代文鋒，齊春澤

（蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)信息工程學(xué)院，蘭州730020）

0 引言

隨著決策環(huán)境日趨復(fù)雜，決策往往需要多個(gè)決策者共同參與。然而，由于不同決策者在專業(yè)知識(shí)、決策經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)決策問題的認(rèn)識(shí)等方面都會(huì)存在一定差異，因此他們選擇的屬性集，以及采用的信息表示模型也會(huì)有所不同。如果強(qiáng)行消除這種差異，一方面會(huì)導(dǎo)致信息丟失或失真，另一方面會(huì)大大削弱群決策的效用。在這種情況下，如何最大限度的保留所有決策者的偏好，充分發(fā)揮群決策的效用，進(jìn)而做出更全面、客觀的決策，相關(guān)決策方法的研究就顯得尤為重要。

近年來，許多學(xué)者致力于多屬性決策的研究，提出了一些決策方法。其中，Hwang等[1]提出的TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）法以簡單直觀的特點(diǎn)成為目前最常用的決策方法之一。然而，傳統(tǒng)的TOPSIS法存在一些不足：首先，傳統(tǒng)TOPSIS僅適用于單人決策情景，無法解決群決策問題。針對(duì)這一不足，文獻(xiàn)[2-5]將TOPSIS擴(kuò)展到群決策環(huán)境；其次，傳統(tǒng)TOPSIS法僅能處理屬性值為精確值形式的決策問題。針對(duì)這一不足，文獻(xiàn)[6-12]分別將TOPSIS擴(kuò)展到區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)、直覺模糊數(shù)以及猶豫模糊數(shù)等決策環(huán)境，但這些方法僅能處理某種特定形式的決策信息，但無法處理異構(gòu)信息，而實(shí)際決策中的信息往往是異構(gòu)的。隨后，文獻(xiàn)[13-16]提出了能夠處理異構(gòu)信息的TOPSIS擴(kuò)展形式，但它們都需將異構(gòu)信息轉(zhuǎn)換為某種特定類型信息。

盡管上述方法解決了一些多屬性決策問題，但它們?nèi)源嬖谝恍┎蛔恪Ｊ紫?，除文獻(xiàn)[13-16]外，其余文獻(xiàn)均不能處理異構(gòu)信息。文獻(xiàn)[13-15]雖然可以處理異構(gòu)信息，但需要進(jìn)行信息類型轉(zhuǎn)換，而轉(zhuǎn)換會(huì)導(dǎo)致信息丟失或失真。其次，不是所有的方法都支持群決策。最后，上述方法均要求決策者采用相同的屬性集，這不僅會(huì)導(dǎo)致信息丟失與失真，還在很大程度上削弱了群決策的效用。

本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)上述方法的局限性，提出一種新的決策方法。該方法能夠很好地解決具有多個(gè)屬性集的異構(gòu)多屬性群決策問題。首先，將每個(gè)決策者給出的決策矩陣按照屬性劃分為若干相互獨(dú)立的單元；其次，計(jì)算每個(gè)單元內(nèi)各評(píng)價(jià)值與相應(yīng)正、負(fù)理想解之間的距離，并按照屬性權(quán)重及專家權(quán)重對(duì)其進(jìn)行集結(jié)，從而得到不同方案與正、負(fù)理想方案之間的距離。最后，根據(jù)不同方案與理想方案的相對(duì)貼近度對(duì)方案進(jìn)行排序。由于該方法將每個(gè)決策者都看作一個(gè)獨(dú)立的實(shí)體，允許其根據(jù)自身的專業(yè)知識(shí)及決策經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建合適的屬性集，選擇最擅長的信息表示模型，因此最大限度的保留了決策者的決策偏好，減少了信息丟失與失真現(xiàn)象，進(jìn)而有助于得到更為合理的決策結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 區(qū)間數(shù)

定義1[17]：設(shè)a=[aL，aU]={x|aL≤x≤aU，aL，aU∈R}為實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)閉區(qū)間，則a為一個(gè)區(qū)間數(shù)。aL和aU分別為a的下界與上界，m(a)和w(a)分別為a的中心數(shù)和寬度，m(a)=(aL+aU)/2，w(a)=(aU-aL)/2。

定義2：設(shè)a=[aL，aU]和b=[bL，bU]為兩個(gè)區(qū)間數(shù)，其距離公式為：

此外，如果m(a)＞m(b)，則a＞b；如果m(a)=m(b)，則a=b[18]。

1.2 梯形模糊數(shù)

定義4[19]：設(shè)=(a1a2a3a4)為實(shí)數(shù)域上的模糊數(shù)，如果其隸屬函數(shù)為：

定義5[20]：設(shè)為兩個(gè)梯形模糊數(shù)，則其距離公式為：

1.3直覺模糊數(shù)

定義8[21]：設(shè)X為一給定論域，則稱P={|xi?X}為X上的一個(gè)直覺模糊集，其中μP:X?[01]與vP:X?[01]分別表示P的隸屬度與非隸屬度函數(shù)，且對(duì)于任意xi?X，都有0￡μP(xi)+vP(xi)￡1成立。πP(xi)為P中元素xi的猶豫度，πP(xi)=1-μP(xi)-vP(xi)。xi可記為(μP(xi)vP(xi))，1￡i￡m。為便于描述，如果X中僅有一個(gè)元素，則稱P為直覺模糊數(shù)，記為P=(μPvP)。

2 基于擴(kuò)展TOPSIS的異構(gòu)多屬性群決策方法

TOPSIS一經(jīng)提出，便引起了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，目前已出現(xiàn)了許多擴(kuò)展形式。然而，如前所述，現(xiàn)有TOPSIS擴(kuò)展形式雖解決了許多決策問題，但依然存在一些不足，因此很難滿足復(fù)雜決策情景下的決策需求?，F(xiàn)有TOPSIS擴(kuò)展形式存在的主要問題有：（1）多數(shù)方法僅能處理具有單一信息類型的決策問題，而實(shí)際決策中的信息往往是異構(gòu)的；（2）多數(shù)能夠處理異構(gòu)信息的決策方法僅適用于單人決策情景，而復(fù)雜問題決策往往是群體行為；（3）絕大多數(shù)群決策方法要求決策者須使用相同的屬性集，因此容易引發(fā)信息丟失或失真現(xiàn)象；（4）現(xiàn)有方法都是在確定正、負(fù)理想解之前，將權(quán)重集結(jié)到?jīng)Q策矩陣，因此增加了計(jì)算的復(fù)雜性。

2.1問題描述

設(shè)某個(gè)決策問題的方案集為A={a1a2...am}，決策者集為E={e1e2...ed}，屬性集為C={C1C2...Cd}，Ck={ck1ck2...cknk}為決策者ek采用的屬性集，wk={wk1wk2...wknk}為屬性集Ck中各屬性的權(quán)重，nk為屬性集Ck中屬性的個(gè)數(shù)，k=12...d。表示決策者ek為方案ai的ckj屬性給出的評(píng)價(jià)值，λ={λ1λ2...λd}表示決策者權(quán)重，決策者ek給出的決策矩陣可表示為：

2.2 決策過程

第一步：構(gòu)建初始決策矩陣Dk(k=12...d)，將其按屬性劃分為若干單元，并根據(jù)每個(gè)單元的數(shù)據(jù)類型單獨(dú)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得到?jīng)Q策矩陣Sk=。

第二步：確定屬性權(quán)重。

可采用最大偏差法確定屬性權(quán)重，如果某個(gè)屬性的偏差值越大，則分配給它的權(quán)重也應(yīng)越大，反之則越小。具體計(jì)算公式如下：

第四步：計(jì)算每個(gè)模塊中各評(píng)價(jià)值與相應(yīng)正、負(fù)理想解間的距離，集結(jié)所得結(jié)果，可得每個(gè)方案與正、負(fù)理想方案間的距離。

其中，λk表示決策者ek的權(quán)重，表示屬性集Ck中屬性ckj的權(quán)重。

第五步：計(jì)算每個(gè)方案與理想方案的貼近度Si，并據(jù)此對(duì)方案排序。

Si越大，方案Ai越好。

3 算例分析

下面通過兩個(gè)算例證明本文所提方法的可行性與有效性。算例1的決策情景是決策者采用相同的屬性集，算例2的決策情景是決策者采用不同的屬性集。

3.1 算例1

為了證明所提方法的有效性，運(yùn)用本文所提方法解決文獻(xiàn)[16]中的決策問題。某招資銀行擬從四個(gè)備選公司Ai(i=1，2，3，4)中選擇前景最好的進(jìn)行投資，特聘請(qǐng)3位專家el(l=1，2，3)組成評(píng)估小組，從經(jīng)濟(jì)效益c1，社會(huì)效益c2，環(huán)境污染和建設(shè)c3以及企業(yè)家再生產(chǎn)能力c4等方面對(duì)備選公司進(jìn)行評(píng)價(jià)，其中，c1，c2和c4是效益型，c3是成本型。Dl(l=1，2，3)表示初始決策矩陣，如表1至表3所示，有關(guān)評(píng)價(jià)信息均來自文獻(xiàn)[16]。

表1 決策矩陣D1

表2 決策矩陣D2

表3 決策矩陣D3

第一步：將初始決策矩陣按屬性劃分為若干單元，并據(jù)式（2）至式（6）分別進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得到?jīng)Q策矩陣Sl(l=1，2，3)，結(jié)果略。

第二步：確定每個(gè)單元的正、負(fù)理想解。

決策矩陣S1中各單元的正、負(fù)理想解分別為：=0.950，=[0.950，1.000]，=[0.556，0.667，0.778]，=＜0.700，0.100＞；=0.750，=[0.750，0.800]，=[0.778，0.889，1.000]，=＜0.500，0.300＞。

決策矩陣S2中各單元的正、負(fù)理想解分別為：=0.950，=[0.850，0.950]，=[0.556，0.667，0.778]，=＜0.700，0.200＞；=0.800，=[0.800，0.900]，=[0.778，0.889，1.000]=＜0.500，0.200＞。

決策矩陣S3中各模塊的正、負(fù)理想解分別為：=0.450，=[0.500，0.550]，=[0.333，0.500，0.667]，=＜0.700，0.200＞；=0.250，=[0.350，0.400]=[0.667，0.833，1.000]，=＜0.500，0.200＞。

第三步：確定屬性權(quán)重。

由文獻(xiàn)[16]可知，決策者的權(quán)重為λ=(0.3，0.3，0.4)，3個(gè)決策者下每個(gè)屬性的權(quán)重分別為：w1=(0.4，0.3，0.2，0.1)，w2=(0.4，0.2，0.3，0.1)，w3=(0.2，0.4，0.2，0.2)。

第四步：計(jì)算每個(gè)方案與正、負(fù)理想方案的距離。

由式（8）和式（9）可得各方案與正、負(fù)理想方案的距離分別為：=0.125，=0.098，=0.092，=0.123，=0.131，=0.086，=0.152，=0.121。

第五步：計(jì)算每個(gè)方案與理想方案的貼近度。

由式（10）可得各個(gè)方案與理想方案的貼近度為：S1=0.439，S2=0.572，S3=0.394，S4=0.442。因此可得A2?A4?A1?A3，這與文獻(xiàn)[16]得到的結(jié)果完全一樣，說明本文所提方法是有效的。

3.2 算例2

某市擬對(duì)3個(gè)企業(yè)的綜合實(shí)力進(jìn)行比較評(píng)優(yōu)，特聘請(qǐng)3名專家組成評(píng)價(jià)小組，每位專家根據(jù)自己的專業(yè)知識(shí)、決策經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)決策問題的理解分別給出屬性集。由于專家意見未能達(dá)成一致，因此存在多個(gè)屬性集。專家1給出的屬性集為：經(jīng)濟(jì)效益c1，1，產(chǎn)品質(zhì)量c1，2和售后服務(wù)c1，3；專家2給出的屬性集為：經(jīng)濟(jì)效益c2，1，創(chuàng)新能力c2，2和企業(yè)文化c2，3；專家3給出的屬性集為：經(jīng)濟(jì)效益c3，1，社會(huì)效益c3，2和環(huán)境污染c3，3。專家給出的初始決策矩陣如表4至表6所示，其中，c1，1，c2，1和c3，1的值為精確數(shù)，c1，2，c2，3和c3，2的值為梯形模糊數(shù)，其余屬性的值為直覺模糊數(shù)。決策者給出專家的權(quán)重為λ=(0.3，0.3，0.4)。

表4 決策矩陣D1

表5 決策矩陣D2

表6 決策矩陣D3

第一步：將初始決策矩陣按屬性劃分為若干獨(dú)立單元，并據(jù)式（2）至式（6）分別進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得到?jīng)Q策矩陣Sl(l=1，2，3)，如表7至表9所示。

表7 決策矩陣S1

表8 決策矩陣S2

表9 決策矩陣S3

第二步：據(jù)式（7）確定屬性權(quán)重，結(jié)果為：

第四步：據(jù)式（8）和式（9）可得每個(gè)方案與正、負(fù)理想方案的距離。

第五步：據(jù)式（10）可得每個(gè)方案與理想方案的貼近度：S1=0.330，S2=0.593，S3=0.571。因此，可得A2?A3?A1，即企業(yè)A2的綜合實(shí)力最強(qiáng)。

3.3 對(duì)比與分析

在算例1中，本文所提方法與文獻(xiàn)[16]所提方法得到的結(jié)果完全一致，說明本文所提方法是可行的，也是有效的。在算例2中，由于不同專家采用的屬性集不同，現(xiàn)有相關(guān)方法無法解決此類問題，而本文所提方法能夠很好的解決，說明該方法能夠處理更復(fù)雜的決策問題。

4 結(jié)論

本文針對(duì)具有多個(gè)屬性集的異構(gòu)多屬性群決策問題，提出了一種新的決策方法。首先，將具有不同屬性及信息類型的決策矩陣按屬性劃分為若干相互獨(dú)立的單元，計(jì)算不同單元的評(píng)價(jià)值與相應(yīng)正、負(fù)理想解間的距離。其次，根據(jù)專家權(quán)重及屬性權(quán)重集結(jié)所得結(jié)果，得到不同方案與正、負(fù)理想方案間的距離。最后，根據(jù)不同方案與理想方案的相對(duì)貼近度對(duì)方案排序，并通過實(shí)例分析證明了所提方法的可行性與有效性。同現(xiàn)有相關(guān)方法相比，本文所提方法的主要優(yōu)點(diǎn)為：（1）能夠解決具有多個(gè)屬性集的異構(gòu)多屬性群決策問題，彌補(bǔ)了現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)的不足；（2）決策者可以根據(jù)自身的專業(yè)知識(shí)及決策經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建合適的屬性集，選擇最擅長的信息表示模型，因此最大限度的保留了決策者的偏好，減少了信息丟失與失真現(xiàn)象。（3）現(xiàn)有方法將權(quán)重集結(jié)到?jīng)Q策矩陣后，才進(jìn)行確定理想解、計(jì)算距離等一系列操作，而本文所提方法在計(jì)算方案與理想方案間距離時(shí)才引入權(quán)重，因此降低了計(jì)算的復(fù)雜性。將該方法擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)決策環(huán)境是本文今后的研究重點(diǎn)。

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