◎沈 宇
(杭州市余杭區(qū)喬司中學(xué),浙江 杭州 311100)
在數(shù)學(xué)的教學(xué)和解題中,有些問(wèn)題不能通過(guò)常規(guī)的方法解決,需要結(jié)合已有的條件構(gòu)造出新的模型,從而使問(wèn)題得以解決,這種方法叫作構(gòu)造法.
中國(guó)古典數(shù)學(xué)院士吳文俊指出“由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,構(gòu)造性的數(shù)學(xué)在不久的將來(lái)有很大的發(fā)展,甚至逐漸成為主流的數(shù)學(xué)”.在教學(xué)過(guò)程中嵌入構(gòu)造法的教學(xué)能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維,還能提高學(xué)生的建模意識(shí)和數(shù)學(xué)思維能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).構(gòu)造性思維首先是審題從中找到數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論,重新建立數(shù)學(xué)模型,從而抓住問(wèn)題的突破點(diǎn),各個(gè)擊破.下面就幾個(gè)例子闡述構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.
例1(杭州市2017年中考數(shù)學(xué)題)在面積都相等的所有矩形中,當(dāng)其中一個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為1時(shí),它的另一邊長(zhǎng)為3.
(1)設(shè)矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為x,y.
① 求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
② 當(dāng)y≥3時(shí),求x的取值范圍;
(2)圓圓說(shuō)其中有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為6,方方說(shuō)有一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為10,你認(rèn)為圓圓和方方的說(shuō)法對(duì)嗎?為什么?
解析對(duì)于本題的第(1)問(wèn),直接根據(jù)已知條件中的等量關(guān)系列出方程,再根據(jù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)解決問(wèn)題,相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單;對(duì)于第(2)問(wèn),根據(jù)已知條件我們知道這里所有矩形面積都是3,那這些矩形的周長(zhǎng)能否為6和10,這里我們可以根據(jù)已知條件構(gòu)造出方程,再根據(jù)根的判別式判斷這樣周長(zhǎng)的矩形是否存在.
思考:上述構(gòu)造方程相關(guān)的試題,是從已知條件出發(fā),我們能夠很快速地構(gòu)造出一元二次方程,再根據(jù)具體問(wèn)題具體分析,構(gòu)造緊扣熟悉化、相似性原則.
例2關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a≠0,a,m,b均為常數(shù)),則方程a(x+m+2)2+b=0的解是________.
解析根據(jù)方程的表達(dá)形式,可以向函數(shù)表達(dá)式的頂點(diǎn)式轉(zhuǎn)化,根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)及方程的兩個(gè)根即函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)造出函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)(-m,b),(-2,0),(1,0)這三點(diǎn),再看要求的解,構(gòu)造函數(shù)圖像它也是頂點(diǎn)式經(jīng)過(guò)(-m-2,b),由于它和我們條件中構(gòu)造的函數(shù)圖像開(kāi)口方向一致,頂點(diǎn)坐標(biāo)向左平移了2,所以這個(gè)函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)也向左平移了2,即此函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別(-4,0),(-1,0),所以方程的解為x1=-4,x2=-1.
思考:方程與函數(shù)模型是中學(xué)中常用到的一種思想方法,通過(guò)直觀地構(gòu)造出函數(shù),再根據(jù)函數(shù)圖像的性質(zhì)及已知條件能夠快速解決問(wèn)題.
例3如圖1所示,六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,則六邊形的周長(zhǎng)等于________.
圖1
圖2
解析對(duì)于已知圖1中給出的六邊形,由于六個(gè)內(nèi)角都相等,根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式我們可以求出每個(gè)角都是120°.已知只知道AB、BC、CD、DE四條邊的長(zhǎng)度,要求這個(gè)六邊形的周長(zhǎng),還需要知道EF、AF的長(zhǎng)度.由于這個(gè)六邊形并不是一個(gè)規(guī)則的六邊形,只知道它的每個(gè)角是120°,要求出另外兩邊的長(zhǎng)度,我們只能從它的角度著手,看能否構(gòu)造出特殊的圖形.如圖2所示,我們構(gòu)造出了一個(gè)平行四邊形MCNF及兩個(gè)正三角形△AMB和△EDN,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和正三角形的性質(zhì),這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)迎刃而解.
思考:三角形作為初中數(shù)學(xué)的基本圖形經(jīng)常出現(xiàn)在我們的解題教學(xué)中,它們的構(gòu)造都是建立在學(xué)生已有的基礎(chǔ)知識(shí)之上,略有提升,讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí),獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感.
構(gòu)造法是一種具有很強(qiáng)的技巧性的解題方法,具有很強(qiáng)的靈活性和非常規(guī)性,但它是基于學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)之上的,在運(yùn)用構(gòu)造性思維解題時(shí)要遵循三大基本原則:熟悉化、相似性、直觀性.新課程標(biāo)準(zhǔn)指出,數(shù)學(xué)課程不僅要注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想,還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),多在教學(xué)實(shí)踐中引入構(gòu)造法的應(yīng)用,可以起到很好的效果.
在教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)造思維,養(yǎng)成獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.構(gòu)造法具有很強(qiáng)的技巧性和靈活性,其適用面也不是很廣,在教師主導(dǎo)學(xué)生主體的構(gòu)造教學(xué)中,教師要把握好教學(xué)的度,不能只為了構(gòu)造而提高解題的難度,增加學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān),應(yīng)從學(xué)生的具體情況出發(fā),結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)造法建立熟悉的模型,從而解決問(wèn)題.