闕翠平，王應(yīng)明，藍(lán)以信

（福州大學(xué)決策科學(xué)研究所，福州350116）

0 引言

自Tversky等[1]于1978年提出前景理論后，一些基于有限理性的行為決策理論相繼被提出。如后悔理論[2]，失望理論[3]，累積前景理論[4]和第3代前景理論[5]等。其中累積前景理論通過模型函數(shù)和參數(shù)調(diào)整來準(zhǔn)確描繪決策者偏好風(fēng)險(xiǎn)（面對(duì)收益時(shí)）和厭惡風(fēng)險(xiǎn)（面臨損失時(shí)）的心理特征，更符合在不確定環(huán)境下決策者所做出有限理性的決策行為。目前，已有學(xué)者將累積前景理論運(yùn)用于決策分析，如劉思峰等[6]運(yùn)用累積前景理論解決動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)灰靶決策問題；樊治平等[7]運(yùn)用累積前景理論解決具有決策者期望的混合型多屬性決策問題；Li[8]提出一種基于累積前景理論和D-S理論的決策分析方法。但現(xiàn)有的研究并未對(duì)累積前景理論與猶豫模糊集相結(jié)合的多屬性決策問題進(jìn)行探討。

本文就屬性值為猶豫模糊集且屬性間存在關(guān)聯(lián)的風(fēng)險(xiǎn)型決策問題為背景，結(jié)合決策者的主觀風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，提出一種基于累積前景理論的屬性關(guān)聯(lián)猶豫模糊TOPSIS風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策分析方法。首先，對(duì)屬性值進(jìn)行規(guī)范化處理，確定正、負(fù)理想解為決策參考點(diǎn)，定義了猶豫模糊數(shù)的前景價(jià)值函數(shù)，同時(shí)結(jié)合累積決策權(quán)重函數(shù)計(jì)算針對(duì)猶豫模糊信息的累積前景矩陣。然后，通過2可加模糊測(cè)度對(duì)屬性集的權(quán)重建模，應(yīng)用Choquet積分的思想，對(duì)經(jīng)典逼近理想解法進(jìn)行改進(jìn)，給出屬性關(guān)聯(lián)下方案與理想解的距離公式，并以此計(jì)算各個(gè)方案的改進(jìn)型關(guān)聯(lián)度。最后，對(duì)備選方案進(jìn)行優(yōu)劣排序，并結(jié)合例子分析證明該方法的可行性。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 模糊測(cè)度和Choquet積分

定義1[9]：設(shè)P(X)為X={x1，x2，…，xn}的冪集，μ為定義在P(X)上的集函數(shù)，μ:P(X)→[0，1]，若μ滿足以下性質(zhì)：

（1）μ(?)=0，μ(X)=1；

（2）若A?B?X，則μ(A)≤μ(B)≤μ(X)；

則稱μ為定義在P(X)上的模糊測(cè)度。

利用模糊測(cè)度對(duì)單個(gè)屬性的全局重要度建模，不僅要考慮單個(gè)屬性的測(cè)度值，還需考慮屬性集測(cè)度值。即：假設(shè)X為某個(gè)多屬性決策問題的指標(biāo)集，則對(duì)于任意A，B∈P(X)且A∩B=?，μ(A)和μ(B)可以解釋為屬性集A，B的權(quán)重或者重要程度。若μ(A)+μ(B)＜μ(A∪B)，則說明屬性（集）A，B間存在補(bǔ)充關(guān)系；若μ(A)+μ(B)＞μ(A∪B)，則說明屬性集A，B間存在冗余關(guān)系；若μ(A)+μ(B)=μ(A∪B)，則說明屬性集A，B相互獨(dú)立。

定義2[10]：設(shè)μ為定義在P(X)上的模糊測(cè)度，離散Choquet積分定義為f:A→R+關(guān)于μ的映射：

1.2 猶豫模糊集的基本知識(shí)

定義3[11]：設(shè)X是給定的論域，稱|x∈X}為X上的猶豫模糊集，其中hH(x)是由區(qū)間[0，1]上幾個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成的集合，表示x屬于集合H的若干種可能的隸屬度。)為一個(gè)猶豫模糊數(shù)，猶豫模糊數(shù)h的補(bǔ)為hc=H{1-γ1，1-γ2，…，1-γl}，其中l(wèi)表示猶豫模糊數(shù)h中元素個(gè)數(shù)。

定義4[12,13]：對(duì)任一猶豫模糊數(shù)h=H{γ1，γ2，…，γl}，其得分函數(shù)s(h)和方差函數(shù)v(h)分別定義為：

在方差函數(shù)和得分函的基礎(chǔ)上，猶豫模糊數(shù)的排序規(guī)則為：對(duì)于任意兩個(gè)猶豫模糊數(shù)h1和h2，s(h1)和s(h2)分別是猶豫模糊數(shù)h1和h2的得分值，v(h1)和v(h2)分別是猶豫模糊數(shù)h1和h2的方差，則：

（1）若s(h1)＜s(h2)，則h1?h2

（2）若s(h1)＞s(h2)，則h1?h2

定義5[13]：對(duì)于任意的三個(gè)猶豫模糊元h、h1和h2，它們的基本運(yùn)算法則如下：（其中θ是一個(gè)常數(shù)）

定義6[14]：設(shè)猶豫模糊數(shù)假設(shè)其中的元素按增序排列且具有相同個(gè)數(shù)，即l1=l2=l。距離測(cè)度用猶豫模糊歐氏距離測(cè)度表示（其中分別為猶豫模糊數(shù)h中第ρ小的值），即：

1.3 累積前景理論

累積前景理論在“有限理性”的基礎(chǔ)上，體現(xiàn)決策者的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好。累積前景值V(f)主要由兩部分組成，即價(jià)值函數(shù)υ和決策權(quán)重函數(shù)π。

Tversky等提出用冪函數(shù)替代價(jià)值函數(shù)υ(Δx)，體現(xiàn)了決策者在面臨收益時(shí)更傾向于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避以及面臨損失時(shí)更傾向于風(fēng)險(xiǎn)追求的特性，即：

其中，Δx為x偏離某一參考點(diǎn)x0的大小，Δx≥0，表示獲益；Δx＜0，表示獲弊。α，β體現(xiàn)了決策者對(duì)利、弊的敏感性程度。θ表示決策者對(duì)損失和收益敏感度比較來說，決策者更敏感于損失。且α，β，θ的取值范圍分別為α＞0，β＜1，θ＞1。

在多屬性決策過程中，若屬性值表示為猶豫模糊數(shù)，則通過利用猶豫模糊歐氏距離測(cè)度衡量各個(gè)方案偏離決策參考點(diǎn)的大小，定義猶豫模糊環(huán)境下的價(jià)值函數(shù)，如下所示：

累積前景理論中的決策權(quán)重函數(shù)這一概念，體現(xiàn)了累積前景理論相比于前景理論的優(yōu)勢(shì)所在，就是不再依靠單個(gè)概率而是通過累積概率進(jìn)行決策權(quán)重計(jì)算。即：根據(jù)Δx的大小將前景f表示為有序序列，使得Δx(1)≤Δx(2)≤…≤Δx(k)≤Δx(k+1)≤…≤Δx(n)，收益和損失的決策權(quán)重函數(shù)表達(dá)式為：

2 屬性關(guān)聯(lián)下猶豫模糊TOPSIS決策模型的構(gòu)建

2.1 問題描述

例如一個(gè)猶豫模糊風(fēng)險(xiǎn)多屬性決策問題包括m個(gè)備選方案和n個(gè)評(píng)價(jià)屬性。令X={x2，…，xm}(i=1，2，…，m)表示方案集，C={c1，c2，…，cn}(j=1，2，…，n)表示屬性集，且屬性集不再是加性獨(dú)立，而可能存在著某種關(guān)系。對(duì)于每個(gè)屬性Cj有tj種可能的狀態(tài){s2，…，stj}，屬性cj在自然狀態(tài)sk下出現(xiàn)的可能性為pjk?；趯傩詂j和自然狀態(tài)sk，決策方案xi的屬性值為猶豫模糊數(shù)hijk，其中hijk表現(xiàn)為猶豫模糊數(shù)形式，即：hijk=H{，…，，lijk表示hijk中元素個(gè)數(shù)。

2.2 猶豫模糊環(huán)境下累積前景值的計(jì)算

隨著社會(huì)的發(fā)展，由于受到日益復(fù)雜化的決策問題和決策者自身的思維模式局限性的影響，決策者往往難以表達(dá)其偏好信息。同時(shí)，決策者做決策時(shí)，一般根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好進(jìn)行裁決。因此，本文針對(duì)風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，提出一種猶豫模糊環(huán)境下累積前景值的計(jì)算方法，旨在解決上述問題，具體步驟如下所示：

步驟1：構(gòu)造樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化猶豫模糊決策矩陣M。

將猶豫模糊數(shù)內(nèi)的各個(gè)元素按照增序方式進(jìn)行排列，然后采用Xu和Xia[16]的拓展方法擴(kuò)展元素個(gè)數(shù)較少的猶豫模糊數(shù)，使其具有相同的元素個(gè)數(shù)，即lijk=l。

步驟2：對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化猶豫模糊決策矩陣M進(jìn)行歸一化處理。

在風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問題中，評(píng)價(jià)屬性主要分為兩大類，即效益型和成本型。為了排除不同變量對(duì)決策結(jié)果的影響，將成本型屬性通過猶豫模糊數(shù)規(guī)范化方法[17]轉(zhuǎn)化為效益型屬性，得到歸一化猶豫模糊決策矩陣，即：對(duì)效益型屬性有=hijk；對(duì)成本型屬性有=()，且

步驟3：決策參考點(diǎn)的選取。

在累積前景理論中，決策者主要根據(jù)參考點(diǎn)來判別各個(gè)方案的收、失情況。因此，正確選擇參考點(diǎn)對(duì)決策結(jié)果起到至關(guān)重要的作用。本文以正負(fù)理想解作為決策過程中的參考點(diǎn)。

設(shè)X+為正理想解，X-為負(fù)理想解，則在屬性cj和狀態(tài)sk下可得：

步驟4：確定方案在各狀態(tài)下屬性的收益、損失矩陣。

用猶豫模糊歐氏距離計(jì)算方案xi在屬性cj下與決策參考點(diǎn)的距離。令D(xi，)和D(xi，)分別表示方案xi在屬性cj下與正理想解X+和負(fù)理想解X-之間的距離集，即：

通過累積前景理論中價(jià)值函數(shù)概念以及行為經(jīng)濟(jì)學(xué)可以得到如下：若采用正理想解為參考點(diǎn)，各方案基于正理想解是損失的；反之，采用負(fù)理想解為參考點(diǎn)，則是獲益的，即：

其中α=β=0.88，-0.48112[5]。

步驟5：計(jì)算各方案在各個(gè)屬性下的累積前景值。

由累積前景理論可知，為計(jì)算方案xi在屬性cj下的累積前景值，需根據(jù)小分別將方案xi在屬性cj下的前景f表示為有序序列，使得：

若以正、負(fù)理想解為決策參考點(diǎn)，得到方案xi在屬性cj下的正累積前景值和負(fù)累積前景值，則有方案xi在屬性cj下的累積前景值為兩者之和，即：

且ω+和ω-函數(shù)如下：

其中r+，r-，φ分別取值為r+=r-=0.8,φ=1.0[18]。

2.3 屬性關(guān)聯(lián)下基于累積前景理論的TOPSIS排序方法

在現(xiàn)實(shí)風(fēng)險(xiǎn)多屬性決策中，不同屬性之間總是存在著某種相互作用或關(guān)系[19]?；诖耍疚脑?可加模糊測(cè)度和逼近理想點(diǎn)法的基礎(chǔ)上，提出一種屬性關(guān)聯(lián)下基于累積前景理論的TOPSIS風(fēng)險(xiǎn)決策方法，如下所示：

步驟1：依據(jù)累積前景矩陣V，確定正理想解和負(fù)理想解。設(shè)V+為正理想解，V-為負(fù)理想解，則有：

步驟2：通過2可加模糊測(cè)度對(duì)屬性集的權(quán)重建模，應(yīng)用Choquet積分的思想對(duì)經(jīng)典逼近理想解法中計(jì)算方案到正、負(fù)理想解的距離公式進(jìn)行改進(jìn)。

已知專家給定屬性的Shapley值和交互作用指標(biāo)，對(duì)屬性集權(quán)重建模。即：對(duì)屬性集合C={c2，…，cn}，設(shè)μ是定義在X上的2可加模糊測(cè)度，則?A?X，有：然后應(yīng)用Choquet積分的思想對(duì)計(jì)算方案xi到正理想解V+和負(fù)理想解V-的距離公式進(jìn)行改進(jìn)，表示為：

步驟3：計(jì)算各方案的改進(jìn)型關(guān)聯(lián)度，并對(duì)方案排序。

基于經(jīng)典逼近理想點(diǎn)法，可得到方案xi與正、負(fù)理想解的關(guān)聯(lián)度為：

然而，學(xué)者Hadi-Vencheh和Mirjaberi[20]指出由于決策問題的復(fù)雜性以及人類自身認(rèn)知的局限性，在一些現(xiàn)實(shí)風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問題中，經(jīng)典逼近理想解法的相對(duì)貼近度最大的方案可能并不滿足與正理想解最近、與負(fù)理想解最遠(yuǎn)。因此，基于這個(gè)思想，對(duì)于猶豫模糊環(huán)境下基于累積前景理論的TOPSIS方法，給出一種改進(jìn)型關(guān)聯(lián)度：

3 算例分析

表1 s1性能決策矩陣

表2 s2性能決策矩陣

表3 s3性能決策矩陣

其中，矩陣中的元素H{0.5，0.6，0.7}表示決策組織在評(píng)價(jià)S3性能狀態(tài)下方案x1滿足屬性c1的程度時(shí)，評(píng)估值可能是0.5或0.6或0.7，其他的數(shù)據(jù)具有類似的意義。

為了正確測(cè)度猶豫模糊數(shù)之間的歐氏距離，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化和歸一化處理。不失一般性，如果決策者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型，可以通過反復(fù)增加具有較少的元素的猶豫模糊數(shù)中的最小元素，使猶豫模糊數(shù)內(nèi)的所有元素具有相同的個(gè)數(shù)。

（1）根據(jù)上文中猶豫模糊環(huán)境下累積前景值的計(jì)算方法，在決策過程中以正、負(fù)理想解作為決策參考點(diǎn)，確定方案在各狀態(tài)下屬性的收益、損失矩陣，計(jì)算各方案在各個(gè)屬性下的累計(jì)前景值，如表4所示。

表4 累積前景矩陣V

（2）已知專家給定屬性的Shapley值和交互作用指標(biāo)，其中Shapley={0.18,0.25,0.36,0.21}，交互作用指標(biāo)為I12=-0.08，I23=-0.125，I24=-0.1，I13=I14=I34=0。根據(jù)式（10）對(duì)屬性集權(quán)重建模，得到屬性集所有子集的2可加模糊測(cè)度如表5所示。

表5 屬性集所有子集的2可加模糊測(cè)度值

（3）依據(jù)上文中屬性關(guān)聯(lián)下基于累積前景理論的TOPSIS排序方法，分別計(jì)算方案xi到正理想解V+和負(fù)理想解V-的距離，從而得到各方案的改進(jìn)型關(guān)聯(lián)度：

確定各方案的優(yōu)劣排序?yàn)閤5?x3?x4?x2?x1。因此，x5為該風(fēng)險(xiǎn)投資企業(yè)的最優(yōu)選擇。

為說明本文提出的方法的有效性，首先，考慮決策者的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好和屬性間的關(guān)聯(lián)性，運(yùn)用式（13）計(jì)算各備選方案的經(jīng)典關(guān)聯(lián)度。接著，只考慮決策者在決策過程中的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好，而不考慮屬性間的關(guān)聯(lián)性，使用文獻(xiàn)[21]中的方法，通過將猶豫模糊決策矩陣轉(zhuǎn)化為得分矩陣，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算備選方案的綜合前景值；再者，同時(shí)不考慮決策者的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好和屬性間的關(guān)聯(lián)性，根據(jù)文獻(xiàn)[22]的方法，設(shè)屬性的權(quán)重值W={w1，w2，w3，w4}={0.18，0.25，0.36,0.21}，計(jì)算備選方案的相對(duì)貼近度。以上兩種方法得到的結(jié)果同本文方法得到經(jīng)典關(guān)聯(lián)度和改進(jìn)型關(guān)聯(lián)度的比較如表6所示。

表6 不同決策方法的結(jié)果比較

由以上不同決策方法的比較研究中發(fā)現(xiàn)：利用基于經(jīng)典關(guān)聯(lián)度的決策分析方法得到的方案排序與正文方法得到的排序存在差異，可以看出猶豫模糊環(huán)境下運(yùn)用改進(jìn)型關(guān)聯(lián)度對(duì)方案排序有一定的影響。文獻(xiàn)[21]的方法通過計(jì)算備選方案的綜合前景值進(jìn)行排序，與本文方法排序不完全一致，原因在與文獻(xiàn)[21]的方法沒有考慮各屬性間存在的關(guān)聯(lián)性。文獻(xiàn)[22]的方法只能針對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)得出相應(yīng)的結(jié)論，且決策結(jié)果各不相同，難以為實(shí)際決策提供支撐。且其假設(shè)決策者對(duì)損失和收益持有相同的風(fēng)險(xiǎn)偏好以及屬性間完全相互獨(dú)立，與實(shí)際不符。

從數(shù)據(jù)中可知，在各性能狀態(tài)下方案x4的c2屬性值都優(yōu)于方案x3的屬性值，c1，c3，c4屬性下方案x4與方案x3的屬性值差別不大。因此，本文的方法綜合考慮三種狀態(tài)，同時(shí)將決策者的主觀風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和屬性的關(guān)聯(lián)性引入決策中，得到x5?x3?x4?x2?x1的排序結(jié)果更加符合實(shí)際決策情形。

4 結(jié)論

本文針對(duì)屬性間存在關(guān)聯(lián)的猶豫模糊風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，給出一種基于累積前景理論和改進(jìn)型逼近理想解法的決策方法。依據(jù)累積前景理論，將決策者的“有限理性”引入到猶豫模糊多屬性決策問題中，提出一種猶豫模糊風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境下累積前景值的計(jì)算方法。并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合2可加模糊測(cè)度的概念，通過計(jì)算各方案的改進(jìn)型關(guān)聯(lián)度得到方案的排序結(jié)果。

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