余德民, 梅超群

(1.湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽 414006;2.首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,北京 100070)

1 引言

Z為整數(shù)集合,C為復(fù)數(shù)域,項(xiàng)鏈李代數(shù)是新的一類特征0上的無限維李代數(shù).在非交換幾何的研究中,當(dāng)探討Weyl代數(shù)A1(C的C-代數(shù)自同構(gòu)群AutA1(C)在軌道Weyln上的作用時(shí),得到一個(gè)AutA1(C)在n×n矩陣軌道空間Calon上的可遷作用,但是此作用是不可微的,從而是非代數(shù)的.Berest和Wilson提出是否可將Calon等同于某種無限維李代數(shù)的余伴隨軌道.文獻(xiàn)[1-2]都曾用項(xiàng)鏈字刻畫自由李代數(shù)的基,來試圖解決Berest和Wilson提出的問題,但都沒有成功,文獻(xiàn)[3-4]分別引入了項(xiàng)鏈李代數(shù)解決了這一問題.項(xiàng)鏈李代數(shù)是某一箭圖Q所誘導(dǎo)的重箭圖ˉQ中全體項(xiàng)鏈字為基張成的無限維向量空間,并在此向量空間上定義了特殊的李運(yùn)算.箭圖在代數(shù)表示論應(yīng)用已經(jīng)越來越廣泛[5-6],并成為代數(shù)表示論的基本概念.項(xiàng)鏈李代數(shù)在非交換幾何及奇點(diǎn)理論,量子群等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.我們曾經(jīng)研究過一些項(xiàng)鏈李代數(shù)的同構(gòu)和同態(tài)[7-8],在文獻(xiàn)[7]中研究了一些特殊箭圖的同構(gòu),這些同構(gòu)包括單向循環(huán)箭圖,混向循環(huán)箭圖以及垂直疊加的箭圖和水平疊加的箭圖的同構(gòu).在文獻(xiàn)[8]中研究了些特殊箭圖的同態(tài),這些同態(tài)包括只有兩個(gè)頂點(diǎn),兩條不同方向的箭圖,只有三個(gè)頂點(diǎn),三條同方向的箭圖以及n個(gè)頂點(diǎn),n條不同方向的箭圖的同態(tài).梅超群[9]研究了項(xiàng)鏈李代數(shù)的一些特殊項(xiàng)鏈李代數(shù)的結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[10]研究了可傳遞李代數(shù)的結(jié)構(gòu).本文重點(diǎn)討論了由一個(gè)特殊箭圖誘導(dǎo)的項(xiàng)鏈李子代數(shù),并證明了其中一些李子代數(shù)是半單李代數(shù).后續(xù)研究工作將探討項(xiàng)鏈李代數(shù)的一些重要性質(zhì),如半單性,可解性,可分解性.

2 主要結(jié)果

令

是任一具有兩個(gè)或兩個(gè)以上頂點(diǎn)的連通有向圖,其中

是Q的頂點(diǎn)集合,Q中的有向邊稱之為箭,

Q1是Q中所有箭的集合,s,t是從Q1到Q0的映射,使對?α∈Q1,s(α)=v是α的起點(diǎn),t(α)=v′是α的終點(diǎn),記作α:v→v′,且s(α)≠t(α),并稱Q是一個(gè)箭圖.Q中有箭序列:

這里i1,···,iu ∈ {1,···,m}.如果滿足

則稱

為Q中的路,若還有則稱c是一個(gè)循環(huán),u稱為循環(huán)的長度.在箭圖Q的所有循環(huán)集合上定義關(guān)系～如下,設(shè)c是Q中的一個(gè)循環(huán),若c′是依次輪換c中的箭頭而得到的循環(huán),定義c′～c.顯然～是等價(jià)關(guān)系.Q的一個(gè)循環(huán)等價(jià)類稱為Q的一個(gè)項(xiàng)鏈詞.若是循環(huán),則相應(yīng)的項(xiàng)鏈字用圖 1表示如下:

圖1 循環(huán)c=···對應(yīng)的項(xiàng)鏈字

對于Q中的每個(gè)箭α:v→ v′,添加α關(guān)于v,v′的對稱箭α?,即α?:v′→ v,α?稱為α的星化得到Q所誘導(dǎo)的重箭圖.記

β?也稱為β的星化。顯然從定義可知將中所有的循環(huán)等價(jià)類即所有的項(xiàng)鏈詞構(gòu)成集合記此集合中所有的元素為基在C上張成向量空間為NQ.

(ω1,ω2的箭的下標(biāo)排列順序一旦取定之后,便再不能置換),?i ∈ {1,···,r},j ∈ {1,···,s},?α ∈Q1,在集合定義二元運(yùn)算如下[3-4]:

將上述李運(yùn)算線性地?cái)U(kuò)展到NQ,對于任意的ai,bj∈C,x,y∈NQ,令

定義

可驗(yàn)證上述定義的李運(yùn)算[ω1,ω2]與ω1,ω2所選的循環(huán)代表無關(guān),及箭的排列順序無關(guān).

根據(jù)(1)式與如下圖2所示的項(xiàng)鏈字,可以形象的定義李運(yùn)算:對有

圖2 李運(yùn)算的形象定義

即?α ∈Q1,如果α出現(xiàn)于ω1中,再找尋α?是否出現(xiàn)于ω2中,若是,則同時(shí)刪去α和α?,以打開ω1和ω2這兩個(gè)項(xiàng)鏈,將打開后的兩條路的首尾對應(yīng)相接（同一頂點(diǎn)接在一起）,構(gòu)成一個(gè)新的項(xiàng)鏈字,若α在ω1出現(xiàn)n1次,若α在ω2出現(xiàn)n2次,則這個(gè)過程需重復(fù)n1n2次,這n1n2個(gè)項(xiàng)鏈字的和構(gòu)成一個(gè)新的項(xiàng)鏈字的組合,若α?不在ω2中,則將新的項(xiàng)鏈字看作0.然后在ω2中找尋上述的α,在ω1中找尋α?.重復(fù)上述操作,得到又一新的項(xiàng)鏈字組合,用先得到的新的項(xiàng)鏈字組合減去后得到項(xiàng)鏈字組合,最后遍歷?α∈Q1,把相減后得到的所有的項(xiàng)鏈字加起來,和式為 [ω1,ω2].因?yàn)?/p>

所以

于是此李運(yùn)算在此向量空間NQ上滿足反對稱性,也可驗(yàn)證此李運(yùn)算滿足雙線性和封閉性和Jacobi恒等式.

假定六個(gè)頂點(diǎn)的箭圖如圖3所示:

圖3 箭圖

如果一個(gè)項(xiàng)鏈字

那么k1,k2稱為項(xiàng)鏈字ω1的復(fù)制指數(shù).

如果一個(gè)項(xiàng)鏈字

那么k1,k2稱為項(xiàng)鏈字ω1的復(fù)制指數(shù).

g1是α2α?2(α2α3α1)k1(α4α5α6)k2,?k1＞0,?k2＞0,k1,k2∈Z,張成的線性空間;

g2是α4α?4(α2α3α1)q1(α4α5α6)q2,?q1＞0,?q2＞0,q1,q2∈Z,張成的線性空間;由于?k1＞0,k1∈Z,k2＞0,k2∈Z,q1＞0,q1∈Z,q2＞0,q2∈Z,

從而g1是李子代數(shù).

?k1＞0,k1∈Z,k2＞0,k2∈Z,令為則有

由于?k1＞0,k1∈Z,k2＞0,k2∈Z,q1＞0,q1∈Z,q2＞0,q2∈Z,

從而g2是李子代數(shù).

?k1＞0,k1∈Z,k2＞0,k2∈Z,令為則有

由于?k1＞0,q1＞0,k1,q1∈Z,k2＞0,q2＞0,k2,q2∈Z,g是

張成的線性空間.?k1＞0,q1＞0,k1,q1∈Z,k2＞0,q2＞0,k2,q2∈Z,

即?k1＞0,q1＞0,k1,q1∈Z,k2＞0,q2＞0,k2,q2∈Z,

從而g是李子代數(shù).本文重點(diǎn)研究李子代數(shù)g1及g2的李子代數(shù)的性質(zhì).

命題 2.1

證明建立g1到g2的線性映射如下:

從而原命題成立.

命題 2.2g2的中心為:

證明設(shè)

因?yàn)閤∈c(g2),?y∈g2有 [x,y]=0,取

因?yàn)閏1,c2為任意整數(shù),取

則

另外，該項(xiàng)目主體結(jié)構(gòu)為雙塔結(jié)構(gòu)，兩側(cè)雙塔區(qū)域?yàn)榛炷良袅?，雙塔之間地下室區(qū)域?yàn)榭蚣芙Y(jié)構(gòu)，其整體性及剛度存在較大差異，水化熱的釋放選擇在薄弱區(qū)域，因此地下室頂板裂縫主要出現(xiàn)在雙塔之間的—/○A—○G區(qū)域；并且由于東西向長為55.13 m，而南北向僅長28.20 m，地下室頂板類似于單向板受力狀態(tài)，其不利受力位置為東西向跨中，這也就能解釋為什么地下室頂板裂縫主要沿南北方向分布.

構(gòu)造上的g1到的線性映射如下:

f1在g1的基向量

線性擴(kuò)張.

命題 2.3f1是李代數(shù)g1到的同態(tài)，且Kerf1是g1的無限維非交換真理想.

證明從f1的構(gòu)造知f1是g1到的線性映射,可驗(yàn)證:

從而

因?yàn)?/p>

為Kerf1的線性無關(guān)的向量,隨著n無限增大,Kerf1為無限維線性空間.因?yàn)镈(1,2)∈g1,而f1(D(1,2))≠0,從而Kerf1為無限維非交換真理想.

命題 2.4設(shè)

[u1,u2]=0當(dāng)且僅當(dāng)c1=c2.

證明當(dāng)c1=c2時(shí),顯然[u1,u2]=0.

充分性:不妨設(shè)

否則只需調(diào)整一下次序.因?yàn)?/p>

所以

從而

構(gòu)造g上的自同構(gòu)映射如下:

h在g的基向量上線性擴(kuò)張.

命題 2.5h是李代數(shù)g的自同構(gòu),且將h限制在g1上,則h是g1到g2的同構(gòu).將h限制在g2上,則h是g2到g1的同構(gòu).

證明從構(gòu)造知h為g上的線性映射,經(jīng)計(jì)算可驗(yàn)證:

從而

將h限制在g1上,則h是g1到g2的同構(gòu),將h限制在g2上,則h是g2到g1的同構(gòu).

[1]Lothaire M.Combinations on Words[M].London:Cambridge University Press,1983.

[2]Reutenauer C.Free Lie Algebras[M].Oxford:Clarendon Press,1993.

[3]Bocklant R,Le Bruyn L.Necklace lie algebras and nocommunicative symplectic geometry[J].Math.Z.,2002,240(1):141-167.

[4]Ginzburg V.Non-commutative symplectic geometry,quiver varieties and operads[J].Math.Res.Lett.,2001,8(3):337-400.

[5]Guo J Y,Martinez-Villa R.Algebra pairs associated to mckay quivers[J].Comm.Algebras,2002,30(2):1017-1032.

[6]Peng L G.Lie algebras determined by finite auslander reiten quivers[J].Comm.Algebras,1998(1):235-258.

[7]Yu D M,Guo J Y,Mei C Q.Automorphisms and automorphism groups of necklace lie algebra[J].Chinese Annals of Mathematics(in Chinese),2012,34(5):569-578.

[8]Yu D M,Guo J Y,Mei C Q.Homomorphisms of some special necklace lie algebra[J].Chinese Annals of Mathematics(in Chinese),2009,30(4):551-562.

[9]Mei C Q,Yu D M.The structure of necklace lie algebras[J],Journal of Mathematics in Practice and Theory,2012,42(1):195-204.

[10]Post G.On the structure of transitively differential algebras[J].J.Lie theory,2001,11:111-128.