夏 明

（南開大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津 300071）

0 引言

消費(fèi)者的選擇和效用（福利）問題在微觀經(jīng)濟(jì)理論中一直居于核心地位，很多微觀經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)證研究都是建立在消費(fèi)者效用問題上。同時(shí)，微觀經(jīng)濟(jì)理論又是宏觀經(jīng)濟(jì)理論的基石，對消費(fèi)者行為的考量在許多宏觀經(jīng)濟(jì)模型的建立中是必不可少的。在諸多影響消費(fèi)者行為的因素中，價(jià)格是最重要的因素之一，研究價(jià)格變化對消費(fèi)者的行為和福利的影響對于制定各種科學(xué)合理的經(jīng)濟(jì)政策有著重要的意義。

在價(jià)格變化對消費(fèi)者行為和福利的影響方面，學(xué)者們進(jìn)行了深入的研究[1-4]，國內(nèi)比較有代表性的研究主要集中在糧食和食品上：邵飛等（2010）[5]、徐永金等（2012）[6]和苗珊珊（2014）[7]均運(yùn)用Minot模型分別分析了我國玉米價(jià)格波動的福利效應(yīng)、糧食價(jià)格波動對主產(chǎn)區(qū)福利的影響和中國糧食價(jià)格波動的農(nóng)戶福利效應(yīng)；羅知等（2010）[8]研究了進(jìn)口商品價(jià)格波動對城鎮(zhèn)居民消費(fèi)支出的影響；趙昕東等（2013）[9]利用QUAIDS模型和補(bǔ)償變量法分析了食品價(jià)格上漲對不同收入等級城鎮(zhèn)家庭消費(fèi)行為與福利的影響；李光泗等（2014）[10]用供求曲線圖以及剩余的概念分析了兩種不同糧食價(jià)格政策對社會福利的影響；王小葉（2015）[11]從希克斯消費(fèi)者剩余的角度研究了食品價(jià)格上漲對城鎮(zhèn)居民福利的影響；趙昕東等（2016）[12]運(yùn)用EASI需求系統(tǒng)分析了各類食品價(jià)格上漲對不同收入等級城鎮(zhèn)家庭消費(fèi)與福利的影響。但這些研究所基于的單個(gè)消費(fèi)者需求曲線和市場需求曲線是以商品在實(shí)物上可無限分割（這就使得商品的數(shù)量可以是任意的非整數(shù)）為假設(shè)條件的。而在現(xiàn)實(shí)生活中，商品在實(shí)物上作為一個(gè)完整的個(gè)體一般是不可分割的，只能以整數(shù)單位被購買，如商品房、汽車、家電產(chǎn)品、服裝等；而有些商品，其本身雖可被分割或近乎無限分割，但由于早已被包裝成了一份一份的，因此也只能以整數(shù)單位（份數(shù)）被購買，如礦泉水、各種飲料、食用油、奶粉、麥片、超市里已被分割并包裝好的肉類等。因此，需要研究在現(xiàn)實(shí)中商品不可分割條件下當(dāng)商品價(jià)格變化時(shí)消費(fèi)者的最優(yōu)選擇是如何確定的，呈現(xiàn)怎樣的規(guī)律和特征，相應(yīng)的消費(fèi)者福利又是怎樣的。而對于這些問題，鮮有學(xué)者進(jìn)行過研究，因此，本文將基于柯布-道格拉斯效用函數(shù)對這些問題進(jìn)行研究。

1 模型構(gòu)建

為了使分析具有最廣泛的代表性，本文的分析基于最常用的柯布-道格拉斯效用函數(shù)，這一函數(shù)形式是最典型的良性且嚴(yán)格凸的偏好形式。在柯布-道格拉斯效用函數(shù)形式下，所分析的商品是正常商品，這就排除了低檔商品和吉芬商品這些特殊情況。同時(shí)，模型中的消費(fèi)者定義為代表性消費(fèi)者。

在確定了效用函數(shù)形式之后，依照對消費(fèi)者最優(yōu)選擇問題的經(jīng)典分析，本文設(shè)有兩種商品：一種是我們所要關(guān)注的商品，而另一種是所有其他商品的復(fù)合，稱為復(fù)合商品，通常視為貨幣。這樣既可以簡化分析，又不失結(jié)論的一般性，由此可構(gòu)建一個(gè)二維圖形模型，如圖1所示：

圖1

圖1中，橫軸代表商品1的數(shù)量，記為X1，這是我們要關(guān)注的商品，其價(jià)格記為P1；縱軸代表商品2的數(shù)量，記為X2，商品2是除商品1之外的所有商品的復(fù)合，稱為復(fù)合商品，其價(jià)格記為P2。由于把復(fù)合商品視為貨幣，因此有P2=1，同時(shí)，由于最小單位的貨幣可以很小，因此可以把商品2近似看成可無限分割。

模型中的柯布-道格拉斯效用函數(shù)形式是U=X1a

X2b，其中U代表效用，系數(shù)a和b分別是商品1和商品2的消費(fèi)支出所占的收入份額，且有a+b=1。圖1中的兩條無差異曲線u1和u2代表不同的效用，且有u2＞u1。

圖1中的L1和L2分別是當(dāng)商品1的價(jià)格P1為P11和P12（P11＞P12）時(shí)的預(yù)算線，L1的方程是 P11X1+P2X2=m ，L2的方程是 P12X1+P2X2=m 。L1與u1相切于點(diǎn)A，L2與u2相切于點(diǎn)C，點(diǎn)A與C所對應(yīng)的X1分別是A1和C1，設(shè)A1和C1恰為相鄰的兩個(gè)整數(shù)，即C1=A1+1。在柯布-道格拉斯效用函數(shù)形式下易解出：A1=am/P11,C1=am/P12。

圖1中的D點(diǎn)是位于L2上的一點(diǎn)，D點(diǎn)所對應(yīng)的X1也是A1，連接A、D兩點(diǎn)，則線段是與橫軸垂直的，上的點(diǎn)所對應(yīng)的X1均為整數(shù)A1；B點(diǎn)是位于L1上的一點(diǎn)，B點(diǎn)所對應(yīng)的X1也是C1（B點(diǎn)也有可能位于L1在橫軸下方的延長線上，即預(yù)算線為L1時(shí)，全部的收入都不足以購買到C1單位的商品1。但為了分析的方便，本文假設(shè)B點(diǎn)位于橫軸上方，這樣做并不失分析和結(jié)論的一般性），連接B、C兩點(diǎn)，則線段是與橫軸垂直的，上的點(diǎn)所對應(yīng)的X1均為整數(shù) C1。

2 消費(fèi)者最優(yōu)選擇分析

當(dāng)價(jià)格變化時(shí)，在商品可無限分割的條件下，消費(fèi)者的最優(yōu)選擇軌跡是一條連續(xù)的價(jià)格提供曲線。而在商品不可分割，只能以整數(shù)單位被選擇或購買的實(shí)際條件下，消費(fèi)者的最優(yōu)選擇是怎樣的呢？現(xiàn)以圖1中區(qū)間（A1，C1）即價(jià)格區(qū)間（P12，P11）為例進(jìn)行分析。

當(dāng)P1處于區(qū)間（P12，P11）時(shí)，相應(yīng)的預(yù)算線就處在L1與L之間，如圖1中的虛線L所示。L與線段和分

233別相交于點(diǎn)E和F，與價(jià)格提供曲線相交于點(diǎn)G，點(diǎn)G所對應(yīng)的 X1為 G1，且 A1＜G1＜C1，G1是一個(gè)非整數(shù)。在商品可無限分割條件下，G是一個(gè)最優(yōu)選擇，消費(fèi)者會選擇購買數(shù)量為G1的商品1。但是當(dāng)商品不可分割時(shí)，G1是無法實(shí)現(xiàn)的，從而G也是不可實(shí)現(xiàn)的，那么此時(shí)的最優(yōu)選擇是怎樣的呢？當(dāng)商品不可分割，只能以整數(shù)單位被購買時(shí)，消費(fèi)者只能在自己的預(yù)算線上所對應(yīng)的X1為整數(shù)的點(diǎn)中去選擇使其效用最大的點(diǎn)。那么如何才能最為方便地找到這些點(diǎn)呢？更為重要的，這些點(diǎn)的分布具有怎樣的規(guī)律和特征呢？

圖1中的G點(diǎn)是L3與位于u1和u2之間的某條無差異曲線（如圖中的虛線u3）的切點(diǎn)。根據(jù)邊際替代率遞減的原理，從G點(diǎn)出發(fā)，沿著預(yù)算線L3向左上方移動。即隨著X1越來越少時(shí)，每減少一單位X1，為保持效用不變，需增加的X2的量應(yīng)當(dāng)越來越多，即ΔX2/ΔX1的值應(yīng)當(dāng)越來越大于G點(diǎn)處的邊際替代率（即預(yù)算線L3的斜率P1）。而由于預(yù)算線L3的斜率不變，恒等于P1，每減少一單位X1，增加的X2的量也是固定不變的，即固定為P1，因此，從G點(diǎn)出發(fā)，沿著預(yù)算線L3向左上方，其效用是越來越少的。所以，在L3上，位于G點(diǎn)左邊的所有對應(yīng)的X1為整數(shù)的點(diǎn)中，效用最大的一定是G點(diǎn)左邊第一個(gè)這樣的點(diǎn)，即E點(diǎn)。由于L3代表位于L1與L2之間的任一條預(yù)算線，則L3與價(jià)格提供曲線的交點(diǎn)即G點(diǎn)就是價(jià)格提供曲線上位于A點(diǎn)與C點(diǎn)之間的任一點(diǎn)，因此L與線段的交點(diǎn)即E點(diǎn)就是位于線段

3上A點(diǎn)和D點(diǎn)之間的任一點(diǎn)。同時(shí)，當(dāng)P1=P11或P12時(shí)，則L3與L1或L2重合，G點(diǎn)就分別與A點(diǎn)或C點(diǎn)重合，則E點(diǎn)就分別與A點(diǎn)或D點(diǎn)重合，因此，E點(diǎn)將取遍線段上所有的點(diǎn)，即E點(diǎn)所對應(yīng)的X1總是為整數(shù)A1。同樣根據(jù)邊際替代率遞減的原理，在L3上，位于G點(diǎn)右邊的所有對應(yīng)的X1為整數(shù)的點(diǎn)中，效用最大的一定是G點(diǎn)右邊第一個(gè)這樣的點(diǎn)，即F點(diǎn)。同理可知，F(xiàn)點(diǎn)將取遍線段上所有的點(diǎn)，即F點(diǎn)所對應(yīng)的X1總是為整數(shù)C1。

因此，當(dāng)價(jià)格P1在區(qū)間[P12，P11]上變化時(shí)，相應(yīng)的預(yù)算線就在L1與L2之間變動（包括與L1、L2重合的情況），相應(yīng)的最優(yōu)選擇點(diǎn)G就在價(jià)格提供曲線上，在點(diǎn)A與點(diǎn)C之間變動（包括與點(diǎn)A、C重合的情況）；對應(yīng)的G1將相應(yīng)的在區(qū)間[A1，C1]上變動。在商品不可分割的條件下，最優(yōu)選擇要么是點(diǎn)G左邊的線段上的點(diǎn)（包括G點(diǎn)與A點(diǎn)重合的情況），要么是G點(diǎn)右邊的線段上的點(diǎn)（包括G點(diǎn)與C點(diǎn)重合的情況）；相應(yīng)的對X1的最優(yōu)選擇要么是小于或等于G1的最大的整數(shù)A1，要么是大于或等于G1的最小的整數(shù)C1。那么什么時(shí)候選擇線段上的點(diǎn)（即點(diǎn)E，這時(shí)X1=A1），什么時(shí)候選擇線段上的點(diǎn)（即點(diǎn)F，這時(shí)X1=C1）呢？

隨著價(jià)格P1的變化，每一條相應(yīng)的預(yù)算線L3都將與線段、分別交于E、F點(diǎn)，因此可先求出E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得出點(diǎn)E、F處的效用（分別記為UE、UF）。

先求出E點(diǎn)的坐標(biāo)。E點(diǎn)是L3與線段的交點(diǎn)，因此可由下列方程組解出E點(diǎn)的坐標(biāo)：

其中的bm和m－A1P12分別是點(diǎn)A與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)。

解得E點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為X1=A1和X2=m－A1P1，(P12≤P1≤P11)。則P11)，可見UE是相對應(yīng)的價(jià)格P1的函數(shù)。

同理，根據(jù)下列方程組解出F點(diǎn)的坐標(biāo)：

其中的m－C1P11和bm分別是點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)。

解得F點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為X1=C1和X2=m－C1P1，則P11)，可見UF是相對應(yīng)的價(jià)格P1的函數(shù)。

容易證明，UE和UF均是連續(xù)可導(dǎo)且在定義域(P12≤P1≤P11)內(nèi)均是單調(diào)遞減的，反過來說，當(dāng)P1從P11逐漸下降到P12的過程中，UE和UF均是逐漸增大的。同時(shí)，由于A點(diǎn)的效用大于B點(diǎn)的效用，而D點(diǎn)的效用卻又小于C點(diǎn)的效用，也就是說當(dāng)P1=P11時(shí)，UE＞UF。而當(dāng)P1=P12時(shí)，UE＜UF，那么在P1從P11逐漸變化到P12的過程中，必有某個(gè)價(jià)格使得UE=UF。求解方程UE=UF，可得：

如將A1=am/P11,C1=am/P12代入上式，還可得：

也可以通過圖形來看，假設(shè)圖1中所畫出的L3恰好是當(dāng)P1=時(shí)的預(yù)算線，那么圖中的點(diǎn)E、F處的效用是相等的，UE=UF。即不管選擇的X1是A1還是C1，效用都一樣，都是最優(yōu)選擇；而當(dāng)＜P1≤P11時(shí)，圖中線段（除去端點(diǎn)E）上的點(diǎn)的效用均大于線段（除去端點(diǎn)F）上相應(yīng)點(diǎn)（即處于同一條預(yù)算線上的點(diǎn)）的效用。此時(shí)應(yīng)取線段（除去端點(diǎn)E），即選擇的X1為A1；同理，當(dāng)P12≤P1＜時(shí)，應(yīng)取線段（除去端點(diǎn)F），即選擇的X1為C1。由此可知，在商品不可分割的條件下，消費(fèi)者的選擇具有這樣的特征：即消費(fèi)者會在與非整數(shù)最優(yōu)選擇量（在商品可無限分割假設(shè)下所得出的，如圖1中的G1）最左右相鄰的兩個(gè)整數(shù)量（如圖1中的A1和C1）之間作出選擇。隨著價(jià)格的下降，消費(fèi)者最初會一直選擇位于該非整數(shù)最優(yōu)選擇量最左邊的整數(shù)量（即小于該非整數(shù)最優(yōu)選擇量的最大整數(shù)量）；當(dāng)價(jià)格下降突破某個(gè)臨界值（如上述中的）時(shí)，消費(fèi)者的選擇會躍升到位于該非整數(shù)最優(yōu)選擇量最右邊的整數(shù)量（即大于該非整數(shù)最優(yōu)選擇量的最小整數(shù)量）。

以上是以某兩個(gè)相鄰整數(shù)量（A1和C1）為端點(diǎn)所構(gòu)造的區(qū)間為例進(jìn)行分析，而對于所有這樣的區(qū)間都可以有同樣的分析和結(jié)論。可見，在商品不可分割的條件下，隨著價(jià)格的逐漸變化，消費(fèi)者的最優(yōu)選擇的軌跡不再是一條連續(xù)的價(jià)格提供曲線，而是由一系列所對應(yīng)的商品數(shù)量恰為整數(shù)的垂直線段所組成。

3 消費(fèi)者福利分析

現(xiàn)從效用的角度來分析消費(fèi)者的福利，以圖1中區(qū)間[A1，C1]為例。

本文假設(shè)圖1中所畫出的L3即為P1=時(shí)的預(yù)算線，則點(diǎn)E、F處的效用相等。L3與價(jià)格提供曲線相交于點(diǎn)G，點(diǎn)G所對應(yīng)的X1為G1，本文先分析區(qū)間[A1，G1]，再分析區(qū)間[G1，C1]。

在區(qū)間[A1，G1]上，即價(jià)格區(qū)間[，P11]上，與每一個(gè)價(jià)格對應(yīng)的預(yù)算線與線段和各有一個(gè)交點(diǎn)，線段上的交點(diǎn)的效用（記為uAG）是大于線段上的交點(diǎn)的效用（記為uAE），在商品不可分割的條件下，只能取線段上的交點(diǎn)，由此就產(chǎn)生了效用損失。而在價(jià)格從P11逐漸下降到的過程中，相應(yīng)的預(yù)算線就會逐漸地從L1轉(zhuǎn)向L3，相應(yīng)的預(yù)算線與線段的交點(diǎn)會逐漸地從點(diǎn)A移向點(diǎn)E，與線段----的交點(diǎn)會逐漸地從點(diǎn)A移向點(diǎn)G，因此就會連續(xù)產(chǎn)生效用損失，則總效用損失就可用以下數(shù)學(xué)式來計(jì)算：

求解上式得：

同理，對于區(qū)間[G1，C1]，即價(jià)格區(qū)間[P12，]，其總效用損失可用以下數(shù)學(xué)式來計(jì)算：

求解上式得：

上面分別求出了區(qū)間[A1，G1]和[G1，C1]上的效用損失，則區(qū)間[A1，C1]上的效用損失就是和之和，即便是區(qū)間[A1，C1]上消費(fèi)者的福利損失。

以上是以某兩個(gè)相鄰整數(shù)量（A1和C1）為端點(diǎn)所構(gòu)造的區(qū)間為例進(jìn)行分析和計(jì)算，而對于所有這樣的區(qū)間上的福利損失都可以有同樣的分析和計(jì)算。

4 總結(jié)

本文是以柯布-道格拉斯效用函數(shù)這一偏好形式為例進(jìn)行分析。實(shí)際上，對于其他良性且嚴(yán)格凸的效用函數(shù)形式，只要所涉及的商品（即文中的商品1）是非吉芬商品，哪怕是低檔商品，其需求量都會隨著價(jià)格的下降而增加。本文的分析和結(jié)論也是完全適用的，僅僅是所計(jì)算出來的效用損失的表達(dá)式不同（因?yàn)樾в煤瘮?shù)的具體形式不一樣）。

本文基于柯布-道格拉斯效用函數(shù)對商品不可分割條件下當(dāng)價(jià)格變化時(shí)的消費(fèi)者最優(yōu)選擇及其福利進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，在商品不可分割條件下，由于消費(fèi)者只能以整數(shù)單位去選擇或購買商品，因此隨著價(jià)格的逐漸變化，消費(fèi)者的最優(yōu)選擇的軌跡不再是一條連續(xù)的價(jià)格提供曲線，而是由一系列的所對應(yīng)的商品數(shù)量恰為整數(shù)的垂直線段所組成。這同時(shí)也會導(dǎo)致消費(fèi)者對商品的選擇不是過少就是過多，進(jìn)而就會導(dǎo)致福利的損失。因此，為了減少消費(fèi)者的福利損失，可以采取一些措施對商品進(jìn)行盡可能的分割或者“分割”，這方面的措施可以包括兩種情況：一是對于那些在實(shí)物上可進(jìn)行一定程度分割的商品，在綜合考慮了各種因素（比如分割商品所導(dǎo)致的成本）的情況下可盡量分割；二是對于那些在實(shí)物上不能進(jìn)行分割的商品，可以采用產(chǎn)品差別化的辦法對其進(jìn)行“分割”。

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