賈對紅

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

物理、化學、生物等各種領域中的許多實際問題都可以通過建立微分方程來解決，如能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生物種群競爭、市場價格均衡等。常微分方程的應用如此廣泛，因此其教學顯得尤為重要。

然而，我們在教學過程中還是過多的強調理論基礎，其應用不重視，這樣就不能有效的培養(yǎng)學生的動手與應用能力，也就達不到我們的教學目標。所以如何在重視理論的同時又要突出應用性來適應院校的轉型發(fā)展已經成為我們教學改革中的重中之重。

在常微分方程教學中融入建模思想，同時與數學軟件相結合正是解決該問題的一種實用與可行的方法。它既能從理論上讓學生掌握如何求解常微分方程，又能從實際問題出發(fā)，讓學生了解常微分方程的“由來”，即通過實際問題和學生一起建立常微分方程模型，再利用數學軟件來解方程。這樣既不會讓整個課堂顯得枯燥無味，又能讓學生們自己參與進來，從而更好地調動學生的積極性和培養(yǎng)其創(chuàng)造性。

1 建模思想

如今越來越多的實際問題需要用到“建模思想，用建模方法解決實際問題的步驟主要有三步：提出問題、分析問題和解決問題。作為應用如此廣泛的常微分方程，用建模思想來解決實際問題，是學生們需要掌握的一種應用能力。

在傳統(tǒng)的教學方法中，我們都是先給出一種類型的方程，然后介紹其求解方法。學生們只需要掌握怎么求解即可，他們并不知道為什么要解這類型的方程而不去解其它類型的方程，并不明白這樣的方程從何而來，他們只知所以然，而不知其然?，F在我們要讓學生了解方程從何而來?？梢韵冉o出一個實際問題（不需要太難），讓學生思考該如何解決。這時候可以對學生進行分組，讓他們先討論，然后結合學生們的回答，老師和學生一起給出解決問題的方案。這個過程即是建模思想中的提出問題和分析問題的過程，隨后對建立的方程模型求解則真正實現解決問題。在這個過程中既調動了學生的積極性，又能培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力，同時讓學生真正明白“方程從哪兒來”“為什么要解方程”“方程怎么解”這一系列的問題，從而激發(fā)學生的學習熱情。

2 數學軟件的輔助

不是所有的微分方程都可以用初等方法來求解，同樣對于一些復雜的實際問題建立起來的微分方程，隨后的求解過程也會變的冗長繁瑣。這是為了不讓學生們的學習熱情有所減少，我們可以適當的借助數學軟件，既讓學生體會到了方程求解方法的多樣性，同時也讓他們明白方程的解析解和數值解之間的聯系，也為他們的后續(xù)課程奠定一個良好的基礎。

下面以生物種群中一對典型的歡喜冤家的逃生問題為例加以說明。

有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米處。假設兔子和狼同時發(fā)現對方并一起跑，兔子往正北60米處的洞穴跑，而狼在追兔子，狼是勻速跑而且狼的速度是兔子的兩倍。試建立模型研究以下問題：

（1）根據已知條件，建立狼的運動軌跡的微分方程模型。

（2）用解析法和數值法求解，判斷兔子能否安全回到洞穴。

第一步：在給出問題之后,我們讓學生三個人一組進行討論，對于一些基礎差的學生可以適當的增加人數。在建立運動軌跡模型期間，教師根據學生們的問題給出提示，最后在學生們的各種回答和老師的一一解答中共同得出正確的解答。

假設狼不知兔子遠處有洞穴，故狼的運動方向始終是朝著兔子，而兔子為了躲避狼的追擊是不斷奔跑的，所以狼的速度方向一直變化，它的運動軌跡是一條光滑的曲線。

設兔子的速度是v，以t=0時兔子的位置為原點，兔子朝向狼的方向為x軸，逆時針旋轉90°的方向為y軸建立直角坐標系。t時刻狼的坐標為（x，y），兔子的坐標為（0，vt），狼的速度方向與 x軸負半軸的夾角為θ。

圖1 狼的運動軌跡草圖

t時刻，y對 x求導等于曲線在（x，y）處的切線斜率，即

狼的運動方向指向兔子，所以

將狼的速度分解成沿x軸和y軸方向，即

由（3）得：

對t求導得：

將（5）式兩端同乘以（dt dx）2得：

由（6）得：

（8）式即為狼的運動軌跡的微分方程模型。

第二步，方程是一個二階的微分方程，如何求解這一類型的方程，這是我們重點解決的的問題。通過解這個方程，讓學生掌握高階微分方程求解的一個基本思想“降階”，同時讓學生們了解如何在實際問題中尋找方程的定解條件。

判斷狼是否能追上兔子，可先求出狼在追上兔子的時候跑了多少距離，具體過程如下：

上式兩邊平方得

當x=100時，y=0求得：

由此可得：

可以看出當狼追上兔子之前，兔子已經安全回到洞穴中。

第三步，通過用數學軟件MATLAB讓同學們了解如何用數值方法求解微分方程。

前面已經用解析方法判斷出狼沒有追上兔子，那么我們現在用數值方法求出x=0時y的值，再將其與60比較來判斷狼能否追上兔子。下面就用數值方法借助matlab軟件判斷狼是否能追上兔子的方法。

先建立odefun函數：

再在主程序中輸入下列程序：

即可輸出結果：

x=0.1 時，y=63.5007＞60，而當 x=0 時，y＞63.5007當然也大于60，所以在狼追上兔子之前，兔子已經安全回到洞穴。