李建軍

(北京工業(yè)大學,光電子技術(shù)教育部重點實驗室,北京 100124)

1 引 言

隨著半導體激光器(laser diodes,LD)性能的不斷提升,波長在800 nm附近的LD在醫(yī)療、檢測、抽運和工業(yè)加工等領(lǐng)域的應用日趨普遍[1?4],其中波長為808 nm的LD是廣泛應用的Nd:YAG固體激光器的核心抽運光源[5],波長為793 nm的LD是新型摻銩光纖激光器必不可少的泵源[6?8].LD的性能與有源區(qū)材料的選取密切相關(guān),對于這一波段LD的有源區(qū),最早采用的是與GaAs襯底晶格匹配的AlGaAs材料[9],由于沒有應變,LD的閾值高、效率低;另外,由于有源區(qū)含易被氧化的Al,器件的可靠性低.有源區(qū)采用壓應變的AlGaInAs材料后[10,11],由于應變的引入使價帶輕、重空穴帶的簡并消除,LD的閾值電流得以降低,量子效率得以提高,但為了補償引入In后波長的變化,意味著有源區(qū)需要更多的Al,因此,器件的可靠性是一個問題.有源區(qū)采用無Al的InGaAsP材料后[12],器件的可靠性和壽命得以提高,但在實際的材料外延工藝中,四元系InGaAsP材料的生長窗口很窄,對外延條件的要求較為苛刻,且導帶的帶階小,不利于對有源區(qū)中電子的限制,器件的溫度特性差.

采用張應變的GaAsP量子阱作為LD的有源區(qū)材料是一很好的選擇[13?17],其優(yōu)點不但在于有源區(qū)的無鋁提高了器件的可靠性,更為重要的是GaAsP在腔面處弛豫后,帶隙增大,自然地形成一腔面非吸收窗口,有利于器件災變性光學鏡面燒毀(catastrophic optical mirror damage,COMD)水平的提高,100μm條寬單管LD的輸出功率可達到55 W[14]未出現(xiàn)COMD,壽命可超過105h[18].

然而,與壓應變量子阱相比,將張應變量子阱作為LD的有源區(qū)時,需要對阱的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行更為仔細的設(shè)計.對于張應變量子阱,除了張應變體材料的帶隙收縮和價帶簡并消除效應外,隨著阱寬的變化,量子效應會引起輕、重空穴子能級的相對位置發(fā)生變化.例如,重空穴的第一子帶hh1既可以位于輕空穴的第一子帶lh1之上[19],也可以位于lh1之下,hh1帶甚至可以位于輕空穴的第二子帶lh2之下.對于從導帶第一子帶c1到lh1和hh1的電子躍遷,由于光輻射表現(xiàn)出不同的偏振特性,因此張應變量子阱的結(jié)構(gòu)參數(shù)不但會影響LD的波長、閾值和光功率等特性,甚至會影響激射模式的偏振特性.

本文基于6×6 Luttinger-Kohn理論模型,采用有限差分法計算了GaAsP/AlGaAs張應變量子阱的能帶結(jié)構(gòu),給出了量子阱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計方法,以期對GaAsP/AlGaAs張應變量子阱LD的有源區(qū)設(shè)計和分析提供理論指導.

2 理論模型

圖1是GaAsP/AlGaAs量子阱不考慮應變效應時沿z方向的帶邊能帶示意圖,整個結(jié)構(gòu)外延生長在GaAs襯底上,壘區(qū)是AlyGa1?yAs材料,阱區(qū)是張應變的GaAs1?xPx材料,因此稱其為張應變GaAsP/AlGaAs量子阱.量子阱的厚度為dQW=z2?z1,EBg和EQWg分別是壘區(qū)和阱區(qū)的禁帶寬度,ΔEc和ΔEv分別是導帶和價帶的帶階.

圖1 GaAsP/AlGaAs量子阱帶邊能帶示意圖Fig.1. The energy band edge diagram of the GaAsP/AlGaAs quantum well.

令阱區(qū)價帶頂?shù)哪芰繛榱?則價帶頂?shù)哪芰縑h和導帶底的能量Ve可分別表示為

導帶電子的哈密頓量為[20]

其中,mn,t和mn,z分別是垂直和平行于材料生長方向的電子有效質(zhì)量,ac是導帶形變勢,δEc=acTr是由靜壓力引起的導帶移動量,?是普朗克常數(shù).對于生長在[001]晶向襯底上的應變半導體材料,

其中,a0和分別是襯底和各應變外延層材料的晶格常數(shù),C11和C12是彈性剛度常數(shù).

令導帶電子的波函數(shù)為

其中,A是量子阱的面積,kt是平行于阱方向的波矢,?n是導帶第n個子帶的包絡函數(shù),|S,η〉是基函數(shù),η是電子的自旋,可取↑或↓.

?n(z,kt)應滿足薛定諤方程,

在軸向近似下,基于Luttinger-Kohn方法,考慮軌道自旋后的價帶6×6哈密頓量對角化為[20]

其中,

式中的各量為

其中,γ1,γ2和γ3是Luttinger參數(shù);aυ和b是Bir-Pikus形變勢;Δ(z)是自旋軌道分裂能量.(12)式中的上下正負號對應于σ=U和σ=L.應變對價帶的影響由Pε和Qε項體現(xiàn).

軸向近似下價帶空穴的波函數(shù)為

(z,kt)可通過求解薛定諤方程得到,

3 數(shù)值方法

本文采用有限差分法求解方程(7)和(16).沿z方向?qū)⒄麄€求解區(qū)域用N個等距格點進行劃分,第1個格點與z=0對應,第N個格點與z=Lz對應,相鄰格點的間距為Δz=Lz/(N?1).在第j個格點處,方程(7)的差分離散式為

其中,

對于束縛態(tài),?n在壘區(qū)應是消逝波,本文取固定邊界條件,即?n(1)=?n(N)=0.(17)式的求解轉(zhuǎn)化為求三對角系數(shù)矩陣本征值的問題.

利用如下差分公式[20],

得到方程(16)在j點處的差分離散式為(2≤j≤N?1)

其中,A,B和C是3×3的系數(shù)矩陣,Gσ,mkt(j)代表第m個子帶水平波矢為kt在格點j處的包絡函數(shù)值,

受篇幅所限,這里只給出系數(shù)矩陣B(j)的形式:

式中矩陣的下標j表示各矩陣元與j有關(guān).各矩陣元的具體差分形式為

Pε(j),Qε(j),Vh(j)和Δ(j)則取格點j處的相應值即可.仍然取固定邊界條件,聯(lián)立方程(21),求解轉(zhuǎn)化為求塊三對角矩陣本征值的問題,每個矩陣元是一3×3的矩陣.

對于非摻雜量子阱,阱區(qū)的電子濃度和空穴濃度相等,設(shè)都等于nQW.解得方程(17)和(21)后,由nQW可確定導帶電子的準費米能級Fc和價帶的準費米能級Fv,

導帶第n個子帶與價帶第m個子帶間的橫電(TE)和橫磁(TM)模躍遷動量矩陣元為[20]

其中,上標?表示求復共軛,=m0Ep/6,m0是電子的質(zhì)量,Ep是阱區(qū)的能量參數(shù),可由表1中的值線性插值得到.

光增益的數(shù)值解為

其中,ω是光子頻率,q是單位電荷量,γ洛淪茲函數(shù)的半寬,nr是折射率,c是光速,ε0是真空介電常數(shù).由于動量矩陣元與導帶電子的自旋無關(guān),上兩式中對η的求和已用簡單的乘2做了代替.和分別是費米分布函數(shù),是相同kt時導帶和價帶子帶間的能量差:

自發(fā)輻射譜的數(shù)值解為

其中,

對(33)式在整個光能量范圍內(nèi)積分,可得到自發(fā)輻射率Rsp,即

其中Δ(?ω)是?ωj的間隔.

4 模擬結(jié)果與討論

表1列出了二元系材料GaAs,GaP和AlAs在300 K時的材料參數(shù)[21,22],三元系材料GaAsP和AlGaAs的參數(shù)可由相應二元系材料線性插值得到.GaAs1?xPx和AlyGa1?yAs的帶隙可由下式插值[21]:

其中,Eg是材料的帶隙,Eg后面括號里的內(nèi)容是對應的體材料,C是彎曲參數(shù).相應于Γ帶隙,GaAs1?xPx的C等取0.19 eV,AlyGa1?yAs的C=?0.127+1.310y.

表1 在300 K時的材料參數(shù)(1 dyn.cm?2=0.1 Pa).Table 1.Material parameters at 300 K.

具體計算過程中,將AlyGa1?yAs壘層的Al組分y固定為0.4,壘層的厚度固定16 nm,由文獻[23]的模型固體理論計算ΔEc/ΔEv,差分步長Δz=0.1 nm.

將量子阱用作LD的有源區(qū)時,激射波長主要決定于導帶第一子帶c1到價帶第一子帶的躍遷能量.圖2給出了kt=0,且固定為808 nm(Nd:YAG的抽運源)和793 nm(摻銩光纖激光器的抽運源)躍遷波長時,阱寬dQW和P組分x間的匹配關(guān)系,后文中分別稱這種匹配關(guān)系的量子阱為793 nm QW和808 nm QW.在x固定的情況下,隨著dQW的增加,由于向?qū)У滓苿?向價帶頂移動,導致減小,為了在dQW增加時保證固定不變,需要通過增加阱中P的組分x來增加帶隙Eg以進行補償.即在躍遷波長固定的情況下,寬的阱寬與大的張應變量對應,這一點與GaAs襯底上的壓應變InGaAs量子阱正好相反.在圖2中同時給出了由力平衡模型[24]求得的GaAs1?xPx的臨界層厚度與組分x的關(guān)系.由于在相同阱寬下,793 nm QW的x比808 nm QW的高,793 nm QW的阱寬極限應小于19 nm,而808 nm QW在20 nm以下的阱寬都滿足臨界厚度的要求.

圖2 近800 nm QW的阱寬和組分間的關(guān)系Fig.2.Relationship between well width and P composition x for 800 nm QW.

圖3給出的是kt=0時,808 nm QW的E1c與價帶輕、重空穴第一、二子能級間的能量差,注意圖中縱坐標的方向是向下為正.當阱寬為9.3 nm時,輕空穴第一子能級和重空穴第一子能級重合;當阱寬小于9.3 nm時,靠近價帶頂?shù)氖钱斱鍖挻笥?.3 nm時,靠近價帶頂?shù)氖橇硗?當阱寬大于9.3 nm時,隨阱寬的增加,重空穴的第一、二子能級逐漸遠離價帶頂,而輕空穴的第二子級卻逐漸靠近價帶頂.相比而言,對于GaAs襯底上的壓應變InGaAs量子阱,不論阱寬如何變化,永遠是重空穴第一子帶hh1最靠近價帶頂.當dQW=16.3 nm時,重合,當dQW進一步增加到等于18.6 nm時,甚至與重合,而當dQW大于18.6 nm時,原本遠離價帶頂?shù)谋雀拷鼉r帶頂.

圖3 808 nm QW導帶第一子帶到價帶第一、二子帶的能量差Fig.3.Transition energy from the conduction first subband to the valence first and second band for 808 nm QW.

圖4給出了dQW分別為6,9.3,14,16.3,18.6和20 nm時,808 nm QW價帶子帶的能量色散關(guān)系,圖中能量零點取為無應變體材料的價帶頂.眾所周知,張應變體材料的輕、重空穴帶在帶頂處的簡并消除,且輕空穴帶位于重空穴帶之上,因此對于dQW=20 nm趨向于體材料的寬阱情形,輕空穴子帶lh1和lh2都位于重空穴子帶hh1之上,且kt=0時lh1帶的能量為正,這是由于張應變引起的帶隙收縮和輕空穴帶的上移造成的.隨著dQW的減小,量子尺寸效應逐漸增強,子帶的數(shù)目逐漸減少.對于808 nm QW,dQW的減小需伴隨阱中P組分x的同時減少,因此張應變作用逐漸減弱,808 nm QW隨dQW的減小逐步向無應變量子阱過渡,體現(xiàn)為當dQW=6 nm,x=0.03204時,不但hh1子帶位于lh1和lh2的子帶之上,lh2子帶甚至比hh3子帶還要低.從圖4可見,當kt=0時,與圖3相對應,dQW=9.3 nm時,dQW=16.3 nm時,dQW=18.6 nm時,

圖4 不同阱寬時808 nm QW的價帶子帶結(jié)構(gòu)Fig.4.Valence subband structure of the 808 nm QW for different well widths.

圖5 dQW=14 nm時808 nm QW前4個價帶子帶的波函數(shù) (a)—(d)kt=0;(e)—(h)kt=0.1×2π/a0Fig.5.The envelope function of the top four valence subband for 808 nm QW with dQW=14 nm:(a)–(d)Corresponding to kt=0;(e)–(h)corresponding to kt=0.1 ×2π/a0.

圖4中標注的各子帶是輕空穴帶還是重空穴帶以及其子帶序號是根據(jù)kt=0時的波函數(shù)確定的.圖5(a)—(d)分別給出了量子阱厚度為14 nm,且kt=0時前4個價帶子帶的包絡函數(shù),波函數(shù)用進行了歸一化,成為無量綱量.由和|glh|2的相對大小以及波函數(shù)的波節(jié)數(shù),可以確定圖5(a)和圖5(d)分別與lh1和lh2對應,圖5(b)和圖5(c)分別與hh1和hh2對應.從圖中同時看到,當kt=0時,輕空穴子帶的波函數(shù)以glh分量為主,兼有少量的gso耦合分量,且ghh分量為零,而重空穴子帶的波函數(shù)中都是ghh分量,glh和gso分量都為零.另外,lh和hh的第一子帶波函數(shù)滿足偶對稱,lh和hh的第二子帶波函數(shù)滿足奇對稱.圖5(e)—(h)是kt=0.1×2π/a0時,14 nm阱寬808 nm QW前4個價帶子帶的波函數(shù).顯見,當kt遠離布里淵區(qū)中心時,不但各子帶波函數(shù)的對稱性受到破壞,且hh,lh以及so帶間的耦合變得加強,gso分量在各帶中的比例不可忽略.

圖6給出了14 nm阱寬時808 nm QW導帶第1子帶c1到價帶前4個子帶的躍遷動量矩陣元,其中動量矩陣元的值用體材料的|Mb|2進行了歸一化(考慮導帶有兩個自旋方向后應給圖中的值乘以2).在kt=0處,c1到lh1的TE和TM動量矩陣元分別為0.22|Mb|2和1.05|Mb|2,c1到hh1的TE和TM動量矩陣元分別為0.75|Mb|2和0,該結(jié)果與文獻[20]一致.因此,c1到lh1的躍遷以TM模為主,且有更高的躍遷強度;c1到hh1的躍遷以TE模為主,且有更高的偏振選擇比.在kt=0處,c1到lh2和hh2的躍遷是嚴格禁止的,體現(xiàn)為躍遷動量矩陣元為零.當kt遠離布里淵區(qū)中心時,在c1—lh1的TM模和c1—hh1的TE模的躍遷強度降低的同時,由于波函數(shù)對稱性的破壞,原本在kt=0時禁止的帶間躍遷不再被滿足.

圖6 dQW=14 nm時808 nm QW導帶第1子帶到價帶前4個子帶的躍遷動量矩陣元 (a)TE模;(b)TM模Fig.6.The momentum-matrix elements from c1 to the top four valence subband for 808 nm QW with dQW=14 nm:(a)TE mode;(b)TM mode.

考慮將Al0.4Ga0.6As/GaAs1?xPx/Al0.4Ga0.6As量子阱用作808 nm LD的有源區(qū),光限制層為Al0.9Ga0.1As材料,波導層的總厚度為1.4μm.在5—20 nm的阱寬范圍內(nèi),根據(jù)傳輸矩陣法模擬得到基橫模的有源區(qū)光限制因子與量子阱的厚度dQW間近似滿足:

其中,dQW的單位是nm.LD的振幅閾值條件為

其中,gth是有源區(qū)的閾值增益,αi是腔損耗,L是腔長,r1和r2分別是兩個腔面的反射系數(shù).

在滿足圖2的阱寬-組分關(guān)系下,圖7分別給出了腔長為1.5 mm(藍實線)和3 mm(黑實線)時,808 nm LD的閾值增益與阱寬的關(guān)系,其中αi=1.1 cm?1,r1r2=30%.由于有源區(qū)的光限制因子隨阱寬的增加而增大,因此閾值增益隨阱寬的增加而減小.在圖中同時給出了閾值條件下TE模和TM模的峰值增益,對于L=1.5 mm(3 mm)情形,當dQW=7.8 nm(8.2 nm)時,TE模和TM模的峰值增益相等;當dQW＜7.8 nm(8.2 nm)時,TE模的峰值增益比TM模的高,激射模以TE模為主;而當dQW＞7.8 nm(8.2 nm)時,TM模的峰值增益比TE模的高,激射模以TM模為主.另外,TE模和TM模的峰值增益相等時對應的7.8 nm(8.2 nm)阱寬,比圖3中時的9.3 nm阱寬要小,這是由于c1到lh1的TM模的躍遷動量矩陣元比c1到hh1的TE模的大造成的.相應于圖7的閾值條件,圖8給出了腔長為1.5 mm時的閾值載流子濃度nth與阱寬的關(guān)系,隨阱寬的增加,由于gth降低,相應的nth也減少.圖中同時還給出了在閾值條件下導帶第一子帶上的載流子濃度n1和價帶第一子帶上的載流子濃度p1,隨阱寬的增加,由于各子帶間的能量差隨阱寬減小而降低,載流子在高能量子帶上的填充不可忽略,導致第一子帶上的載流子數(shù)目與nth的比率隨阱寬的增加而減小.

圖7 808 nm LD閾值增益與阱寬的關(guān)系Fig.7.Relationship between threshold gain and the well width for 808 nm LD.

圖8 808 nm LD閾值載流子濃度與阱寬的關(guān)系Fig.8.Relationship between threshold carrier concentration and the well width for 808 nm LD.

相應于圖7的閾值條件,圖9給出了腔長為1.5 mm且阱寬分別為5.5,7.8和12 nm時的閾值增益譜.盡管dQW=7.8 nm時TE模和TM模的峰值增益相等,二者對應的峰值波長并不相等.根據(jù)圖3,此時hh1帶比lh1帶更靠近價帶頂,由于TM模(c1—lh1)強的動量矩陣元對lh1帶上低載流子濃度的補償作用,TM模的峰值波長相對于TE模(c1—hh1)的峰值波長藍移.當dQW=5.5 nm時,hh1帶更靠近價帶頂,TE模增益比TM模增益大,而當dQW=12 nm時,lh1帶更靠近價帶頂,TM模增益比TE模的大.

圖9 不同阱寬808 nm LD的閾值增益譜Fig.9.Threshold optical gain of 808 nm LD with different well widths.

圖10是在閾值處,1.5 mm腔長808 nm LD的復合率R與阱寬的關(guān)系,R包括自發(fā)輻射率Rsp和俄歇復合率RAug兩部分,其中Ca=6×10?30cm6/s是俄歇復合系數(shù).隨阱寬的增加,由于nth降低(見圖8),使得Rsp和RAug都減小.圖10內(nèi)插圖是腔長為1.5 mm,阱寬分別為5.5,7.8和12 nm時,在閾值條件下LD的自發(fā)輻射譜.

圖10 1.5 mm腔長808 nm LD閾值條件下的復合率與阱寬的關(guān)系Fig.10.Relationship between recombination rate and well width under threshold condition for 808 nm LD with L=1.5 mm.

圖11 1.5 mm腔長808 nm LD閾值電流密度與阱寬的關(guān)系Fig.11.Relationship between threshold current density and well width for 808 nm LD with L=1.5 mm.

根據(jù)閾值載流子濃度nth求得復合率后,可進一步求得閾值電流密度,

其中,Jrad和JAug分別是閾值處的自發(fā)輻射和俄歇復合電流密度分量.圖11是1.5 mm腔長808 nm LD閾值電流密度與阱寬的關(guān)系.在dQW=10.8 nm處有一Jth的極小值.dQW＞10.8 nm時,隨dQW的增加,盡管復合率R減小,但dQW和R相乘的結(jié)果仍然是增加的,使得Jth隨dQW的增加而增大,這是由于載流子填充高能量子帶的概率增大造成的.而dQW＜10.8 nm時,隨dQW的減小,R快速增大(圖10),dQW和R相乘的結(jié)果是增加的,體現(xiàn)為Jth的增加,這是由于窄阱寬的低光限制因子造成的.dQW＜6.5 nm時窄阱寬作用雖然可以使Jth降低,但JAug的成分也在增加,且過高的閾值載流子濃度(圖8)會增加載流子從阱區(qū)向壘區(qū)的逃逸概率.因此,從閾值電流密度角度考慮,dQW=10.8 nm(阱區(qū)相應的P組分x為0.09)是最優(yōu)值.

5 結(jié) 論

對于外延生長在GaAs襯底上的張應變GaAs1?xPx量子阱,需通過組分x和阱寬的同時增加或減小以實現(xiàn)LD激射波長不變,大阱寬時最靠近價帶頂?shù)氖莑h1帶,小阱寬時最靠近價帶頂?shù)氖莌h1帶.將張應變GaAs1?xPx量子阱用作近800 nm LD的有源區(qū)時,大的阱寬有利于TM模激射,小的阱寬有利于TE模激射.對于波長固定為近800 nm的LD,存在一最佳的阱寬-阱組分組合,可使閾值電流密度最小,小阱寬時過低的有源區(qū)光限制因子使閾值電流密度增大,而大阱寬時則是載流子對高能量子帶上的填充導致閾值電流密度升高.對于具體的GaAs1?xPx量子阱LD,應根據(jù)器件的結(jié)構(gòu)參數(shù)(如腔長和光限因子等)和內(nèi)部參數(shù)(如內(nèi)損耗和腔面反射率等),對量子阱的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計.

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