劉亞永， 李堯生， 徐魯寧， 韓 立

(1. 中國科學(xué)院電工研究所， 北京 100190； 2. 中國科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049;3. 電力設(shè)備電氣絕緣國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安交通大學(xué)， 陜西 西安 710049)

1 引言

阻尼器是虛擬現(xiàn)實(shí)、搖操作、觸覺顯示以及吸能減振、緩沖沖擊等領(lǐng)域的重要部件[1-3]?，F(xiàn)有的阻尼器參數(shù)固定、不可調(diào)；而電流變阻尼器采用基于電流變液(ElectroRheological Fluids，ERF)的智能材料，由于其屈服應(yīng)力可由外加電場調(diào)節(jié)的特性，使得其阻尼響應(yīng)可以實(shí)現(xiàn)動態(tài)可調(diào)。現(xiàn)有的電流變阻尼器由于采用平板式電極結(jié)構(gòu)，負(fù)載工作時的最高剪切速率較低，難以滿足虛擬現(xiàn)實(shí)及緩沖沖擊等負(fù)載運(yùn)動速率較高領(lǐng)域的應(yīng)用需求，因此需要進(jìn)一步提高電流變阻尼器的這項(xiàng)指標(biāo)[4-6]。

交指狀電極結(jié)構(gòu)(interdigital electrodes configuration)改變了電場分布形態(tài)，與只能提供與剪切方向相垂直的電場的傳統(tǒng)平板電極相比，增加了與電流變液剪切方向相平行的電場分量，能夠有效地提高電流變阻尼器工作時的最高剪切速率[6,7]。然而，交指狀電極結(jié)構(gòu)的幾何尺寸(電極寬度、絕緣寬度)對其電場平行分量的影響規(guī)律尚不清楚，無法將交指狀電極結(jié)構(gòu)有效地應(yīng)用于電流變阻尼器的設(shè)計(jì)。

電流變液是由微、納米尺度的介電顆粒與絕緣液體按一定比例混合而成的復(fù)雜流體，當(dāng)施加電場時，分散相顆粒極化后相互吸引，形成鏈柱狀結(jié)構(gòu)，使得電流變液體系中的粘度迅速增加，具有一定的屈服應(yīng)力，響應(yīng)時間為毫秒級，且過程連續(xù)可逆。這些特性，使其成為智能阻尼器的理想介質(zhì)[8-11]。

本文依據(jù)交指狀電極結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)平臺、電磁場理論及有限元方法，建立了交指狀電極結(jié)構(gòu)在靜電場作用下的有限元模型，并對該模型做合理的簡化處理。在此基礎(chǔ)上，采用有限元軟件COMSOL Multiphysics 5.2a仿真分析交指狀電極結(jié)構(gòu)的幾何尺寸與電場平行分量的關(guān)系。為了更好地將仿真結(jié)果應(yīng)用于基于交指狀電極結(jié)構(gòu)的電流變阻尼器的設(shè)計(jì)，以及對其實(shí)現(xiàn)智能控制，采用Matlab軟件擬合仿真數(shù)據(jù)，得到交指狀電極結(jié)構(gòu)的幾何尺寸對其電場平行分量影響規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并驗(yàn)證了該表達(dá)式的可靠性。

2 仿真分析方法

2.1 仿真模型

本研究建立的交指狀電極的仿真模型以實(shí)驗(yàn)測試臺架為基礎(chǔ)。將Brookfield R/S流變儀的金屬底座換成同尺寸的交指狀電極底座，并將交指狀電極底座與金屬轉(zhuǎn)子做相應(yīng)的絕緣處理，以免施加的高電壓損壞儀器。具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。從下至上依次為：金屬底座、絕緣層1(包括FR-4環(huán)氧板、ABS塑料兩層)、交指狀電極、絕緣層2(尼龍)、金屬轉(zhuǎn)子。研究區(qū)域?yàn)榻^緣層2的下表面與交指裝電極的上表面之間的空間，這是電流變液的有效工作區(qū)域。

圖1 仿真模型Fig.1 Model of simulation

金屬轉(zhuǎn)子有兩種規(guī)格：①直徑75mm，厚度1.5mm，用于屈服應(yīng)力較小的電流變液的測量；②直徑25mm，厚度1.5mm，用于屈服應(yīng)力較大的電流變液的測量。絕緣層2有直徑75mm、25mm兩種規(guī)格，厚度均為2mm，分別與金屬轉(zhuǎn)子相配套。交指狀電極高度為0.02mm，附著于絕緣層1表面；交指狀電極的上表面與絕緣層2的下表面的間距為0.2mm，為板間間距；交指狀電極寬度的變化范圍為0～1mm，正、負(fù)電極間距的變化范圍為0～1mm；絕緣層1中FR-4的厚度為1.6mm，ABS的厚度為8.4mm；金屬底座約為10mm。金屬轉(zhuǎn)子與金屬底座接地連接；工作時，交指狀電極之間施加穩(wěn)定的電勢差。

2.2 交指狀電極在靜電場中的有限元模型

交指狀電極的靜電場求解問題一般可歸結(jié)于偏微分方程的邊值問題。根據(jù)靜電學(xué)中湯姆遜定理，即處于介質(zhì)中的一個固定的帶電導(dǎo)體系統(tǒng)，其表面上電荷的分布，應(yīng)使合成的靜電場具有最小的靜電能量，其表達(dá)式為：

(1)

找出能量泛函的積分式，并令其在滿足狄氏邊界條件的前提下取極值，即構(gòu)成與偏微分方程邊值問題等價的條件變分問題，即

(2)

式中，J[φ(x,y)]為能量的泛函。

交指狀電極在靜電場作用下的有限元模型一般按剖分場域、選取插值函數(shù)、泛函離散化、邊界條件的處理等步驟建立。經(jīng)過上述步驟后，所研究區(qū)域和對象被劃分為N個單元、n個節(jié)點(diǎn)的有限元模型，式(2)的條件變分問題將離散化為一個多元函數(shù)的極值問題，從而導(dǎo)出一組聯(lián)立的代數(shù)方程，即有限元方程：

(3)

式中，K為n×n階系數(shù)矩陣；φ0為節(jié)點(diǎn)的初始電勢值；f為n×1階激勵矩陣。式(3)表示求解區(qū)域內(nèi)未知電勢函數(shù)值與求解域的邊界條件以及激勵源的關(guān)系，常稱為整體矩陣方程。求解式(3)，可得區(qū)域內(nèi)電勢的數(shù)值解[12-14]。

3 交指狀電極在靜電場中的仿真分析

簡單的靜電場模型可按2.2節(jié)的步驟進(jìn)行建模和分析，而對于本文這種較為復(fù)雜的靜電場分析問題，采用大型電磁場分析軟件進(jìn)行計(jì)算、輔助分析，更利于將研究重點(diǎn)放在交指狀電場結(jié)構(gòu)參數(shù)對靜電場平行分量的影響規(guī)律上。本文利用有限元分析軟件COMSOL Multiphysics 5.2a建立交指狀電極在靜電場作用下的有限元模型，并進(jìn)行仿真計(jì)算。在建模過程中為了便于分析，減少計(jì)算量，作如下簡化：

(1)電極長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電極寬度，可視為無限延伸，將模型從三維簡化為二維。

(2)因?yàn)槟Ｐ椭械慕恢笭铍姌O結(jié)構(gòu)是按正極、絕緣、負(fù)極、絕緣這樣的周期性多次延伸下去，可視為無限延伸，所以采用周期性邊界條件。

(3)模型中認(rèn)為金屬轉(zhuǎn)子和金屬底座是理想導(dǎo)體且接地，即等勢體；正、負(fù)電極間存在穩(wěn)定電勢差。

圖2為簡化后的仿真模型單元。其中，w為電極寬度，變化范圍為0～1mm；l為電極與電極之間的絕緣寬度，變化范圍為0～1mm；b為電極高度，為0.02mm；δ為絕緣層2到電極上表面的間距，為0.2mm，即為板間間距；a為仿真模型單元的寬度，即交指狀電極結(jié)構(gòu)的循環(huán)周期長度[15-17]。

圖2 仿真模型單元Fig.2 Model unit of simulation

3.1 邊界條件

圖3為仿真模型單元的邊界條件。圖3(a)為狄氏邊界條件1，其中粗線邊界是高壓電源的正極所加的邊界，變化范圍為0～5000V，在電場強(qiáng)度一定的情況下，其值取決于電極與電極之間的絕緣寬度，此處為1000V；圖3(b)為狄氏邊界條件2，其中粗線邊界是電位值為零的邊界；圖3(c)中，粗線是周期性邊界條件，交指狀電極按正極、絕緣、負(fù)極、絕緣這樣的周期性無限延伸下去。

圖3 仿真模型單元的邊界條件Fig.3 Boundary conditions of simulation model unit

3.2 仿真結(jié)果與討論

3.2.1 電勢分布

在電極寬度及絕緣寬度都為1mm的情況下，仿真模型單元區(qū)域中的電勢分布如圖4所示。從圖4可知，電勢由正電極分別向零電位衰減，由于不同介質(zhì)的相對介電常數(shù)不同，電勢分布的高度曲面在不同介質(zhì)的過渡區(qū)域出現(xiàn)了略微的波動，這與實(shí)際電勢分布比較吻合。電勢的分布與本文實(shí)際測量值基本一致，說明仿真結(jié)果是正確的。

圖4 仿真模型單元區(qū)域內(nèi)電勢分布Fig.4 Electrical potential distribution of model unit

3.2.2 電場平行分量絕對值的分布

電極寬度及絕緣寬度都為1mm的情況下，仿真模型單元區(qū)域內(nèi)電場平行分量絕對值分布如圖5所示。其中，箭頭方向?yàn)槠叫蟹至康姆较颍€段長度代表取對數(shù)后的平行分量的大??；白色區(qū)域表示電場平行分量的絕對值大于106V/m的區(qū)域，其主要分布在電極端點(diǎn)附近，這主要是因?yàn)樵陔姌O的端點(diǎn)電場發(fā)生了畸變。從圖5可以看出，電場平行分量主要集中在電極附近，尤其是電極之間的空氣間隙區(qū)域中，而且隨著距離電極距離的增加，衰減很快。

圖5 仿真模型單元區(qū)域內(nèi)電場平行分量絕對值分布Fig.5 Distribution of absolute value of parallel components of electric field in model unit

3.2.3 仿真模型單元中研究區(qū)域內(nèi)電場平行分量的絕對平均值分布

電場平行分量的絕對平均值A(chǔ)的表達(dá)式為：

(4)

式中，es.Ex為仿真模型單元中研究區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)的電場平行分量值。仿真模型單元中研究區(qū)域內(nèi)電場平行分量的絕對平均值隨絕緣寬度及電極寬度變化的分布如圖6所示，其中l(wèi)表示交指狀電極的絕緣寬度。

圖6 模型單元中研究區(qū)域內(nèi)電場平行分量的絕對平均值分布Fig.6 Distribution of absolute value of parallel components of electric field in air zone of model unit

由圖6可知，在絕緣寬度一定的情況下，仿真模型單元中研究區(qū)域內(nèi)電場平行分量的絕對平均值隨電極寬度的增加呈單調(diào)遞減的趨勢，且這種趨勢隨著絕緣寬度的增加，逐漸變緩；在電極寬度一定的情況下，交指狀電場平行分量的絕對平均值隨絕緣寬度的增加呈單調(diào)增加的趨勢，且這種趨勢隨著絕緣寬度的增加不斷減小。綜上所述，電極寬度越小，絕緣寬度越大，仿真模型單元中研究區(qū)域內(nèi)電場平行分量的絕對平均值越大。

3.3 對仿真模型單元中研究區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度平行分量絕對平均值分布的擬合

基于Matlab的擬合評價標(biāo)準(zhǔn)及對各種擬合模型的對比，本文選擇基于多項(xiàng)式的擬合模型，對仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。擬合表達(dá)式如式(5)所示，置信水平為95%的多項(xiàng)式擬合系數(shù)及其置信區(qū)間如表1所示。

(5)

考察擬合優(yōu)劣的主要指標(biāo)有三個方面：①擬合優(yōu)度(goodness of fit)；②殘差分析；③置信水平與置信區(qū)間[18-20]。下面將結(jié)合這三個方面的評價指標(biāo)對擬合曲面進(jìn)行分析。

表1 擬合方程系數(shù)及其置信區(qū)間(置信水平95%)Tab.1 Equation coefficient of fitting and its confidence interval (with 95% confidence level)

3.3.1 擬合優(yōu)度

電場強(qiáng)度平行分量絕對平均值隨交指狀電極的電極寬度和絕緣寬度分布的曲面擬合優(yōu)度如表2所示。

表2 電場強(qiáng)度平行分量絕對平均值分布的曲面擬合優(yōu)度Tab.2 Goodness of fit of distribution of absolute mean value of parallel component of electric field intensity

(6)

式中，wi為權(quán)重因數(shù)。SSE越接近于0，說明模型選擇和擬合更好，數(shù)據(jù)預(yù)測也越成功。

RMSE為均方根，該統(tǒng)計(jì)參數(shù)是擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對應(yīng)點(diǎn)誤差的平方和的均值，即RMSE=SSE/n，其中n為殘差自由度。與SSE類似，RMSE越接近于0，說明模型選擇和擬合更好，數(shù)據(jù)預(yù)測也越成功。

(7)

(8)

R-square通過數(shù)據(jù)的變化來表征一個擬合的好壞。由式(6)～式(8)可知，R-square的正常取值范圍為[0，1]，越接近1，表明方程的變量對y的解釋能力越強(qiáng)，該模型對數(shù)據(jù)擬合得越好。AdjustedR-square為自由度修飾后的R-square，其值小于等于1，越接近1，表明方程的變量對y的解釋能力越強(qiáng)，該模型對數(shù)據(jù)擬合得越好，負(fù)值表示模型中含有無關(guān)變量。

從表2可以看出，擬合優(yōu)度數(shù)值比較理想。

3.3.2 殘差分析

(9)

圖7 電場強(qiáng)度平行分量絕對平均值分布的擬合殘差圖Fig.7 Fitting residual map of absolute mean distribution of parallel components of electric field

如果擬合模型正確，Residuals呈隨機(jī)分布；Residuals分布得越隨機(jī)，表明模型對數(shù)據(jù)擬合得越好。在原始100個數(shù)據(jù)點(diǎn)中，殘差大于0的有45個，小于0的有50個，等于0的有5個；殘差并沒有集中于某個區(qū)域。另外，由圖7可知，殘差為正、為負(fù)、為零的點(diǎn)出現(xiàn)得比較隨機(jī)，沒有明顯的規(guī)律性、趨勢性，擬合殘差呈隨機(jī)分布。

3.3.3 置信水平與預(yù)測區(qū)間

圖8為交指狀電極電場強(qiáng)度平行分量絕對平均值隨其電極寬度和絕緣寬度分布的擬合曲面，及其置信水平為95%條件下的預(yù)測區(qū)間。由表1可知，擬合方程系數(shù)置信區(qū)間比較窄，說明預(yù)測區(qū)域的變動范圍也比較窄，即該曲面對原始數(shù)據(jù)的擬合比較準(zhǔn)確，擬合結(jié)果有意義。

圖8 電場強(qiáng)度平行分量絕對平均值分布的擬合曲面Fig.8 Fitting curve of distribution of absolute mean value of parallel components of electric field intensity

對擬合優(yōu)度、殘差分析、置信水平與預(yù)測區(qū)間三個方面的討論分析表明，選用5次多項(xiàng)式擬合交指狀電場平行分量的分布曲面能夠真實(shí)反映擬合原始數(shù)據(jù)。

4 結(jié)論

本文采用仿真分析方法，研究了交指狀電極結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)對其電場平行分量的影響規(guī)律。仿真結(jié)果表明，電極寬度越小，絕緣寬度越大，仿真模型單元中研究區(qū)域內(nèi)電場平行分量的絕對平均值越大。

將交指狀電極結(jié)構(gòu)在不同幾何尺寸下空間電場平行分量的分布規(guī)律進(jìn)行了曲面擬合，得出交指狀電極結(jié)構(gòu)電場分布的控制方程。經(jīng)過對其擬合優(yōu)度、殘差及置信水平與置信區(qū)間三種評價指標(biāo)的分析，表明5次多項(xiàng)式的曲面表達(dá)式能準(zhǔn)確地反映交指狀電極結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)對其電場平行分量的影響規(guī)律，可用于基于交指狀電極結(jié)構(gòu)的電流變阻尼器的設(shè)計(jì)。

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