)雜，運(yùn)算量大，實(shí)時(shí)性不好。針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出了基于虛擬孔徑擴(kuò)展的非均勻稀疏測(cè)向算法,該算法適用多種陣列形式，并且在進(jìn)行虛擬孔徑擴(kuò)展的同時(shí)，將多快拍數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為單快拍數(shù)據(jù)，提高了計(jì)算速度。

1 MUSIC算法模型

如圖1所示，考慮陣元數(shù)目為M的非均勻稀疏線陣，陣元位置坐標(biāo)為z=(z1,z2,…,zM)。并且gcd(z1,z2,z3,…,zM)≤λ/2，gcd(·)表示求解最大公約數(shù)，λ為信號(hào)的工作波長(zhǎng)。那么此陣列不存在角度模糊[12]。P個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶不相關(guān)的信源以來(lái)波方向θi(i=1,2,…,P)入射到該陣列上，陣列的接收信號(hào)為

y(t)=Ax(t)+n(t)

(1)

(2)

(3)

由式(3)使θ變化，可通過(guò)尋找波峰來(lái)估計(jì)到達(dá)角。

圖1 非均勻線陣Fig.1 Non-uniform linear array

2 基于虛擬孔徑擴(kuò)展的DOA估計(jì)

2.1 虛擬孔徑擴(kuò)展思想

若信號(hào)與噪聲之間互不相關(guān)，式(2)的陣列協(xié)方差矩陣可以寫(xiě)為

(4)

(5)

(6)

式中:?代表Kronecker積運(yùn)算，導(dǎo)向矢量

a*(θi)?a(θi)=(ejωi(z1-z1)ejωi(z2-z1)…ejωi(zk-zj)…ejωi(zM-zM))T

(7)

式中:k=1,2,…,M;j=1,2,…,M。由此看出，經(jīng)過(guò)KR積運(yùn)算后，增加了大量虛擬陣元，陣元位置為集合{zk-zj,1≤k,j≤M}中不同的值，且不同值的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)大于原陣元數(shù)M。比較擴(kuò)展前的導(dǎo)向矢量，可知陣列孔徑得到很大的擴(kuò)展，陣列自由度增大。

(8)

(9)

2.2 任意陣列下的空間平滑算法

任意陣列下解決相干信號(hào)的空間平滑算法是基于陣列映射的思想，通過(guò)設(shè)計(jì)映射矩陣，將非均勻線陣映射為虛擬均勻線陣，然后使用空間平滑算法進(jìn)行DOA估計(jì)。陣列映射的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)映射函數(shù)f(·)，使

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

xfl(t)=(xl(t)xl+1(t) …xl+N-1(t))T=
ANDl-1s(t)+nl(t) 1≤l≤L

(15)

式中：D=diag(ejω1ejω2… ejωP)為P×P維矩陣；AN=(aN(θ1)aN(θ2) …aN(θP))為N×P維的子陣陣列流形矩陣，其中,aN(θi)=(ejωiz1ejωiz2… ejωizM)T,i=1,2,…,P；nl(t)表示噪聲矢量。則第l個(gè)前向子陣的協(xié)方差矩陣為

(16)

式中:RS為空間平滑前陣列協(xié)方差矩陣；σ2為噪聲方差;IN為N×N維的單位矩陣。對(duì)L的子陣的協(xié)方差矩陣加權(quán)平均后，可得前向空間平滑協(xié)方差矩陣為

(17)

后向空間平滑的協(xié)方差矩陣為

Rb=J(Rf)*J

(18)

式中:(·)*代表復(fù)共軛;J是N×N維的反對(duì)角線元素為1其余元素均為0的置換矩陣。因此，可以前后向空間平滑協(xié)方差矩陣為

(19)

2.3 算法步驟

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 DOA估計(jì)分辨率性能

采用非均勻稀疏線陣，陣元數(shù)目M=4，陣元位置坐標(biāo)z=[0,3,7,13]，兩不相關(guān)窄帶信號(hào)分別以θ1=-20°,θ2=20°兩角度入射，信號(hào)波長(zhǎng)λ=2。信噪比(SNR)為10 dB，快拍數(shù)500，采用本文算法與MUSIC算法得到的結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，對(duì)于來(lái)自θ1,θ2的兩個(gè)窄帶不相關(guān)信號(hào)，兩種算法都能實(shí)現(xiàn)角度估計(jì)，但本文算法空間譜較MUSIC算法擁有更低的旁瓣，估計(jì)結(jié)果更好。

圖2 本文算法與MUSIC算法DOA估計(jì)結(jié)果Fig.2 DOA estimation result of our algorithm and MUSIC algorithm

3.2 可估計(jì)信號(hào)個(gè)數(shù)

MUSIC算法采用陣元數(shù)目M=8，陣元位置坐標(biāo)為z=[0,1,2,3,4,5,6,7]的均勻線陣。本文算法采用陣元數(shù)目M=4，陣元位置坐標(biāo)z=[0,3,7,13]的非均勻稀疏線陣。信源數(shù)目P=6，窄帶不相關(guān)信源分別以角度[-30°,-20°,-10°,0°,15°,25°]入射到這兩個(gè)陣列上，信號(hào)波長(zhǎng)λ=2。信噪比(SNR)為10 dB，快拍數(shù)500，兩種算法得到的結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 MUSIC算法DOA估計(jì)結(jié)果(M=8,P=6)Fig.3 The DOA estimation result of MUSIC algorithm (M=8,P=6)

圖4 本文算法DOA估計(jì)結(jié)果(M=4,P=6)Fig.4 The DOA estimation result of our algorithm (M=4,P=6)

從圖3可以看出，在陣元數(shù)目小于信源數(shù)目的情況下， MUSIC算法不能有效地實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。從圖4結(jié)果可以看出，在信源數(shù)目大于陣元數(shù)目的情況下，本文算法可以無(wú)模糊地估計(jì)出信源DOA，并且空間譜旁瓣很低，角度分辨率很高。

3.3 均方根誤差

采用非均勻稀疏線陣，陣元數(shù)目M=4，陣元位置坐標(biāo)z=[0,3,7,13]。信號(hào)以θ=10°入射，信號(hào)波長(zhǎng)λ=2。信噪比從-12 dB變化到6 dB，每2 dB做300次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn),快拍數(shù)500。比較信噪比對(duì)本文算法和MUSIC算法影響,結(jié)果如圖5所示。

圖5 均方根誤差隨信噪比變化Fig.5 Change of RMSE with SNR

從圖5可以看出，當(dāng)信噪比小于-8 dB時(shí)，本文算法仍然能夠有效地實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，而MUSIC算法性能急劇下降;當(dāng)信噪比較高時(shí)，本文算法相較于空間平滑算法具有更低的均方根誤差。

信噪比為0 dB，快拍數(shù)從0變化到300,其他條件同上。比較快拍數(shù)對(duì)本文算法和MUSIC算法影響，結(jié)果如圖6所示。

圖6 均方根誤差隨快拍數(shù)變化Fig.6 Change of RMSE with number of snapshots

從圖6可以看出:在快拍數(shù)小于100大于50時(shí)，MUSIC算法性能急劇下降，本文算法能保持良好的估計(jì)性能;當(dāng)快拍數(shù)大于100時(shí)，本文算法相較于MUSIC算法擁有更小的均方根誤差，估計(jì)性能更好。

4 結(jié)論

本文針對(duì)常規(guī)均勻線陣DOA估計(jì)中可測(cè)信源數(shù)目不足的問(wèn)題，提出了一種基于虛擬孔徑擴(kuò)展的非均勻稀疏陣測(cè)向算法。通過(guò)虛擬孔徑擴(kuò)展的原理，重構(gòu)陣列接收信號(hào)協(xié)方差矩陣，然后結(jié)合任意陣列下的空間平滑算法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)證明，相較于傳統(tǒng)的MUSIC算法，本文算法有效擴(kuò)展了陣列孔徑，增加了陣列自由度，從而增加了可估計(jì)信源數(shù)目，在信源數(shù)大于陣元數(shù)時(shí)可以實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。與傳統(tǒng)MUSIC算法相比，角度分辨率有所提升，同時(shí)在低信噪比和小快拍情況下，具有較好的估計(jì)性能，并且本文算法對(duì)陣列形式限制較少，減少了天線設(shè)計(jì)難度，具有很高的應(yīng)用價(jià)值。

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