蘇淑陽 李觀琴

（浙江省富陽中學(xué)，浙江 杭州）

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景.向量的模即向量的長度，模的大小就是表示向量的有向線段的長度，即兩點(diǎn)間的距離.如果教師能對模的幾何意義進(jìn)行深度挖掘，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解，并靈活應(yīng)用，就能找到解決與模有關(guān)的最值問題的優(yōu)化解法[1].

平面向量模長的最值問題是浙江省高考命題的熱點(diǎn)之一，筆者對近幾年浙江省高考卷和各地模擬卷中有關(guān)平面向量模長的最值問題進(jìn)行了整理與分析.利用向量模的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化成幾何問題來解決，可以更好地幫助學(xué)生理解向量模的幾何意義，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、體會(huì)高考，理解向量模的幾何意義

A

a→

a→-e→成立，故選C

O te→

圖1

e→

B的最小值為1.（ ）

圖2

圖3

圖4

小結(jié)：上述四個(gè)浙江省高考題皆有共同的地方，將差向量（和向量可以轉(zhuǎn)化成差向量）的模長問題轉(zhuǎn)化成共起點(diǎn)的兩個(gè)向量終點(diǎn)的距離問題來解決，使得這一類向量模長的最值問題更加簡潔直觀.在各地的高考模擬題中，也有很多考查向量模長的最值問題，我們同樣可以利用向量模長的的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

二、觸類旁通，應(yīng)用向量模的幾何意義

圖5

圖6

小結(jié)：上述兩個(gè)試題都考查了兩個(gè)差向量模長的和的最值問題，利用向量模的幾何意義可以將問題轉(zhuǎn)化成直線上的動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和的最值問題來解決.

圖8

小結(jié)：上述兩個(gè)試題都將差向量模長的最值問題轉(zhuǎn)化成了圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最值問題，與2018年浙江省平面向量高考題有一定的相似性.深刻理解了向量模的幾何意義之后，我們也可以嘗試創(chuàng)編有關(guān)向量模長的問題.

圖9

該題在例8的基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)編，將差向量的模長最值問題轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)間距離的最值問題.

圖7

三、歸納總結(jié)，提高解題能力

向量模是平面向量中的重要概念，理解向量模的幾何意義來解決涉及模長的最值問題，充分體現(xiàn)了平面向量的“數(shù)”和“形”的雙重性和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.本文深入挖掘了向量模的幾何意義，將差向量模長問題轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)到直線的距離、定點(diǎn)到平面的距離、圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離、兩圓上的動(dòng)點(diǎn)間的距離問題來解決.利用多題一解的形式，充分說明理解向量模的幾何意義的重要性，更好地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).