范 偉

（福建省南平市教師進修學(xué)院，福建 南平）

代數(shù)、幾何、三角知識的綜合運用能力是考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要指標，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一項重要課題。本文希望通過一些具體實例的研究，就幾何證題中運用代數(shù)方法的某些類型提出探討。

一、用方程法證明幾何命題

在幾何證題中，經(jīng)常遇到這樣的題目，題中的各個幾何量的關(guān)系都已找出，但這些關(guān)系交叉錯雜，很難理出頭緒，總覺得推理論證中思路不夠清晰。要是學(xué)生能將已知的幾何量之間的關(guān)系，用一系列的等式表示出來。用列方程（或方程組）的方法加以整理和變形，就能找出它們的內(nèi)在聯(lián)系。

例1.在Rt△ABC中，D、E是斜邊AB上兩點，且AD=AC，BC=BE，又 EF⊥CD，F(xiàn) 為垂足，求證：EF=CF。

分析與證明：題中有若干等腰三角形、直角三角形，因此存在相等、互余、內(nèi)外角關(guān)系等，這些關(guān)系交錯紛紜，初中生剛接觸幾何證明題，容易搞成一團亂麻，將這些關(guān)系列成一組等式，情況就清楚了。如圖 1，欲證 EF=CF，只需證∠ECF=∠CEF=45°。設(shè)∠ECF為∠α，∠CEF 為∠β，有：

∠1+∠α+∠2=90° ①

∠α+∠2=∠β+∠3 ②

∠β+∠3=∠A+∠1 ③

∠1+∠α=∠4 ④

∠4=∠B+∠2 ⑤

∠A+∠B=90° ⑥

圖1

在這組等式中，等式①與等式⑥是等價的，只要用一個就可以了，這也是運用方程法時經(jīng)常遇到的問題。在五個等式里，仿照解方程組的方法消去∠α，∠β的幾何量，就可以得出∠α與∠β的關(guān)系：

由④⑤得∠1+∠α=∠B+∠2；由②③得∠α+∠2=∠A+∠1。則 2∠α+∠1+∠2=∠B+∠2+∠A+∠1，所以 2∠α=∠A+∠B=90°，所以∠α=45°=∠β。

運用方程法解幾何題對培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，抓住事物的本質(zhì)，能夠判別出哪些條件是必要的，哪些是多余的，哪些是獨立的，哪些是重復(fù)的？這種能力對他們將來的學(xué)習(xí)是很有幫助的。

二、用反證法證明幾何命題

反證法(又稱歸謬法)屬于間接證明方法。當(dāng)證明“若A則B”很困難甚至不可能時，先提出和結(jié)論相反的假設(shè)，再根據(jù)這個假定推導(dǎo)出和條件、定理、公式相矛盾的結(jié)果來，從而否定了該假設(shè)，得到結(jié)論。

例2.試證明不存在格點正三角形。

證：（反證法）設(shè)△ABC為三頂點在格點上的正三角形，如圖2建立坐標系。有 A（0，0），B（x1，y1），C（x2，y2）,其中（x1，y1），（x2，y2）均為有序整數(shù)對。

由于 x1，y1，x2，y2均為整數(shù)，而整數(shù)的有限次四則運算結(jié)果為有理數(shù)，而△ABC為正三角形，

圖2

從數(shù)學(xué)思想角度看，反證法即為證偽法，反證思想表現(xiàn)為反例法。比如：兩個互為反函數(shù)的函數(shù)的公共點，都在直線y=x上嗎？舉y=b-x等反函數(shù)為自身的反例即可。

在這個例子中結(jié)合了初等數(shù)論知識，綜合運用坐標法、反證法解決問題，對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、積累具體的解決問題經(jīng)驗、促進學(xué)科核心素養(yǎng)的形成具有重要作用。

三、用向量代數(shù)證明幾何命題

向量是既有方向又有大小的量，因此向量具有幾何與代數(shù)的雙重身份。用向量代數(shù)解決幾何問題，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象能力都很有幫助。

數(shù)形結(jié)合包括由形到數(shù)、由形到形和由數(shù)到形。在中高考中，針對選擇題和填空題的特點，重點檢查學(xué)生將數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題來解決的能力。而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，對數(shù)量關(guān)系問題的研究仍突出代數(shù)的方法，其對數(shù)形結(jié)合思想的考查以由形到數(shù)為主。

分析與證明：這是典型的數(shù)形結(jié)合問題。如圖3

圖3

用代數(shù)方法證明幾何命題時，重在挖掘圖形中隱藏的數(shù)量關(guān)系。應(yīng)注意數(shù)量結(jié)構(gòu)中蘊涵的距離、角度、面積、斜率的幾何意義，數(shù)量關(guān)系中蘊含的位置關(guān)系，數(shù)量結(jié)構(gòu)中蘊涵的圖象截取，以及曲線性質(zhì)中的幾何關(guān)系。問題解決時應(yīng)從代數(shù)、三角、幾何知識中擇其所要，相互為用。