王化中，強鳳嬌

（陜西科技大學管理學院，西安710021）

0 引言

在描述實際的多屬性決策問題時，由于社會經(jīng)濟管理系統(tǒng)的復雜性及不確定性、決策者認識問題的有限性與判斷的主觀模糊性等因素制約，決策信息通常用某種不確定數(shù)的形式進行表達，隨機數(shù)、模糊數(shù)、兩參數(shù)區(qū)間數(shù)（簡稱區(qū)間數(shù)）、三參數(shù)區(qū)間數(shù)、四參數(shù)區(qū)間數(shù)、自然語言等形式經(jīng)常被用于表征不確定數(shù)。其中，卜廣志等[1]提出的三參數(shù)區(qū)間數(shù)在區(qū)間數(shù)上下限之間增加了灰數(shù)取值的最可能值，彌補了區(qū)間數(shù)“貧信息”的不足，因其更符合人類思維的灰色性與模糊性，能夠更加細致地刻畫不確定性信息，且覆蓋信息更加客觀全面，從而引起了廣大學者的關注，基于三參數(shù)區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題也已經(jīng)取得了一些可喜的研究成果[1-4]。

熵是信息論中系統(tǒng)穩(wěn)定性程度與信息量大小的一種度量工具，熵越大表示系統(tǒng)穩(wěn)定性越差，所含信息量越多。距離熵是王鵬飛[5]提出的用于度量兩個灰數(shù)分布接近程度的新概念，兩個灰數(shù)分布越接近，距離熵越大，反之亦然，所以用距離熵來度量兩個灰數(shù)間的差異或接近程度是有效的。在多屬性決策問題評價中，只要評價指標值中不出現(xiàn)負參數(shù)，基于距離熵的評價就可以不需要進行指標規(guī)范化處理便可實現(xiàn)多指標綜合評價。規(guī)范化處理在一般的多屬性決策方法應用中是必不可少的過程，雖然規(guī)范化處理可以通過消除不同指標單位、數(shù)量級及方向的不一致性等問題，使指標之間滿足可加性，但無論采用何種規(guī)范化處理轉換函數(shù)，轉換后的各數(shù)據(jù)早己扭曲了原始數(shù)據(jù)之間的關系，因此以轉換后數(shù)據(jù)運算得到的評價結果作為原始數(shù)據(jù)的評價結果具有一定的不合理性。特別對區(qū)間數(shù)、三參數(shù)區(qū)間數(shù)等反映的不確定性信息的規(guī)范化處理過程除過上述問題外，規(guī)范化處理過程更加繁瑣，而且還可能帶來經(jīng)處理后數(shù)據(jù)灰度增加等新問題。王鵬飛[5]在提出距離熵的同時建立了正實數(shù)間及正區(qū)間數(shù)間的距離熵測度公式。王娜[4]將距離熵的概念推廣到正三參數(shù)區(qū)間數(shù)，并構建了正三參數(shù)區(qū)間數(shù)的距離熵測度公式。但王娜建立的正三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵公式中對三個參數(shù)等同對待，沒有突出最可能值所表示的“重心”點在三參數(shù)區(qū)間數(shù)中的重要性。本文在考慮非負三參數(shù)區(qū)間數(shù)中三個參數(shù)概率分布的基礎上，給出一種新型的非負三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測度公式，對其給定公式進行理論分析與證明，并基于新的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵建立了topsis模型，最后用實例驗證了其評價模型的有效性。

1 三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測度公式存在的問題及改進

1.1 目前的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測度公式及存在的不足

設有兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)a(?)=[al，am，au](0＜al≤am≤au)和b(?)=[bl，bm，bu]（0＜bl≤bm≤bu），王娜[4]給出的兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)的距離熵測度公式見式（1）所示：

王娜[4]給出的兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測度公式對三參數(shù)區(qū)間數(shù)的上限、下限及最可能值三個參數(shù)同等對待，這不符合三個參數(shù)的相對概率分布，沒有體現(xiàn)出最可能值相較上限、下限端點更加重要的特征，其本質(zhì)是對三個參數(shù)各自距離熵進行算數(shù)平均來求得兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)整體的距離熵。

1.2 三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測度公式的改進

朱建軍等[6]認為三參數(shù)區(qū)間數(shù)中最可能值對應的分布概率p應該大于一個介于0～1之間的常量，且只有該常量達到一等程度時，才能稱為最可能值。一般情況下，該常量取值大于等于60%，如果該常量取值過小，說明三參數(shù)區(qū)間數(shù)表示的決策信息過于分散。

本文對兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測度公式的改進思路是：以三個參數(shù)的相對概率分布為權重，對其三個參數(shù)的各自距離熵進行加權求和來得到兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)整體的距離熵。因其三參數(shù)區(qū)間數(shù)中最可能值、上限、下限三個參數(shù)的相對概率分布值相差較大，其中最可能值在三個參數(shù)中的相對概率分布值遠大于上限、下限兩個參數(shù)的相對概率分布值，以三個參數(shù)的相對概率分布值為權重，對其三個參數(shù)的各自距離熵進行加權求和，體現(xiàn)了最可能值在整體三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵計算中更加重要的作用，同時用上限、下限兩個參數(shù)的概率分布值相對大小體現(xiàn)決策者在決策過程中不同的風險態(tài)度。

另外王鵬飛[5]、王娜[4]等給出的正實數(shù)、正區(qū)間數(shù)、正三參數(shù)區(qū)間數(shù)各自間的距離熵測度公式均使用自然對數(shù)（即取底數(shù)e=2.718281828）來求距離熵，以自然對數(shù)計算兩個正數(shù)間的距離熵介于0與ln2=0.6931之間[1,4]，當相對應的兩個參數(shù)值相差較小時，以自然對數(shù)求得的距離熵靈敏度過低。故本文選擇使用以2為底的對數(shù)來求距離熵，以提高不同參數(shù)對距離熵的靈敏度反映，且以2為底的對數(shù)計算得到的距離熵介于0和1之間（由文中經(jīng)證明的定理1可知），也比較符合人們的判斷習慣。當然也可以選擇大于1且小于2的其他實數(shù)為底的對數(shù)，以進一步提高靈敏度，且以不同底數(shù)的對數(shù)分別計算得到的距離熵可以通過換底公式進行換算，所以采用不同底數(shù)計算的距離熵對兩個正數(shù)的相對接近程度沒有任何影響，僅僅是靈敏度有所差異。

定義1：對三參數(shù)區(qū)間數(shù)a(?)=[al，am，au](0＜al≤am≤au)和b(?)=[bl，bm，bu]（0＜bl≤bm≤bu），假設兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)各自的最可能值相較于其上限、下限兩個端點參數(shù)而言，其分布概率為p(am)=p(bm)=α且α≥60%，兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)的上限相較于最可能值、下限兩個端點的分布概率為p(al)=p(bl)=β，兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)的下限相較于最可能值、上限兩個端點的分布概率為p(au)=p(bu)=γ，且β+γ=1-α≤40%。則本文給出兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)a(?)和b(?)的距離熵H(D)ab（簡寫為H(D)）測度公式見式（2）所示：

式（2）中，兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)最可能值的概率α≥60%，表明距離熵H(D)受最可能值am、bm相對大小的影響大于上限、下限兩個端點值相對大小的影響，體現(xiàn)了最可能值相較上限、下限端點更加重要的特征。β與γ的相對取值大小表示不同決策者的不同風險態(tài)度，當β＞γ時，表示決策者較為慎重保守，盡量規(guī)避損失；當β＜γ時，表示決策者敢于冒險，偏好收益；當β=γ時，表示決策者是風險中立者，對可能的損失與收益看重程度相等。

上述分析表明，兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)的距離熵不僅與其各自三個參數(shù)的相對數(shù)值大小取值有關，還與其三個參數(shù)的相對概率分布有關。在實際決策問題中，三參數(shù)區(qū)間數(shù)的相對概率分布就是決策者信息把握程度與風險態(tài)度的充分反映。

定理1：設有兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)a(?)=[al，am，au]（0＜al≤am≤au）和b(?)=[bl，bm，bu]（0＜bl≤bm≤bu），則：

（1）a(?)和b(?)的距離熵H(D)具有非負極值性，即滿足0＜H(D)≤1，特別當a(?)=b(?)（即al=bl，am=bm，au=bu）時，距離熵最大為mаxH(D)=1；

（2）a(?)和b(?)的距離熵H(D)ab與b(?)和a(?)的距離熵H(D)ba相等，即滿足對稱性。

證明:

同理，當am=bm時，H(d2)取最大值mаxH(d2)=1，當au=bu時，H(d3)取最大值mаxH(d3)=1；且同理H(d2)＞0，H(d3)＞0。

因此，當al=bl，am=bm，au=bu時，由0＜β，γ＜α＜1且β+α+γ=1，兩三參數(shù)區(qū)間數(shù)的距離熵最大為：mаxH(D)=β×mаxH(d1)+α×mаxH(d2)+γ×mаxH(d3)=1；且滿足0＜H(D)=β×H(d1)+α×H(d2)+γ×H(d3)≤1。

（2）因為三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵的三個參數(shù)每一部分各自均滿足對稱性，因此關于三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵整體對稱性的證明較為簡單（限于篇幅略去）。

定理2：兩個三參數(shù)區(qū)間數(shù)a(?)和b(?)越接近其距離熵H(D)就越大，反之a(chǎn)(?)和b(?)越遠離其距離熵H(D)就越小。

同理，am、bm數(shù)值相對距離越?。碼mbm值越接近1）時，H(d2)越來越大；au、bu數(shù)值相對距離越?。碼ubu值越接近1）時，H(d3)越來越大。

并由H(D)=β×H(d1)+α×H(d2)+γ×H(d3)，且0＜β，γ＜α＜1，β+α+γ=1，即可證a(?)和b(?)越接近其距離熵H(D)就越大，反之a(chǎn)(?)和b(?)越遠離其距離熵H(D)就越小。

1.3 實數(shù)0與非負實數(shù)間的距離熵處理

只有兩個正數(shù)（含正實數(shù)、正區(qū)間數(shù)、正三參數(shù)區(qū)間數(shù)等）才存在距離熵，因為負數(shù)及0的對數(shù)無意義。但現(xiàn)實決策問題中各指標取值可能存在非正數(shù)的情況，對其中的負參數(shù)，目前還無法直接計算距離熵，但對實數(shù)0與非負實數(shù)間的距離熵可以采用以下述兩種方法予以處理。

第一種方法是將參數(shù)0用比其他所有參數(shù)值小很多的正數(shù)ε（如令ε=0.0001）來代替，然后再計算替代后的很小的正數(shù)ε=0.0001與其他非負實數(shù)間的距離熵，以此作為實數(shù)0與非負實數(shù)間距離熵的近似值（只要選取的正數(shù)ε足夠小，所得到的近似值作為實數(shù)0與非負實數(shù)間的距離熵完全可以滿足決策分析的需要）。

第二種方法是對實數(shù)0與非負實數(shù)的距離熵進行定義。

定義2：非負實數(shù)a、b(a，b≥0)在a=0，b＞0（或b=0，a＞0）時，a、b兩個實數(shù)的距離熵為H(D)=在a=b=0時，a、b兩個實數(shù)的距離熵為

將上述實數(shù)0與非負實數(shù)距離熵的處理方法一（或二）應用于式（2）的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵公式中，即可計算得到含0參數(shù)的非負三參數(shù)區(qū)間數(shù)與其他非負三參數(shù)區(qū)間數(shù)的距離熵。

2 基于三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵的topsis多屬性決策模型

2.1 問題的描述

設有n個備選方案Ai，m個屬性指標Cj，方案Ai在指標Cj下的屬性值以三參數(shù)區(qū)間數(shù)形式表示，記為xij(?)=[，，(i=1，2，…，n;j=1，2，…，m)，屬性指標Cj的權重為wj，且

2.2 三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵的topsis多屬性決策模型的決策步驟

（3）選擇正負理想解。

對正指標，利用式（3）建立每個指標的正理想方案X+=，…，)和負理想方案X-=(，…，)；對反指標，利用式（4）建立每個指標的正理想方案X+=，…，)和負理想方案X-=(，…)。

其中：

其中：

（6）計算各方案與正理想方案的貼近度Ci，并按照Ci的大小對方案從優(yōu)到劣排序。

3 實例分析：企業(yè)信息化建設的軟件項目方案選擇

某企業(yè)欲進行信息化建設，現(xiàn)軟件項目有5個方案（A1，A2，A3，A4，A5）可供選擇，評價采用的5個指標為：成本C1（單位：萬元）、收益C2（單位：萬元）、功能C3（專家百分制打分）、研發(fā)周期C4（單位：月）、可維護性C5（專家百分制打分）?？紤]到軟件項目本身存在不確定性，不同專家的判斷也存在差異，企業(yè)組建了一個8人評價專家組（包括企業(yè)相關部門成員及企業(yè)外聘專家）對5個方案進行評價與選擇，為了更加細致地反映專家組的綜合意見及項目指標的不確定性，對獲取的每一方案不同指標的指標值經(jīng)一定統(tǒng)計處理后，評價指標值均用三參數(shù)區(qū)間數(shù)表示，評價結果見表1所示。5個評價指標的權重用層次分析法確定，結果見表1所示。對5個方案的評選過程簡介如下：

表1 軟件項目評價結果

3.1 選擇軟件項目的正負理想解

收益C2、功能C3和可維護性C5屬于正指標，成本C1和研發(fā)周期C4屬于反指標，按照式（3）或式（4）建立的正負理想方案分別為：

3.2 分別計算各方案與正、負理想方案的距離熵和

先利用式（6）計算Ai方案與正理想方案X+關于j指標的距離熵H()，再利用式（5）計算Ai方案與正理想方案X+的距離熵，計算結果見表2所示。

表2 各方案與正理想方案不同指標的距離熵表

同理，先利用式（8）計算Ai方案與負理想方案關于j指標的距離熵H()，再利用式（7）計算Ai方案與負理想方案X-的距離熵，計算結果見表3所示。

表3 各方案與負理想方案不同指標的距離熵表

3.3 計算各方案與正理想方案的貼近度Ci

依照貼近度大小，該企業(yè)信息化建設的軟件項目最終選擇貼近度最大的方案A2進行開發(fā)。

4 結論

針對現(xiàn)有的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測度公式中對三個參數(shù)重要性同等對待的缺陷，本文結合三個參數(shù)在三參數(shù)區(qū)間數(shù)中的相對概率分布情況，提出了改進的三參數(shù)區(qū)間數(shù)距離熵測度公式算法，充分體現(xiàn)了最可能值相較上限、下限參數(shù)更加重要的特征，并從理論上證明了測度公式的有效性。在實際決策中對最可能值在三個參數(shù)中的相對重要性的概率及上限、下限參數(shù)的相對重要性概率，還必須結合決策信息的收集與整理背景以及決策者的風險態(tài)度來具體選擇，從而使決策者的定性分析與方法的量化運算有機結合，保證決策結果更加符合實際決策需要。

對現(xiàn)實決策問題中各指標取值可能存在負參數(shù)的多屬性決策問題，負參數(shù)不能直接用來計算距離熵，須將含有負參數(shù)值的指標經(jīng)一定的轉換變?yōu)榉秦搮?shù)指標，才能用來計算距離熵，但轉換后數(shù)據(jù)同樣存在指標規(guī)范化處理過程帶來的問題，即轉化后數(shù)據(jù)之間的關系與原始數(shù)據(jù)之間的關系存在偏差。因此對含有負參數(shù)指標的多屬性決策問題能否采用距離熵的方法進行有效性優(yōu)劣評判，以及如何評判的問題，還需在以后的研究中予以進一步分析與確認。

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[5] 王鵬飛.基于灰熵的不確定多屬性決策問題研究[D].南京：南京航空航天大學碩士論文,2009.

[6] 朱建軍,宋傳平,劉思峰等.一類三端點區(qū)間數(shù)判斷矩陣的一致性及權重研究[J].系統(tǒng)工程學報,2008,（1）.