閆春，劉倩，劉偉

（山東科技大學a.數(shù)學與系統(tǒng)科學學院；b.計算機科學與工程學院，山東青島266590）

0 引言

未決賠款準備金的提存對非壽險保險公司至關重要，其評估的精度將顯著影響保險公司的業(yè)績和經(jīng)營的風險。隨著時代的發(fā)展，相關研究逐漸的深入，未決賠款準備金評估的重點已從點估計轉移到估計波動性與估計區(qū)間等其他統(tǒng)計特征。對原有確定性方法進行隨機化改進，以便對準備金的損失過程建立隨機模型，這種思路已經(jīng)成為了如今準備金評估模型研究的主流[1-6]。本文研究的隨機性方法基于Clark(2003)[7]，文中提出以最終賠付進展因子倒數(shù)的變化曲線模擬索賠損失進展趨勢，建立隨機模型并應用最大似然法求參數(shù)估計。該方法是一種能夠對流量三角形的索賠進展趨勢進行模擬的隨機性方法，因此能夠合理估計隨機模型下的尾部因子，這一點是離散參數(shù)的隨機模型(如廣義線性模型)所不具備的。

本文首先介紹了Clark的建模思路與方法，給出該方法的模型結構與預測誤差的計算公式。在保持原模型與結構誤差不變的基礎上，引入Bootstrap法，對樣本與模型擬合值的殘差進行重復抽樣，從數(shù)值模擬的角度來度量模型參數(shù)誤差的真值，給出Bootstrap法下模型評估未決賠款準備金的預測誤差。最后，運用R軟件將原方法的預測誤差與Bootstrap法下的預測誤差進行比較了算例的比較與分析。

1 Clark方法

1.1 Clark方法的基本假設

Clark建立的模型由兩部分構成，一個是利用函數(shù)曲線對索賠損失的進展趨勢做出合理的模擬；一個是假設每個進展期內(nèi)發(fā)生的索賠是隨機變量。即假設損失過程滿足：

（1）各事故年累計索賠期望損失率的進展趨勢均滿足函數(shù)曲線G的表達式；

（2）增量索賠損失相互獨立，同分布。

1.1.1 進展趨勢的模擬曲線各事故年的索賠損失進展趨勢曲線函數(shù)可表示為：

式(1)中LDFj即為同一事故年、不同進展年的最終賠付進展因子，即n為該事故年的最終進展年，且當j=n時，LDFn=1。所以有G(j)∈[0，1] j=1，…，n。不難發(fā)現(xiàn)，G(j)即是第j進展年時累計已決賠款占最終賠款的比例。

Clark參考Sherman(1984)[8]中運用反冪函數(shù)曲線擬合索賠損失進展趨勢的結果，結合常用分布曲線的尾部特征，決定使用Loglogistic分布函數(shù)曲線與Weibull分布函數(shù)曲線。

采用Loglogistic曲線，有：

同理，Weibull曲線的表達式為：

1.1.2 增量索賠損失的分布假設

設事故年i在第j個進展年的增量已決賠款Ci，j(1≤i≤I，1≤j≤J)為隨機變量，其相互獨立，服從過度分散泊松分布，則有：

其中μij表示為事故年i在第j進展年間增量索賠損失的期望值，φ為OPD的散度參數(shù)，使用經(jīng)調整的Pearson殘差對其進行估計，其估計量為：

式(2)中p為模型參數(shù)個數(shù)，n為樣本觀察值。

做出兩個假設后，還需求得各事故年的最終損失期望，才能夠得到未來各個進展期索賠額的估計。Clark提出了分別基于LDF法與CapeCod法的思路利用最大似然法估計各事故年的最終損失，并建立了兩種不同的評估模型。

1.2 LDF模型

LDF模型假設各事故年索賠的最終損失是相互獨立的，增量索賠損失的期望表示為：

模型(3)中共有參數(shù)n+2個，其中包括n個事故年最終損失參數(shù)ULTi，兩個模擬曲線參數(shù)ω，θ。

構建該模型的似然函數(shù)。由于增量已決賠款Ci，j相互獨立，服從ODP分布（同負二項分布），以增量已決賠款流量三角形為數(shù)據(jù)樣本，其對數(shù)似然函數(shù)為：

式(4)中的散度參數(shù)φ假設為未知常數(shù)。

對該模型進行極大似然估計（MLE）等同于對下式求極大：

將式(3)代入式(5)，得到：

假設的擬合曲線不同，曲線參數(shù)ω與θ的MLE估計表達式也不同，這里不再詳細給出。

1.3 Cape Cod模型

CapeCod模型假設歷史時期內(nèi)各事故年索賠的最終損失存在一定的聯(lián)系，不妨認為各事故年的期望賠付率相同，即各事故年的已賺純保費與最終損失期望的比值相同。其模型為：

模型(8)中只有3個參數(shù)，分別為期望賠付率ELR和兩個擬合曲線參數(shù)ω，θ。

構建該模型的似然函數(shù)。同LDF模型，其對數(shù)似然函數(shù)為式(4)。因此，對Cape Cod模型進行極大似然估計也等同于對式(5)求極大。

將式(8)代入式(5)，得到：

這里，ω與θ的MLE估計也不再詳細給出。

求得各參數(shù)的MLE估計后，就可以得到增量已決賠款Ci，j的期望μij，總未決賠款準備金即為：

1.4 Clark方法的預測誤差

隨機模型的預測誤差（MSEP）為：

由式(12)可知，預測誤差由過程誤差與參數(shù)誤差組成：過程誤差是由隨機假設部分造成，參數(shù)誤差由曲線擬合部分造成。

在Clark方法下，考慮增量已決賠款Ci，j相互獨立且服從過度分散泊松分布，則各模型的過程誤差均為：

對于參數(shù)估計誤差的計算，Clark使用Cramer-Rao信息不等式得到參數(shù)無偏估計的方差下界。

LDF方法下，F(xiàn)isher信息矩陣為：

那么，參數(shù)估計的協(xié)方差矩陣滿足：

其中：

那么，其參數(shù)估計的協(xié)方差矩陣滿足：

這樣就得到了Clark方法下模型參數(shù)誤差的度量，從而也就得到了預測誤差。

這里應該指出，CapeCod模型與LDF模型比，參數(shù)誤差會比較小?？紤]包含10個事故年的流量三角形，運用CapeCod模型只需對3個參數(shù)進行估計，而LDF模型需要估計12個參數(shù)，因此LDF模型可能存在過度參數(shù)化的問題。

此時，本文得到的是參數(shù)無偏估計的方差下界，且當參數(shù)估計為一致最小方差無偏估計(UMVUE)時，方差就能夠達到這個下界。但是這里必須要說明，Clark方法使用的MLE估計只是漸進無偏的，因此在樣本容量不大的情況下，該方差下界只能作為一種近似的下界。這個近似的下界就作為Clark方法下模型參數(shù)誤差的一個度量，最后將過程誤差與其相加即得到Clark方法下模型的預測誤差。

2 Bootstrap法在Clark方法中的應用

2.1 Bootstrap法模擬預測分布

依據(jù)Bjorkwall(2009，2011)[9,10]使用Bootstrap法給出未決賠款準備金預測分布的具體方法，應用參數(shù)Bootstrap法模擬Clark方法下準備金預測分布的基本思路為：

（1）在給定的增量已決賠款流量三角形數(shù)據(jù)樣本下，按照Clark方法的建模思路求出模型參數(shù)的MLE估計，如LDF模型中的{，，進而得到{Ci，j}的擬合值與預測值，如：

（2）計算分散參數(shù)φ，參考Clark方法中φ的估計，具體見（1）式。

（3）Clark方法中假設增量賠款額Ci，j服從ODP分布，因此，將第（1）步中的{Ci，j}的上三角形擬合值視為增量賠款隨機變量Ci，j的均值，從均值為、方差為的ODP分布中抽取隨機數(shù)，作為擬增量已決賠款流量三角形(i+j≤I)，然后在利用模型得到模擬數(shù)據(jù)下參數(shù)的MLE估計的預測值，如：

（5）多次Bootstrap再抽樣，可得到總未決賠款準備金的預測分布的多次模擬，其樣本點分布即為Bootstrap抽樣下得到的總未決賠款準備金的預測分布。均值、標準差、分位數(shù)等相關分布度量都可以在樣本點分布中求得?？紤]到一般情況下，抽樣10000次即可獲得較滿意的結果。

2.2 Bootstrap法估計預測誤差

應用Bootstrap法求Clark方法的預測誤差，實際上是用Bootstrap抽樣數(shù)值模擬模型的參數(shù)誤差。由式(13)，隨機模型的預測誤差為過程誤差與參數(shù)誤差之和，過程誤差的計算見式(14)。

對于Bootstrap法求模型的參數(shù)誤差，直接利用上文中的參數(shù)Bootstrap法計算未決賠款準備金預測分布過程中的結果。在多次重復抽樣過程中，可以得到一系列未決賠款準備金的均值估計，Bootstrap法數(shù)值模擬的參數(shù)誤差就是多次抽樣得到的未決賠款準備金均值估計的方差(張連增(2008)[11])。

因此，Bootstrap法估計Clark方法的預測誤差為：

相對于Clark根據(jù)信息不等式給出模型預測誤差的一個近似下界，Bootstrap法則是利用統(tǒng)計推斷對模型進行多次仿真來給出預測誤差的數(shù)值模擬。應該說，這兩種方法是各具優(yōu)勢的。由于Clark方法的參數(shù)估計不滿足信息不等式的使用條件，原方法給出的預測誤差只是一個真值取值的近似下界，因此本文引入Bootstrap法給出參數(shù)誤差的數(shù)值模擬，這樣可以從另一個角度給出預測誤差真值的度量，使得精算人員對Clark方法下模型的預測誤差有更準確的認識。

3 實證分析

本文利用Taylor&Ashe(1983)[12]文中的數(shù)據(jù)樣本進行實證分析。該樣本在張連增[3]、Clark[7]等學者的文中均被引用為算例，其每一事故年的索賠進展趨勢都比較平穩(wěn)，利于分析。具體樣本數(shù)據(jù)見表1所示。

表1 累計已決賠款額流量三角形

使用R軟件中ChainLadder程序包，即得到樣本下LDF模型與CapeCod模型的相關估計結果。由于CapeCod模型的建立需要各事故年已賺純保費數(shù)據(jù)，因此參考Clark的處理方法：在該流量三角形數(shù)據(jù)樣本下，假設各事故年已賺純保費是線性遞增的，滿足：Pi=10000000+400000×(i-1) i=1，…，10。Clark方法能夠模擬索賠損失的進展趨勢，在僅有10年索賠數(shù)據(jù)的情況下，也可利用曲線外推得到最終賠付損失。考慮未來的不確定性，本文對每個模型都外推10年。各模型估計結果見表2所示。

表2 Clark方法下各模型的參數(shù)及誤差估計

觀察同一模型下不同曲線擬合的結果，可以發(fā)現(xiàn)Loglogistic曲線下的準備金、預測誤差都比Weibull曲線的大。造成這種情況的主要原因是因為Loglogistic分布是重尾分布，而Weibull分布的尾部較Loglogistic分布“薄”。雖然精算人員在評估未決賠款準備金時都比較保守，但是Loglogistic曲線模型也有其研究意義。由于未來的不確定性，任何合理假設建立的評估模型都有其參考價值。精算人員在預感到未來可能會出現(xiàn)大量理賠的情況下，使用Loglogistic這樣的重尾分布曲線就非常合理。

觀察兩個模型的過程誤差，可以發(fā)現(xiàn)LDF模型與CapeCod模型大致相同。對于參數(shù)誤差方面，LDF模型則比CapeCod模型大了許多。這可能是因為CapeCod模型建模時使用了更多的索賠信息數(shù)據(jù)，有效降低了參數(shù)誤差。因此，盡可能多的將索賠信息考慮進模型中對減少模型的預測誤差、提高評估精度是十分有效的，從最后的CV值情況來看也支持這個結果。但是我們同樣也不能認定CapeCod模型要優(yōu)于LDF模型，因為兩者建模時利用的信息不對等，CapeCod模型的估計結果優(yōu)于LDF模型在一定程度上是必然的。而且，相對于CapeCod模型，LDF模型的建立更具有一般意義，該模型是以鏈梯法思想為基礎，可以與其他基于鏈梯法思想的隨機模型進行比較分析，體現(xiàn)Clark方法的特點。

運用Bootstrap抽樣，得到的各模型參數(shù)Bootstrap法下參數(shù)誤差及MSEP見表3所示。

表3 Bootstrap法下各模型的估計誤差

從表3可以看出，各模型Bootstrap法下的參數(shù)誤差與MSEP大小的排序與信息不等式給出的結論是一致的：采用Weibull曲線的模型比Loglogistic曲線模型的誤差要?。籆apeCod模型的預測誤差比LDF模型的要小。

圖1 參數(shù)Bootstrap法下各模型評估未決賠款準備金的預測分布

圖1給出的是利用參數(shù)Bootstrap法模擬得到的Clark方法下四個模型評估總未決賠款準備金的完整預測分布，其對應的分布特征見下頁表4。在大量重復抽樣的情況下，總未決賠款準備金的預測分布呈漸進正態(tài)，本文分別給出了對應的正態(tài)分布曲線，各模型的預測分布曲線對比見下頁圖2。

表4 參數(shù)Bootstrap法下未決賠款準備金預測分布的分布特征

圖2 各模型評估未決賠款準備金的預測分布擬合曲線的比較

4 結論

本文研究了未決賠款準備金評估的Clark方法，并在此基礎上做了進一步的探討。Clack方法利用分布函數(shù)曲線來模擬索賠損失的進展趨勢，在假設增量已決（已報案）賠款服從過度分散泊松分布的情況下，使用最大似然法對各事故年最終損失和分布曲線中的參數(shù)進行估計，并利用信息不等式給出預測誤差的近似下界。該方法是一種可以對損失進展趨勢進行模擬并估計尾部因子的隨機性評估方法，這是該方法的獨特之處，也是本文研究該方法的主要原因?？紤]原方法中計算未決賠款準備金預測誤差的方法有條件限制且過于復雜繁瑣，本文引入了Bootstrap法相關理論，從數(shù)值模擬的角度得到預測誤差的一個度量，并給出該方法下未決賠款準備金的預測分布。最后，本文對兩種方法做了理論與算例的比較，分析了各自的特點與優(yōu)勢。

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