王正元, 劉衛(wèi)東, 景慧麗, 屈娜

(西安高技術(shù)研究所， 陜西 西安 710025)

0 引言

一些導(dǎo)彈武器、雷達(dá)裝備在作戰(zhàn)使用前需要按照一定工序測(cè)試維護(hù)，測(cè)試合格的武器裝備才能投入使用[1-3]。通常情況下，測(cè)試車間預(yù)設(shè)多條測(cè)試流水線，每1條流水線上從左至右預(yù)先布置了多個(gè)工位，任意1條流水線上最多同時(shí)容納一定數(shù)量的裝備接受測(cè)試，任意工位任意時(shí)刻最多對(duì)1臺(tái)裝備進(jìn)行測(cè)試，1臺(tái)裝備任意時(shí)刻最多在1個(gè)工位接受測(cè)試，所有裝備從測(cè)試車間入口到某一流水線按照固定工位順序接受測(cè)試，測(cè)試完后從出口離開(kāi)測(cè)試車間。戰(zhàn)時(shí)通常有多臺(tái)同類別不同型號(hào)的裝備進(jìn)入測(cè)試車間接受測(cè)試，為保障作戰(zhàn)任務(wù)順利進(jìn)行，要求全部裝備完成測(cè)試所需時(shí)間越短越好。確定裝備測(cè)試順序，使得測(cè)試任務(wù)完成時(shí)間最短的問(wèn)題就是一種裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題。

裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題實(shí)際上是一種并行任務(wù)調(diào)度問(wèn)題。在每1條流水線上，各臺(tái)裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題與同順序作業(yè)調(diào)度問(wèn)題(FSP)類似。由于1條流水線上同時(shí)只能容納一定數(shù)量的裝備接受測(cè)試，導(dǎo)致該問(wèn)題與FSP不同。此外，測(cè)試車間存在多條流水線，因而需要把待測(cè)試裝備分配給各條流水線。裝備測(cè)試調(diào)度問(wèn)題的特點(diǎn)使得問(wèn)題精確求解變得較為困難，目前主要采用仿真方法[1]、Petri網(wǎng)[4]、計(jì)劃評(píng)審技術(shù)(PERT)[5]、分支定界法[6]、圖染色理論[7]以及智能優(yōu)化方法[8-16]計(jì)算調(diào)度方案，在計(jì)算過(guò)程中為簡(jiǎn)化問(wèn)題有時(shí)采用優(yōu)先權(quán)方法[1-3]。裝備并行測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題中，各裝備測(cè)試順序是可調(diào)整的，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也是可調(diào)整的，因而可利用PERT方法計(jì)算完工時(shí)間；實(shí)際問(wèn)題求解過(guò)程中有一些規(guī)律可用于簡(jiǎn)化問(wèn)題求解，如問(wèn)題的下界、按照一定規(guī)律排列的待測(cè)試裝備分配方案等。本文針對(duì)一種特殊的裝備并行測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題，建立了數(shù)學(xué)模型，并提出了該問(wèn)題的啟發(fā)式求解方法。根據(jù)裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題的特點(diǎn)，提出了單一流水線裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題的下界算法，利用下界算法進(jìn)行各流水線待測(cè)試裝備初始分配，構(gòu)造了裝備并行測(cè)試任務(wù)調(diào)度優(yōu)化問(wèn)題的求解算法，較好地解決了裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度優(yōu)化問(wèn)題。

1 裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題數(shù)學(xué)模型

裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度的目的是為了在盡可能短的時(shí)間內(nèi)完成裝備測(cè)試任務(wù)，因而可以選擇測(cè)試任務(wù)完成時(shí)間為目標(biāo)函數(shù)。假設(shè)共有某類別m種不同型號(hào)裝備等待測(cè)試，型號(hào)i的裝備ni臺(tái)，共有測(cè)試流水線h條。每臺(tái)裝備最多在n個(gè)工位完成測(cè)試，每個(gè)工位執(zhí)行一道工序，型號(hào)i的裝備在工位j上測(cè)試時(shí)間為tij. 安排在流水線u(u≤h)上測(cè)試的第k臺(tái)裝備型號(hào)為yku，流水線u上測(cè)試型號(hào)i的裝備xiu臺(tái)，1條流水線上任意時(shí)刻最多a臺(tái)裝備處于測(cè)試狀態(tài)，任意工位任何時(shí)刻最多只測(cè)試1臺(tái)裝備。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，下面僅考慮a=2，a>2時(shí)可用類似方式得到相應(yīng)結(jié)論。裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題數(shù)學(xué)模型為

s.t.

dj+1(k,u)=
max{dj(k,u),dj+1(k-1,u)}+tykuj,k>1，
dj+1(1,u)=dj(1,u)+ty1uj，
d1(k,u)=d1+n(k-2,u),k>2d1(k,u)=d1+n(k-2,u)，k>2,
d1(k,u)=0,k=1,2.

(1)

(2)

(3)

yku=1,2,…,m,
y1u≠y2u.

(4)

其中

約束條件(1)式確保1條流水線上最多2臺(tái)裝備處于測(cè)試狀態(tài)，并且1個(gè)工位最多1臺(tái)裝備處于測(cè)試狀態(tài)；約束條件(2)式使得在h條流水線上測(cè)試完各型號(hào)裝備；約束條件(3)式使得各型號(hào)待測(cè)試裝備都安排到第u條流水線；約束條件(4)式使得測(cè)試裝備型號(hào)在給定的型號(hào)范圍內(nèi)。

2 單一流水線上裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題的下界

單一流水線u(u=1,2,…,h)上待測(cè)試裝備給定時(shí)，各工位測(cè)試時(shí)間總和為

(5)

由于同一流水線上最多允許2臺(tái)裝備在不同工位上測(cè)試，任何時(shí)刻都有2臺(tái)裝備處于測(cè)試狀態(tài)時(shí)，完成測(cè)試全部裝備的時(shí)間為T(mén)(u)/2. 實(shí)際上，測(cè)試裝備在1個(gè)工位測(cè)試結(jié)束后，后續(xù)測(cè)試裝備才能使用該工位，因而完成測(cè)試全部裝備的時(shí)間不小于T(u)/2. 此外，所有裝備都必須在最后1個(gè)工位上測(cè)試，不妨假設(shè)倒數(shù)第2臺(tái)裝備測(cè)試完后立即在工位n上測(cè)試最后1臺(tái)裝備，這樣完成測(cè)試任務(wù)時(shí)間最短。

定理1流水線u上，給定待測(cè)試各型號(hào)裝備數(shù)量xiu(i=1,2,…,m)，型號(hào)i的裝備在工位j所需測(cè)試時(shí)間為tij，流水線同時(shí)容納2臺(tái)裝備進(jìn)行測(cè)試，任意時(shí)刻每個(gè)工位最多對(duì)1臺(tái)裝備進(jìn)行測(cè)試，則得到單一流水線裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題的下界，即單一流水線上完成全部測(cè)試任務(wù)所需時(shí)間的下界為

(6)

證明：假設(shè)流水線u上待測(cè)試裝備按照一定次序排放，奇數(shù)、偶數(shù)序號(hào)裝備測(cè)試完畢所需時(shí)間總和分別記為T(mén)o、Te，而各工位上測(cè)試全部裝備所需時(shí)間和為

則

To+Te=T(u).

不妨設(shè)最后1臺(tái)裝備序號(hào)為奇數(shù)，記

tmin=min {tin|xiu>0,i=1,2,…,m},

則測(cè)試完成時(shí)間T滿足

T≥max {To-tmin,Te}+tmin≥
(To-tmin+Te)/2+tmin=
(To+tmin+Te)/2=
(T(u)+tmin)/2,

所以完成全部測(cè)試任務(wù)所需時(shí)間的下界為

B(u)=(T(u)+min {tin|xiu>0,i=1,2,…,m})/2.

流水線上待測(cè)試裝備已排序時(shí)，奇偶數(shù)序號(hào)裝備測(cè)試任務(wù)所需時(shí)間分別為T(mén)o、Te，則下界B(u)為

(7)

3 單一流水線裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題求解的啟發(fā)式方法

給定流水線上待測(cè)試裝備時(shí)，裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題就是一種排序問(wèn)題。利用問(wèn)題的領(lǐng)域知識(shí)構(gòu)造啟發(fā)式方法，可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的快速求解。對(duì)于單一流水線上裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題，啟發(fā)式求解方法步驟描述如下。

算法1單一流水線上裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題求解的啟發(fā)式方法。

步驟1輸入待測(cè)試各型裝備數(shù)量xiu(i≤m)，輸入各型號(hào)裝備在各工位上測(cè)試時(shí)間tij(1≤j≤n)，計(jì)算流水線u上待測(cè)試的裝備總量為

步驟2首先將裝備測(cè)試序號(hào)分成兩個(gè)子集，相應(yīng)裝備在流水線上奇數(shù)或偶數(shù)序號(hào)測(cè)試。

步驟4改變當(dāng)前解中裝備的測(cè)試順序，得到解Y.

步驟5計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值f(u)，如果f(u)

步驟6改變兩個(gè)子集的組成，按(7)式計(jì)算測(cè)試時(shí)間下界B(u)，若B(u)

步驟7比較不同子集劃分方式對(duì)應(yīng)近似解的目標(biāo)函數(shù)值，選擇最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值對(duì)應(yīng)近似解為裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題的解。

求解過(guò)程通常從最均衡的子集開(kāi)始，即優(yōu)先考慮下界最小的情形。計(jì)算得到測(cè)試調(diào)度初始方案以后，再考慮下界略大的子集情形。一旦某種子集對(duì)應(yīng)下界高于已得到調(diào)度方案目標(biāo)值，則可以結(jié)束計(jì)算。由于使用了(7)式計(jì)算測(cè)試時(shí)間下界，可以很快確定有些情況不能得到最優(yōu)解，從而簡(jiǎn)化了問(wèn)題求解過(guò)程。

4 多流水線待測(cè)試裝備分配方法

裝備測(cè)試任務(wù)在多條測(cè)試流水線上進(jìn)行時(shí)，首先需要進(jìn)行待測(cè)試裝備在不同流水線上的分配。實(shí)際問(wèn)題求解過(guò)程中，通常需要對(duì)多流水線待測(cè)試裝備進(jìn)行多次重分配，每次分配都是圍繞一個(gè)基準(zhǔn)方案展開(kāi)。基準(zhǔn)方案中，各流水線上分配的測(cè)試任務(wù)量盡可能靠近，即每條流水線上各工位完成測(cè)試任務(wù)所需時(shí)間之和與各流水線上平均測(cè)試任務(wù)量A的誤差平方和最小。由于

是常量，選擇多流水線待測(cè)試裝備初始分配模型為

模型求解步驟描述如下。

算法2多流水線待測(cè)試裝備初始分配模型求解方法。

步驟1輸入待測(cè)試各型裝備數(shù)量ni(1≤i≤m)，在各工位測(cè)試時(shí)間tij(1≤j≤n)。

步驟2將各型號(hào)待測(cè)試裝備按照每臺(tái)裝備所需測(cè)試時(shí)間由大到小依次分配到各流水線，已分配測(cè)試任務(wù)量最小的流水線優(yōu)先分配任務(wù)，直到全部待測(cè)試裝備分配完畢。

步驟3計(jì)算各流水線分配測(cè)試任務(wù)總量，調(diào)整承擔(dān)測(cè)試任務(wù)量最大、最小流水線的裝備測(cè)試任務(wù)，直到不能調(diào)整。

對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，依據(jù)各流水線待測(cè)試裝備分配結(jié)果進(jìn)一步求解裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果與問(wèn)題的下界偏差較大。為了進(jìn)一步降低完成測(cè)試任務(wù)所需時(shí)間，需要對(duì)分配給各流水線的待測(cè)試裝備進(jìn)行調(diào)整。調(diào)整時(shí)主要圍繞初始分配模型的解展開(kāi)，在目標(biāo)函數(shù)值變化不大的范圍內(nèi)尋找可進(jìn)一步降低完成測(cè)試任務(wù)所需時(shí)間的解。

5 裝備并行測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題求解的啟發(fā)式方法

裝備并行測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題求解過(guò)程較為復(fù)雜，可以把它分解為多個(gè)子問(wèn)題迭代求解得到問(wèn)題的解。問(wèn)題求解步驟描述如下。

算法3裝備并行測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題求解的啟發(fā)式方法。

步驟1輸入流水線數(shù)量h、工位數(shù)n、裝備型號(hào)數(shù)m，各型號(hào)裝備數(shù)量ni(1≤i≤m)，型號(hào)i裝備在工位上測(cè)試所需時(shí)間tij(1≤j≤n)。

步驟2使用算法2計(jì)算各流水線待測(cè)試裝備初始分配方案。

步驟3使用算法1計(jì)算各流水線裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度方案，得到這時(shí)裝備測(cè)試任務(wù)完成所需時(shí)間為

步驟4改變各流水線待測(cè)試裝備分配方案，使用下界算法計(jì)算各流水線裝備測(cè)試任務(wù)完成所需時(shí)間的下界B(u).

步驟5選擇滿足Tf>max {B(u)|1≤u≤h}的待測(cè)試裝備分配方案。

步驟6使用算法1計(jì)算各流水線裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度方案，得到這種情況下裝備測(cè)試任務(wù)完成所需時(shí)間T′f.

步驟7如果T′fmax {B(u)|1≤u≤h}的待測(cè)試裝備分配方案。

步驟8輸出計(jì)算結(jié)果，退出計(jì)算。

6 實(shí)例分析

現(xiàn)有2條流水線，每條流水線上有7個(gè)工位，需要測(cè)試交付使用的裝備數(shù)量及其在各工位上測(cè)試所需時(shí)間如表1所示。

每條流水線上最多容納2臺(tái)裝備同時(shí)測(cè)試，任意時(shí)刻每個(gè)工位最多測(cè)試1臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)裝備均從工位1開(kāi)始測(cè)試(時(shí)間為0時(shí)不需要測(cè)試)，到工位7上測(cè)試完畢后離開(kāi)測(cè)試流水線。確定甲、乙、丙3型裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度方案，使得測(cè)試任務(wù)完成時(shí)間盡可能短。

表1 待測(cè)試裝備數(shù)量及其在各工位測(cè)試時(shí)間

為了計(jì)算較好的裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度初始方案，采用算法2求得2條流水線上待測(cè)試裝備初始分配方案，裝備初始分配方案為型號(hào)甲、乙、丙的裝備數(shù)量相同，即2條流水線上各有5臺(tái)甲型裝備、5臺(tái)乙型裝備和10臺(tái)丙型裝備。使用算法1求解裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度方案如表2所示，2條流水線上任務(wù)調(diào)度方案相同，完成測(cè)試時(shí)間為635 s.

表2 裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度初始方案

對(duì)于單一流水線上裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度，給定20臺(tái)待測(cè)試裝備時(shí)共涉及36種情況，求解時(shí)只需考慮6種情形(下界不超過(guò)635 s)，計(jì)算量大大減少。利用定理1，得到這種情況下裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題下界為624 s，與當(dāng)前解對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值635 s有一定差距。按照算法3，改變2條流水線上待測(cè)試裝備分配方案，不考慮下界大于635 s的分配方案，選擇滿足條件的新分配方案如表3所示。

表3 2條流水線上待測(cè)試裝備分配方案

使用算法1計(jì)算新分配方案下裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度方案，結(jié)果如表4所示。

待測(cè)試裝備新分配方案中，流水線1承擔(dān)測(cè)試任務(wù)量1 248 s，完成測(cè)試任務(wù)所需時(shí)間下界628 s，測(cè)試任務(wù)調(diào)度方案對(duì)應(yīng)完成測(cè)試時(shí)間632 s；流水線2承擔(dān)測(cè)試任務(wù)量1 232 s，完成測(cè)試任務(wù)所需時(shí)間下界620 s，測(cè)試任務(wù)調(diào)度方案對(duì)應(yīng)完成測(cè)試時(shí)間624 s. 因而，完成全部測(cè)試任務(wù)只需632 s，比初始方案縮短3 s.

表4 調(diào)整后裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度方案

求解過(guò)程中，利用對(duì)問(wèn)題自身的認(rèn)識(shí)，從任務(wù)量最均衡時(shí)特殊初始解出發(fā)得到較好的近似解，進(jìn)一步利用給定待測(cè)試裝備分配方案下測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題的下界與當(dāng)前最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)值比較，可以預(yù)先排除一些分配方案，從而可以減少計(jì)算量，提高問(wèn)題求解效率。如例中，按照算法3，改變測(cè)試任務(wù)量分配時(shí)，總計(jì)1 271種情形，只需考慮11種(2條軌道中最大測(cè)試任務(wù)量介于1 240 s與1 253 s之間)，這樣，大大降低了問(wèn)題求解計(jì)算量。

7 結(jié)論

裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題是一類較為復(fù)雜的組合優(yōu)化問(wèn)題，本文結(jié)合裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題的特點(diǎn)構(gòu)造了問(wèn)題求解的系列算法，提出了這類問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值的一種下界，并將問(wèn)題求解過(guò)程分解為各流水線待測(cè)試裝備分配和給定流水線上待測(cè)試裝備時(shí)測(cè)試任務(wù)調(diào)度。 裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題分解成2個(gè)子問(wèn)題求解的方式大大降低了問(wèn)題求解的難度，計(jì)算結(jié)果非常接近最優(yōu)解，甚至就是最優(yōu)解，這說(shuō)明本文方法是解決裝備測(cè)試任務(wù)調(diào)度問(wèn)題的一種有效方法。

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