陳必發(fā)，呂亮亮，彭福軍，唐國安

(1. 復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433；2.上海市空間結(jié)構(gòu)機(jī)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室/上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

0 引言

各種天線、太陽帆板、大型桁架結(jié)構(gòu)等柔性附件相對(duì)于航天器本體具有尺寸大、固有頻率低等特點(diǎn)，姿態(tài)調(diào)整、變軌機(jī)動(dòng)等在軌操作很容易引起柔性附件的大幅振動(dòng)。在太空運(yùn)行環(huán)境中，柔性附件的振動(dòng)一旦被激起，其衰減過程將相當(dāng)緩慢，不僅影響航天器正常的任務(wù)執(zhí)行，還會(huì)一定程度影響航天器的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和使用壽命。降低柔性附件的振動(dòng)至少可從兩方面入手。一方面是減小航天器調(diào)姿或變軌對(duì)柔性附件的激勵(lì)，例如文獻(xiàn)[1-4]中將零位移輸入整形技術(shù)應(yīng)用于太陽陣調(diào)姿，利用驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)現(xiàn)有的硬件，無須增加其他附件，即可將初始參考指令與一系列脈沖序列卷積生成整形指令作為輸入信號(hào)，較好地抑制了殘余振動(dòng)。另一方面是利用主動(dòng)或被動(dòng)控制技術(shù)抑制激勵(lì)結(jié)束后柔性附件的自由振動(dòng)，加快振動(dòng)的衰減。

航天器柔性附件的振動(dòng)控制方法可分為被動(dòng)控制、主動(dòng)控制以及半主動(dòng)控制。常用的被動(dòng)控制方法有黏彈性材料制成的黏彈性阻尼器[5]、壓電分流阻尼系統(tǒng)[6]等。主動(dòng)控制常用的執(zhí)行機(jī)構(gòu)包括反作用推力器[7]、壓電材料[8]等。而半主動(dòng)控制意圖結(jié)合主動(dòng)控制和被動(dòng)控制兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，如基于同步開關(guān)阻尼技術(shù)，利用壓電疊堆振動(dòng)控制天線展開臂[9]。

主動(dòng)控制方法因適應(yīng)性強(qiáng)、控制效果好等優(yōu)點(diǎn)備受學(xué)者們關(guān)注[10-13]。文獻(xiàn)[8]中研究了壓電纖維復(fù)合材料(MFC)，將其應(yīng)用于可展開、可固化桁架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)狀態(tài)控制中，取得了令人滿意的效果。文獻(xiàn)[14]中提出在電池陣結(jié)構(gòu)中引入壓電材料，分別利用速度反饋、線性二次最優(yōu)調(diào)節(jié)器(LQR)設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，通過數(shù)值仿真證明二者均能有效抑制振動(dòng)。但以壓電材料為傳感/作動(dòng)器的控制方法相對(duì)于大型柔性附件的振動(dòng)，作用范圍較小，例如美國AstroMesh天線的展開口徑達(dá)25 m[15]，即便是微小的干擾也會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)某些部位產(chǎn)生大幅值響應(yīng)，控制效果易受限。由此，如何提高以大型柔性附件為控制對(duì)象的減振效率是一個(gè)亟待解決的問題。文獻(xiàn)[16]中以大型線性桁架結(jié)構(gòu)為控制對(duì)象、以開關(guān)式噴氣推進(jìn)器和壓電材料為作動(dòng)器，通過實(shí)驗(yàn)證明并用兩種控制方法可在提高振動(dòng)衰減效率的同時(shí)減少推進(jìn)器的工質(zhì)消耗。但工質(zhì)消耗問題仍不利于其頻繁采用。

反作用飛輪(以下簡稱飛輪) 常被用于衛(wèi)星的姿態(tài)控制，具有質(zhì)量輕、尺寸小、效率高等諸多優(yōu)點(diǎn)[17-18]。若在柔性附件上安裝飛輪，根據(jù)一定的控制律調(diào)節(jié)飛輪的旋轉(zhuǎn)角速度，對(duì)柔性附件施加因飛輪變速產(chǎn)生的反作用力矩，利用扭矩做功消耗結(jié)構(gòu)的振動(dòng)機(jī)械能，使結(jié)構(gòu)更快地恢復(fù)到平衡狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)抑制柔性附件振動(dòng)的目的。本文將研究振動(dòng)抑制的原理、實(shí)現(xiàn)及仿真結(jié)果。

1 振動(dòng)抑制的過程和原理

以航天器太陽能電池陣為對(duì)象，研究其受激勵(lì)后的振動(dòng)抑制問題。在航天器本體慣量遠(yuǎn)大于電池陣慣量的情況下，電池陣可視為根部固支的彈性結(jié)構(gòu)。如圖1所示[19-20]，以CARTOSAT對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星為例，建立以電池陣根部為原點(diǎn)、展開方向?yàn)閄軸、垂直于陣面方向?yàn)閆軸的直角坐標(biāo)系O-XYZ。當(dāng)航天器發(fā)生Z向變軌或其他形式的機(jī)動(dòng)時(shí)，電池陣受到擾動(dòng)后產(chǎn)生振動(dòng)。這種振動(dòng)主要以垂直于陣面、即XZ平面內(nèi)的橫向彎曲振動(dòng)為主。為加速振動(dòng)的衰減，可考慮在電池陣的適當(dāng)位置安裝飛輪(如圖1所示)。飛輪轉(zhuǎn)速Ω的變化會(huì)產(chǎn)生施加到電池陣的扭矩T，扭矩做功將消耗電池陣振動(dòng)的機(jī)械能。

圖1 電池陣振動(dòng)問題分析的參考坐標(biāo)系Fig.1 Reference coordinate system for analysis of vibration of solar array

若飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，則扭矩可表示為

(1)

(2)

式中：c為比例系數(shù)。飛輪的作用相當(dāng)于對(duì)電池陣添加人工阻尼，系數(shù)c故稱為人工阻尼系數(shù)。將式(2)代入式(1)，并對(duì)時(shí)間積分后可得

Ω=-cθ/Ι

(3)

這是一種線性增益關(guān)系，可根據(jù)電池陣飛輪所處位置角度θ確定飛輪應(yīng)有的轉(zhuǎn)速Ω。

從動(dòng)力學(xué)基本方程出發(fā)，將描述電池陣振動(dòng)型態(tài)的廣義位移向量記為x，飛輪所處位置的角度θ可表示為向量x分量的線性組合

θ=LTx

(4)

當(dāng)電池陣發(fā)生虛位移δx時(shí)，飛輪扭矩作的虛功為δW=T(t)δθ=(δx)T(L·T)。故扭矩對(duì)于電池陣的廣義力為L·T。在此廣義力的作用下，電池陣的位移向量x服從運(yùn)動(dòng)微分方程

(5)

式中：M、K、C分別為電池陣模型的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及阻尼矩陣。

電池陣高階振動(dòng)自然衰減較快，振動(dòng)抑制對(duì)象主要以低階模態(tài)為主。若僅考慮一階彎曲振動(dòng)，向量x可用電池陣根部固支、XZ平面內(nèi)的一階橫向彎曲模態(tài)φ1表示，即

x=φ1ξ1

(6)

式中：ξ1為相應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)。根據(jù)式(4)，飛輪所處角度θ可用模態(tài)坐標(biāo)表示為

θ=φθξ1

(7)

(8)

(9)

(10)

為由扭矩T產(chǎn)生的人工模態(tài)阻尼比。

由式(10)可知，當(dāng)人工阻尼系數(shù)c>0時(shí)，總有ζa>0，使得式(9)中的速度項(xiàng)系數(shù)滿足ζ1+ζa>ζ1，表明飛輪的作用就是增加電池陣的模態(tài)阻尼比，從而加快其振動(dòng)的衰減。這就是利用飛輪抑制電池陣振動(dòng)的基本原理。

2 控制律設(shè)計(jì)

由式(3)和式(10)可知，比例系數(shù)c越大，減振效果越好，但要求飛輪能提供更大的輸出力矩。為此，需在減振效果與飛輪功率之間作適當(dāng)?shù)臋?quán)衡。如果知道飛輪在不超載前提下的最大轉(zhuǎn)速是Ωmax，并能估計(jì)出振動(dòng)過程中電池陣飛輪所處位置轉(zhuǎn)角θ的最大值θmax，式(3)中的人工阻尼系數(shù)可確定為

(11)

實(shí)際情況中，電池陣上飛輪所處位置的轉(zhuǎn)角θ不易直接測(cè)得，而電池陣根部的彎矩Mb可通過應(yīng)變、壓電等手段測(cè)得。對(duì)于線性結(jié)構(gòu)，彎矩Mb可利用胡克定律及幾何關(guān)系表示為廣義位移x的線性函數(shù)Mb=(kM)Tx，再利用式(6)又可表示為

Mb=φMξ1

(12)

式中：φM=(kM)Tφ1。聯(lián)立式(7)和式(12)，消去變量ξ1，又可得轉(zhuǎn)角θ與彎矩Mb的關(guān)系

(13)

最終由式(3)，式(11)和式(13)，根據(jù)彎矩Mb確定用于抑制電池陣振動(dòng)的飛輪轉(zhuǎn)速，即

(14)

由式(14)可知，控制系統(tǒng)的輸入可利用測(cè)量電池陣根部彎矩獲得，由此解算飛輪的轉(zhuǎn)速，使得飛輪能輸出實(shí)現(xiàn)人工阻尼所需要、如式(2)所示的反作用力矩。

3 電池陣有限元模型振動(dòng)抑制的仿真驗(yàn)證

用飛輪抑制實(shí)際尺寸電池陣振動(dòng)的有效性驗(yàn)證有限元仿真結(jié)果，對(duì)象是由3塊太陽能電池板組成的電池陣，如圖2所示。每一塊太陽能電池板的長度為170 cm、寬度為320 cm、厚度約為2 cm。連接太陽能電池板的鉸鏈長度為8 cm，整體質(zhì)量為44.63 kg。建立如第1節(jié)所述的直角坐標(biāo)系O-XYZ，電池陣位于XY平面。

電池板采用殼單元，鉸鏈采用梁單元建模，電池陣根部繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向上通過剛度ks=4 500 N·m·rad-1的扭簧連接到航天器本體。在僅考慮電池陣沿Z方向的振動(dòng)抑制時(shí)，根部其余方向位移和轉(zhuǎn)角均假設(shè)為剛性連接。電池陣根部的彎矩Mb及其與航天器本體的相對(duì)轉(zhuǎn)角θr之間存在如下關(guān)系

Mb=ksθr

(15)

電池陣第1階固有頻率為0.21 Hz，對(duì)應(yīng)的是Z方向的彎曲振型，第2階固有頻率為0.87 Hz，對(duì)應(yīng)的是繞X軸的扭轉(zhuǎn)振型。

圖2 太陽能電池陣有限元模型Fig.2 Finite element model of solar array

為簡化計(jì)算，電池陣的阻尼矩陣采用比例阻尼形式，即

C=αK+βM

(16)

式中：α=0.018 3;β=0.003 5。即第1階和第2階的模態(tài)阻尼比均為1%。

電池陣受到的激勵(lì)來自本體的變軌運(yùn)動(dòng)：在0～2 s 時(shí)間段，受本體牽連、沿Z軸作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為0.1 m/s2；2 s之后作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度保持為0.2 m/s。將飛輪安裝在電池陣右側(cè)自由邊的中點(diǎn)(如圖2所示)，對(duì)電池陣施加扭矩以期實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)的抑制。

根據(jù)式(2)、式(13)，飛輪輸出的扭矩T可表示為

(17)

式中：kb-T=cφθ/φM的取值越大，電池陣的振動(dòng)衰減越快，但對(duì)飛輪轉(zhuǎn)速、負(fù)載能力的要求也相應(yīng)提高。對(duì)于航天應(yīng)用的產(chǎn)品，飛輪質(zhì)量也不宜過大。為此可選擇質(zhì)量為1 kg、約占電池陣質(zhì)量2%的反作用飛輪進(jìn)行仿真，要求該飛輪的最大輸出扭矩不少于為1 N·m。

為利用MSC.Nastran進(jìn)行仿真，需要將式(17)經(jīng)拉普拉斯變換到s域上表示

L [T]=-skb-TL [Mb]

(18)

式中：L [·]表示拉普拉斯變換。

彎矩Mb雖是可測(cè)量，但由于測(cè)量過程中噪聲等干擾信號(hào)不可避免，通常需對(duì)其進(jìn)行濾波。為更具真實(shí)性，仿真時(shí)同樣也加入濾波環(huán)節(jié)，濾波器傳遞函數(shù)為Gf(s)。利用式(15)和式(18)，建立經(jīng)濾波處理后扭矩T與轉(zhuǎn)角θr的關(guān)系

L [T]=-kb-TkssGf(s)L [θr]

(19)

常規(guī)的濾波器傳遞函數(shù)Gf(s)為有理多項(xiàng)式，MSC.Nastran允許將式(19)表示的扭矩-轉(zhuǎn)角關(guān)系以TF(Transfer Function)卡的形式添加到有限元模型中計(jì)算動(dòng)力學(xué)響應(yīng)[21]。

圖3 彎矩Mb的衰減歷程Fig.3 Attenuation process of bending moment Mb

根據(jù)式(10)及系數(shù)kb-T的表達(dá)式，可知人工模態(tài)阻尼比ζa與kb-T的關(guān)系為

(20)

圖4 飛輪輸出扭矩T的變化曲線Fig.4 Varying curve of flywheel output torsional moment

圖5 不同kb-T取值對(duì)彎矩Mb衰減的影響Fig.5 Influence of different values kb-T on attenuation of bending moment Mb

圖6 不同kb-T取值時(shí)扭矩T輸出的變化(取前30 s)Fig.6 Difference of output torsional moment of flywheel T at different values kb-T (taking the previous 30 s)

為驗(yàn)證人工阻尼系數(shù)c或kb-T對(duì)振動(dòng)衰減速度的影響，再取kb-T=1/30 s和1/60 s進(jìn)行仿真，得到的彎矩響應(yīng)曲線和飛輪扭矩如圖5、6所示。從圖5可看出，隨著系數(shù)kb-T的增大，振動(dòng)衰減變快。記模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程(9)中的速度項(xiàng)系數(shù)ζ1+ζa為施加振動(dòng)控制后的理論等效阻尼比，其中ζa可根據(jù)式(20)得到；同時(shí)亦可從彎矩響應(yīng)曲線圖5中提取到kb-T=1/60,1/45,1/30時(shí)的仿真等效阻尼比，兩者結(jié)果如表1所示。

仿真結(jié)果與理論結(jié)果一致，設(shè)計(jì)的控制方法達(dá)到預(yù)計(jì)的效果，即隨著系數(shù)kb-T的增大，等效阻尼比增大。故在飛輪不過載的前提下，應(yīng)盡量提高kb-T。

表1 不同系數(shù)kb-T下的等效阻尼比

4 結(jié)束語

本文分別對(duì)空間飛行器柔性附件的振動(dòng)抑制方法作了原理分析和仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明：這種方法具有清晰的動(dòng)力學(xué)原理，即利用變速飛輪的反作用力矩對(duì)結(jié)構(gòu)做負(fù)功，消耗其振動(dòng)的機(jī)械能，從而加速振動(dòng)的衰減。具體工程實(shí)現(xiàn)可利用電池陣根部動(dòng)態(tài)載荷(例如電測(cè)應(yīng)變)獲得結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，解算出飛輪的轉(zhuǎn)速，這使得飛輪能產(chǎn)生實(shí)現(xiàn)人工阻尼所需要的反作用力矩。有限元的仿真驗(yàn)證考慮了信號(hào)濾波等實(shí)際需要，盡可能真實(shí)地模擬電池陣的工作狀態(tài)，結(jié)果表明：采用約占電池陣質(zhì)量2%的飛輪作動(dòng)器，能使得振動(dòng)衰減時(shí)間縮短2/3，具有較高的效費(fèi)比。振動(dòng)抑制就是從測(cè)量結(jié)構(gòu)振動(dòng)應(yīng)變到輸出飛輪驅(qū)動(dòng)信號(hào)的線性增益過程。流程簡單，對(duì)控制器的性能要求較低。

目前的研究工作還局限于單一方向的振動(dòng)，適合某一類以橫向彎曲振動(dòng)為主要特性的太陽能電池陣。對(duì)于其他類型航天器柔性附件的振動(dòng)抑制還需進(jìn)一步研究。此外，飛輪提供的反作用力矩和結(jié)構(gòu)應(yīng)變?yōu)樵鲆骊P(guān)系，且增益為一常數(shù)。隨著應(yīng)變減小，飛輪實(shí)際輸出的反作用力矩將小于其額定載荷。因此控制過程中，若能調(diào)節(jié)增益使飛輪處于滿載狀態(tài)，充分利用飛輪性能，結(jié)構(gòu)將更快地恢復(fù)平衡。這也有待進(jìn)一步研究驗(yàn)證。本方法驗(yàn)證僅實(shí)施了仿真部分，實(shí)驗(yàn)研究將在今后的工作進(jìn)行。

[1] NA S, TANG G A, CHEN L F. Vibration reduction of flexible solar array during orbital maneuver[J]. Aircraft Engineering and Aerospace Technology, 2014, 86(2): 155-164.

[2] 那帥, 朱春艷, 彭福軍, 等. 基于輸入整形技術(shù)的太陽翼調(diào)姿殘余振動(dòng)抑制實(shí)驗(yàn)研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2013, 32(7): 107-112.

[3] 朱春艷, 紹濟(jì)明, 唐國安. 雙輸入整形器抑制兩軸轉(zhuǎn)動(dòng)太陽翼調(diào)姿后的殘余振動(dòng)[J]. 噪聲與振動(dòng)控制, 2011, 32(6): 1-4.

[4] 朱春艷, 邵濟(jì)明, 那帥, 等. 太陽電池翼調(diào)姿后殘余振動(dòng)抑制的整形器設(shè)計(jì)[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(8): 176-180.

[5] TORISAKA A, YAMAKAWA H. Optimum vibration control design of a light weight structure in wide frequency domain[J]. Journal of Environment and Engineering, 2011, 6(2): 328-339.

[6] SALES T P, RADE D A, DE SOUZA L C G. Passive vibration control of flexible spacecraft using shunted piezoelectric transducers[J]. Aerospace Science and Technology, 2013, 29(1): 403-412.

[7] VELDE W E V, HE J. Design of space structure control systems using on-off thruster[J]. Journal of Guidance, Control, Dynamics, 1983, 6(1): 430-436.

[8] TARAZAGA P, INMAN D, WILKIE W. Control of a space rigidizable-inflatable boom using embedded piezoelectric composite actuators[J]. Journal of Vibration & Control, 2007, 13(7): 935-950.

[9] MAKIHARA K, ONODA J, MINESUHI K. Behavior of piezoelectric transducer on energy-recycling semiactive vibration suppression[J]. AIAA Journal, 2006, 44(2): 411-413.

[10] KALAYCIOGLU S, SILVA D. Minimization of vibration of spacecraft appendages during shape control using smart structures[J]. Journal of Guidance Control & Dynamics, 2015, 23(3): 558-561.

[11] JIANG J P, LI D X. ROBUST H∞vibration control for smart solar array structure[J]. Journal of Vibration and Control, 2010, 17(4): 505-515.

[12] HU Q L. Spacecraft vibration reduction using pulse modulated command input and smart materials[J]. Aircraft Engineering and Aerospace Technology, 2006, 78(5): 378-386.

[13] FAZELZADEH S A, Azadi E. Thermoelastic vibration and maneuver control of smart satellites[J]. Aircraft Engineering and Aerospace Technology, 2017, 89(3): 477-490.

[14] 蔣建平, 李東旭. 智能太陽翼有限元建模與振動(dòng)控制研究[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào), 2009(2): 164-170.

[15] THOMSON M W. The Astromesh deployable reflector[C]∥IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. Orlando, FL, 2002: 1516-1519.

[16] LOCATELLI A, SCHIAVONI N, CASELLA F. Modeling and control for vibration suppression in a large flexible structure with jet thrusters and piezoactuators[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2002, 10(4): 589-599.

[17] FONSECA I M D, BAINUM P M, SILVA A R D. Structural control interaction for an LSS attitude control system using thrusters and reaction wheels[J]. Acta Astronautica, 2007, 60(10/11): 865-872.

[18] 龔鐵裕. 反作用飛輪控制方案及其稀土永磁電機(jī)變結(jié)構(gòu)控制研究[D]. 長沙: 國防科技大學(xué), 2004.

[19] ADDARI D, AGLIETTI G S, REMEDIA M. Experimental and numerical investigation of coupled microvibration dynamics for satellite reaction wheels[J]. Journal of Sound & Vibration, 2017, 386: 225-241.

[20] PETER B. Space recognition guide[M]. 張琪, 付飛, 譯. 北京: 人民郵電出版社, 2009: 303.

[21] MSC. Software Corporation. MSC. Nastran version 70: advanced dynamic analysis user′s guide[M]. [S.l.: s.n.], 2002: 25-29.