陳沛林，蔚保國，鄭曉冬

(1.衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與裝備技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊050081；2.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

0 引言

Metamaterials(MTMs)人工電磁材料，也稱“超材料”，可寬泛定義為由人工實(shí)現(xiàn)的等效均勻的電磁結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)具有自然界不易實(shí)現(xiàn)的特殊屬性。等效均勻結(jié)構(gòu)是由很多單元(cell)組成的結(jié)構(gòu)，如果單元滿足了等效均勻化條件，那么單元組成的整體結(jié)構(gòu)對于導(dǎo)波波長的電磁波來說可以看作一個“真實(shí)的”材料。該材料的電磁特性由其本構(gòu)參數(shù)(等效介電參數(shù)和等效磁導(dǎo)率)來描述，已知結(jié)構(gòu)的本構(gòu)參數(shù)才能從結(jié)構(gòu)尺寸上對其進(jìn)行控制和優(yōu)化。因此準(zhǔn)確地獲取Metamaterial的本構(gòu)參數(shù)，具有重要意義。

S參數(shù)提取算法是提取材料本構(gòu)參數(shù)的一種有效方法。該基本理論來源于Nicolson-Ross-Weir(NRW)方法[1-2]。Caloz等人對于CRLH TL的等效電路參數(shù)提取過程提出了一種方法[3]，這種方法把電容和電感分開求解，得到LC參數(shù)。該算法比較方便，但忽略了分布參數(shù)元件之間的耦合效應(yīng)。X.D.Chen針對Metamaterial提出了具有魯棒性的提取方法[4]。Smith等人提出了對于非均勻介質(zhì)的參數(shù)提取方法[5]。S.G.Mao等人針對微帶線實(shí)現(xiàn)方式的人工材料改進(jìn)了NRW參數(shù)提取方法[6-7]，這種方法將CRLH TL作為一個整體來做參數(shù)提取和電路建模。

S參數(shù)提取法由于只關(guān)心端口特性，適用于介質(zhì)厚度較小的情況。但是對于介質(zhì)厚度與波長相比擬的情況，該算法存在多分支問題。S.G.Mao提出的等效電路是針對平衡情況下的參數(shù)提取，此情況下CRLH TL結(jié)構(gòu)是被當(dāng)做均勻互易的媒質(zhì)的，而且在每個頻點(diǎn)都用到了平衡狀態(tài)下傳輸線的條件。然而實(shí)際中CRLH TL可以是非對稱不平衡結(jié)構(gòu)的，平衡條件不能普遍適用。

本文基于S參數(shù)反演算法提出了修正算法，對超材料中復(fù)合左右手傳輸線結(jié)構(gòu)、非對稱結(jié)構(gòu)以及S參數(shù)結(jié)果多值情況下的提取過程進(jìn)行了聯(lián)合修正，并對該算法的因果性進(jìn)行了分析。

1 各向同性S參數(shù)提取

根據(jù)等效介質(zhì)理論，對于周期加載的人工材料單元，當(dāng)單元周期l遠(yuǎn)小于導(dǎo)波波長λg時，可以近似用等效介電常數(shù)εeff和等效磁導(dǎo)率μeff來描述。復(fù)合左右手傳輸線(CRLH TL)的路結(jié)構(gòu)中的電磁波傳播模式為準(zhǔn)TEM模，而開口諧振環(huán)和細(xì)導(dǎo)線的場結(jié)構(gòu)中傳播模式為TEM模，因此，可以將時間因子定義為e-iωt。為了表示方便，在厚度為d的人工材料單元中，定義傳播因子p，

p=eik0nd，

(1)

式中，k0為自由空間波數(shù)；n為折射率，與等效介電常數(shù)εeff和等效磁導(dǎo)率μeff的關(guān)系為：

(2)

式中，εeff=Re(εeff)+jIm(εeff)；μeff=Re(μeff)+jIm(μeff)；Re(·)和Im(·)分別為實(shí)部算子和虛部算子。

S參數(shù)定義如圖1所示。

圖1 S參數(shù)定義

根據(jù)文獻(xiàn)[5]，S參數(shù)與等效波阻抗Zeff和傳播因子的關(guān)系為：

(3a)

(3b)

(3c)

由式(3)反推Zeff和p，得

(4a)

(4b)

(4c)

首先，在式(4b)反推折射率n的過程中，公式兩邊取對數(shù)時存在多值性問題。但是，若工作波長遠(yuǎn)大于介質(zhì)厚度d時，n的解就不存在多值性，可以直接由式(4b)反推得到。一般情況下，介質(zhì)是無源的，為了保證因果性，可以由以下條件限定Zeff和n，消除式(4a)中±號帶來的多值性，即

Re(Zeff)≥0， Im(n)≥0。

(5)

由本構(gòu)關(guān)系可以求得等效介電常數(shù)εeff和等效磁導(dǎo)率μeff，

εeff=n/Zeff，μeff=n·Zeff。

(6)

至此，對于介質(zhì)厚度d遠(yuǎn)小于工作波長而且介質(zhì)在波傳播方向上對稱的情況，上述方法已經(jīng)能夠正確地提取到S參數(shù)。如果想證明這種方法的有效性，可以用該方法計(jì)算1946年Kock[8]提出的球形單元，并與解析式的計(jì)算結(jié)果相比較[9-10]。如果考慮雙各向異性的介質(zhì)，則需要在不同方向上采取類似的提取過程[11]。

如果計(jì)算平面微帶線實(shí)現(xiàn)的復(fù)合左右手傳輸線結(jié)構(gòu)，則需要對上述方法進(jìn)行修正；對于介質(zhì)厚度d較大的情況下，需要對折射率的取值做去分支處理；對于非對稱結(jié)構(gòu)也應(yīng)當(dāng)加以修正。下面對S參數(shù)提取法的修正做進(jìn)一步討論。

2 S參數(shù)提取算法修正

2.1 非對稱修正

假設(shè)單元結(jié)構(gòu)是無限重復(fù)的。式(4c)中S11那一項(xiàng)對應(yīng)于結(jié)構(gòu)是對稱的情況，即單元結(jié)構(gòu)是等效均勻的而且是可互易的。根據(jù)文獻(xiàn)[5]，對于非對稱結(jié)構(gòu)，即S11≠S22，那么要將式(4c)中S11那一項(xiàng)替換為平均值Sav，

(7)

2.2 去分支修正

反推式(1)得到折射率的表達(dá)式為：

n={Im[ln(p)]+2mπ-iRe[ln(p)]}/(k0d)，

(8)

式中，虛部可以由式(5)唯一確定，而實(shí)部卻由于多分支2mπ(m=0，±1，±2…)存在不確定性。一般在介質(zhì)電長度較小的情況下不考慮n的實(shí)部的不確定性，因?yàn)檫@時n一般不存在多值性。換句話說，由S參數(shù)提取算法計(jì)算得到的值在低頻微波頻段是穩(wěn)定的(由等效媒質(zhì)條件d<λg/4，頻率大約要小于c/(4d))。然而對于高頻微波頻段，文獻(xiàn)[4]提供了一種很好的去除分支的方法。這種方法借助泰勒展開式，理論依據(jù)是介質(zhì)εeff和μeff的頻率色散函數(shù)應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)上的連續(xù)函數(shù)，因此折射率n的取值也應(yīng)當(dāng)是連續(xù)的，所以可以由上一個頻點(diǎn)的n的取值來判斷下一頻點(diǎn)n的取值分支。傳輸因子p的泰勒展開式為：

(9a)

Δ=in(fk+1)k0(fk+1)d-in(fk)k0(fk)d，

(9b)

式中，頻點(diǎn)fk+1是頻點(diǎn)fk的下一個頻點(diǎn)。簡單來說，n可以在起始頻率由m=0唯一確定。因?yàn)槠鹗碱l率經(jīng)常是較低頻率，可以保證介質(zhì)電長度，對于波長來說是非常小的(d<λg/4)。以上對于n在起始頻率的取值是一種簡化算法，很多算例也證明這種簡化是合理的。另外，文獻(xiàn)[4]對于如何更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卮_定n在頻率起始的點(diǎn)的取值有更詳細(xì)的討論。

要確定折射率n的實(shí)部在下一個頻點(diǎn)的分支，從函數(shù)連續(xù)性出發(fā)，要使下一個頻點(diǎn)的分支m(m=0，±1，±2…)的取值使得下一個頻點(diǎn)n的實(shí)部Re[n(fk+1)]距離上一頻點(diǎn)n的實(shí)部最近。這樣，就可以唯一確定m的取值。最后發(fā)現(xiàn)，最終的計(jì)算結(jié)果與仿真或者測量得到的S參數(shù)結(jié)果的精度有關(guān)。如果頻率間隔太寬，以至于在某些頻點(diǎn)的劇烈諧振被忽略，那么就有可能造成算法選擇錯誤的分支，得到不合理的結(jié)果。所以，在采用去分支算法時，應(yīng)當(dāng)盡量使用小的頻率間隔和較小的介質(zhì)厚度d。

2.3 微帶線修正

Metamaterial的微帶線實(shí)現(xiàn)形式中，微帶線的端口面是由介質(zhì)基板和空氣混合填充的，因此需要考慮微帶線的空氣填充阻抗Z0a。由于從S參數(shù)計(jì)算的等效阻抗Zeff是歸一化的，是相對值，因此需要重新對微帶線的空氣填充阻抗Z0a進(jìn)行歸一化處理。修正后的相對波阻抗Zeff′為：

Zeff′=Zeff·Z0/Z0a。

(10)

空氣填充微帶線阻抗的換算公式可選用工程公式[12]，

(11a)

(11b)

式中，D為微帶線介質(zhì)基板厚度；W為微帶線寬度；εe為微帶線的有效介電常數(shù)，這個介電常數(shù)對應(yīng)的介質(zhì)可以替換微帶線的空氣和電介質(zhì)，是等效均勻的介質(zhì)。

3 算例

通過一般微帶線與細(xì)導(dǎo)線和開口諧振環(huán)的例子，說明修正方法的有效性。

3.1 標(biāo)準(zhǔn)微帶線算例

微帶線介質(zhì)基板選擇FR4，相對介電常數(shù)為εr=4.4，相對磁導(dǎo)率μr=1，厚度1.6 mm，損耗正切0.022。微帶線長10 mm，通過AWR Design Environment中的TX-Line計(jì)算工具設(shè)置該介質(zhì)基板的微帶線的寬度，使P它的端口阻抗為50 Ω的寬度。文獻(xiàn)[6]的計(jì)算結(jié)果可以與本文算法的計(jì)算結(jié)果做對比分析。

對這段微帶線通過仿真計(jì)算，提取S參數(shù)。將S參數(shù)代入到S參數(shù)提取算法中，應(yīng)用去分支和微帶線修正，計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

圖2(a)是沒有應(yīng)用去分支修正的結(jié)果，可以看到，在低頻時，微帶線在電磁波傳播方向上的厚度d滿足等效介質(zhì)條件d<λg/4，于是S參數(shù)提取算法有效。當(dāng)頻率升高，等效介質(zhì)條件被打破，d≥λg/4，于是出現(xiàn)折射率n的分支模糊，此時由于沒有應(yīng)用去分支算法，分支選擇仍為m=0分支，于是在計(jì)算結(jié)果上出現(xiàn)了較大幅度的跳變，這樣的參數(shù)提取結(jié)果是不合理的。

圖2(b)所示的結(jié)果為采用去分支修正的結(jié)果，與文獻(xiàn)[6]的計(jì)算結(jié)果吻合。由于選擇計(jì)算空氣填充微帶線等效阻抗的公式不同，在最終的計(jì)算結(jié)果中，得到εeff和μeff幅值可能會有一些微小的誤差，但是這些誤差是可以接受的。

圖2 S參數(shù)提取算法采用修正算法前后的結(jié)果對比

3.2 開口諧振環(huán)(SRRs)和細(xì)導(dǎo)線(Wires)算例

為了方便結(jié)果對比，本節(jié)應(yīng)用的單元模型設(shè)置與文獻(xiàn)[5]相同，驗(yàn)證去分支算法的有效性。算例單元與尺寸標(biāo)注如圖3所示，單元結(jié)構(gòu)是一個立方體，邊長為2.5 mm，材料為真空，其中的基底材料為FR4，εr=4.4，μr=1，損耗正切0.022。諧振環(huán)開口間距均為g=0.3 mm，外環(huán)長度w=2.2 mm，環(huán)的線寬均為c=0.2 mm，兩環(huán)間距s=0.15 mm，可算出內(nèi)環(huán)長度為1.5 mm，導(dǎo)體桿的線寬為0.14 mm，所有銅線的厚度均為0.017 mm。電磁波在其中沿x軸正向傳播，邊界條件設(shè)置為2個波端口；電場沿y方向極化，設(shè)置y方向上下兩平面為理想導(dǎo)電體PEC；z方向上下兩平面為理想導(dǎo)磁體PMC。假設(shè)Metamaterial單元在xyz三個方向上呈現(xiàn)三維周期性，yz方向上的周期性可以通過設(shè)置PEC及PMC來模擬。

圖3 算例單元與尺寸標(biāo)注

波端口的參考阻抗為50 Ω。S參數(shù)提取算法的修正僅采用去分支算法。提取結(jié)果的如圖4所示。

圖4 單元的S參數(shù)提取得到的等效折射率結(jié)果

該結(jié)構(gòu)為典型的左手材料單元結(jié)構(gòu)，在X波段顯示出雙負(fù)特性。對于這樣的單個單元，如果不采用去分支算法，得到的計(jì)算結(jié)果完全相同。說明對于電小尺寸的單元結(jié)構(gòu)，用等效介質(zhì)條件簡化的算法是有效的。但是在簡化之前要用該等效介質(zhì)條件估算結(jié)構(gòu)是否滿足該條件(電磁波傳播所經(jīng)過的厚度，在此為w，即w<λg/4)。

下面來計(jì)算一個由5個開口諧振環(huán)和細(xì)導(dǎo)線單元組成的介質(zhì)板的電磁參數(shù)。在y和z方向上同樣用PEC及PMC來模擬周期性?？紤]到計(jì)算機(jī)內(nèi)存的限制，在y和z方向上沒有設(shè)置相同的介質(zhì)板來考慮在y和z方向上單元的耦合。這里主要關(guān)心的是去分支算法的有效性，所以盡量簡化了問題。模型如圖5所示。

圖5 5個開口諧振環(huán)單元組成的人工材料介質(zhì)板模型

如果在算法中不考慮n的多分支，而直接應(yīng)用不含去分支修正的S參數(shù)提取算法計(jì)算，得到的結(jié)果是不合理的，會看到折射率n的符號翻轉(zhuǎn)，如圖6所示。因?yàn)閷τ谶@樣一個長12.5 mm的結(jié)構(gòu)，大約從6 GHz開始，等效均勻原理的條件已經(jīng)不再適用，那么沒有去分支修正的S參數(shù)算法的適用條件也就不滿足了。這個預(yù)測是與圖中顯示的折射率實(shí)部的跳變相吻合的。

圖6 無去分支過程的結(jié)果

應(yīng)用去分支修正的算法結(jié)果如圖7所示。可以看到，這樣的結(jié)果避免了折射率n的取值分支的模糊性，消除了符號翻轉(zhuǎn)。雖然由于模型在x方向上具有多個單元，在x方向上各單元的耦合影響了提取結(jié)果，表現(xiàn)為結(jié)果上微小的擾動，但是這個結(jié)果的總體趨勢與圖5所示的一個單元的計(jì)算結(jié)果是完全一致的。特別是在幾個負(fù)折射的特征點(diǎn)上，例如折射率n小于零的起始點(diǎn)與終止點(diǎn)、介電常數(shù)的過零點(diǎn)等，都吻合得較好。

圖7 5個單元組成的介質(zhì)板的參數(shù)提取結(jié)果

4 因果性條件

根據(jù)能量守恒定律得到色散媒質(zhì)的耗散功率W[13]，

(12)

式中，

ε=ε0εeff=ε0[Re(εeff)+j·Im(εeff)]，

μ=μ0μeff=μ0[Re(μeff)+j·Im(μeff)]，

Eω和Hω分別為電場強(qiáng)度矢量和磁場強(qiáng)度矢量。運(yùn)用|Eω/Hω|2=|μeff|/|εeff|，化簡得

(13)

根據(jù)因果性，介質(zhì)是無源的，那么W>0，根據(jù)式(13)得到如下條件，

Im(εeff)·|μeff|+Im(μeff)·|εeff|>0。

(14)

要使式(14)成立，那么需要使εeff和μeff中至少有一個大于零?？梢则?yàn)證，經(jīng)過修正的S參數(shù)提取算法得到的εeff和μeff滿足式(14)，并不違反熵增加原理。

另外，根據(jù)文獻(xiàn)[14]，負(fù)折射并不完全等同于電磁參數(shù)ε和μ同時為負(fù)，而只需要滿足

Re(n)<0?Re(ε)|μ|+Re(μ)|ε|<0。

(15)

所以，Re(ε)<0且Re(μ)<0為Re(n)<0的充分條件而不是必要條件。

5 結(jié)束語

本文應(yīng)用函數(shù)連續(xù)性與泰勒展開式，同時引入了非對稱情況和微帶線情況下的修正，補(bǔ)充了去分支修正算法，有效地解決了電長度大的超材料的等效電磁參數(shù)提取問題，拓寬了S參數(shù)提取法的適用范圍。

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