◎曹穎慧
(保定市第二中學(xué),河北 保定 071000)
抽象思維能力的培養(yǎng)不是憑空生成的,它源于教材,為抽象思維能力的培養(yǎng)提供了基礎(chǔ)[1].人民教育出版社A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·必修1》中有10多個(gè)例題和習(xí)題,雖然學(xué)生在高一的時(shí)候已經(jīng)學(xué)習(xí)了分段函數(shù),但是知識(shí)是循環(huán)式上升的,抽象思維能力也是逐步提升的,高三再?gòu)?fù)習(xí)這些知識(shí),會(huì)對(duì)函數(shù)有更深刻的理解.將這10多個(gè)習(xí)題按照難易程度排隊(duì),由淺入深的復(fù)習(xí).
A級(jí):?jiǎn)栴}簡(jiǎn)單、直觀、明了,學(xué)生容易解答.
B級(jí):給出了具體的分段函數(shù),按照要求做出圖像就行.
C級(jí):需要學(xué)生先寫出分段函數(shù),再解決后面的問題.
D級(jí):利用分段函數(shù)解決實(shí)際問題.
通過復(fù)習(xí),學(xué)生在知識(shí)上,對(duì)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域、圖像、集合知識(shí)的運(yùn)用等要有更深刻的理解;在思想方法上,有分類討論、數(shù)形結(jié)合等;提高基本初等函數(shù)圖像、性質(zhì)、解析式等的理解掌握程度[2].
高考命題原則是在知識(shí)交匯處設(shè)置考題,有時(shí)分段函數(shù)不僅僅是出現(xiàn)在函數(shù)方面.
例2(2012年新課標(biāo)全國(guó)卷第18題)某花店每天以5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花做垃圾處理.
(Ⅰ)若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝(文科)(理科16枝)玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N*)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)略.
例3(2016年全國(guó)卷Ⅰ文科第19題)某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:(圖略)
記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).
(Ⅰ)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)略;
(Ⅲ)略.
例4(2016年全國(guó)卷Ⅱ文科第17題)等差數(shù)列{an}中,a1+a4=4,a5+a7=6.
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.
例5(2016年全國(guó)卷Ⅱ理科第17題)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,S7=28.記bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如,[0.9]=0,[lg99]=1.
(Ⅰ)求b1,b11,b101;
(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和.
這是姊妹題,以理科為例分析:(Ⅰ)由等差數(shù)列的知識(shí)得到an=n,那么bn=[lgn],得到b1=[lg1]=[0]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.
在科學(xué)研究中,科學(xué)抽象的具體過程是千差萬(wàn)別的,沒有千篇一律的模式.通過分段函數(shù)的復(fù)習(xí)要教會(huì)學(xué)生抽象的過程:第一步:分離,就是暫時(shí)不考慮我們所要研究的對(duì)象與其他各個(gè)對(duì)象之間各式各樣的聯(lián)系,從學(xué)科的研究領(lǐng)域出發(fā),從探索某一種規(guī)律性出發(fā),確定自己所特有的研究對(duì)象;第二步:提純,就是在思想中排除那些模糊基本過程、掩蓋普遍規(guī)律的干擾因素,從而使我們能在純粹的狀態(tài)下對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)及其規(guī)律進(jìn)行考察;第三步:簡(jiǎn)略,就是對(duì)純態(tài)研究的結(jié)果進(jìn)行的一種處理,或者說是對(duì)研究結(jié)果的一種表述方式,在科學(xué)研究過程中,對(duì)復(fù)雜問題做純態(tài)的考察是一種簡(jiǎn)化,另外,對(duì)于考察結(jié)果的表達(dá)也有一個(gè)簡(jiǎn)略的問題.這個(gè)過程概括為:分離—提純—簡(jiǎn)略.
抽象思維能力的培養(yǎng)不是一蹴而就、一朝一夕的,需要由淺入深,由表及里,多次滲透,反復(fù)訓(xùn)練[2].
[1]樓肇慶.高三數(shù)學(xué)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)的若干著力點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(16):36-39.
[2]鄭云初.點(diǎn)擊分段函數(shù)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2004(7):6-8.