曹穎慧

（保定市第二中學(xué)，河北 保定）

2017年我校申請的保定市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題：《利用思維導(dǎo)圖優(yōu)化高三學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的研究》開展優(yōu)化高三學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的實(shí)驗(yàn)研究，是在具有一定知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上，尋求知識(shí)體系的表達(dá)方式、探索知識(shí)形象化、可視化工具的過程。有助于學(xué)生從整體上把握知識(shí)概要，局部上內(nèi)化理解知識(shí)點(diǎn)，形成舊知與新情景的鏈接能力，有效避免了對知識(shí)的機(jī)械性記憶，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)體系之間的貫通理解和轉(zhuǎn)換。高三的學(xué)生已經(jīng)有高一和高二的基礎(chǔ)知識(shí)，在高三可以從兩方面利用思維導(dǎo)圖優(yōu)化學(xué)生的思維體系，第一方面：將高中數(shù)學(xué)各章節(jié)知識(shí)進(jìn)行優(yōu)化；第二方面：將各種題型的解題方法進(jìn)行優(yōu)化。下面是以求函數(shù)的最值為例將各種題型的解題方法進(jìn)行優(yōu)化。

在高中求函數(shù)的最值通常有四種方法：一、知道函數(shù)的圖象；二、用重要不等式；三、幾何意義；四、對稱性。

一、要知道函數(shù)的圖象需要分析函數(shù)單調(diào)性

下面從兩類函數(shù)出發(fā)以幾個(gè)習(xí)題為例分析函數(shù)的最值。一類函數(shù)是基本初等函數(shù)，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)。另一類是綜合函數(shù)需要用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性。

（一）基本初等函數(shù)

1．將一條長為l的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個(gè)正方形，要使兩個(gè)正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長度分別是多少？

分析：設(shè)一段長度為x，則另一段長度為l－x，能推導(dǎo)出兩個(gè)正方形的面積和為是一個(gè)二次函數(shù)。由二次函數(shù)圖象可知（fx）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以 （fx）在處取最小值

2．已知函數(shù) （fx）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x。當(dāng)時(shí)，求（fx）的最小值以及取得最小值時(shí)的集合。

3．在平面四邊形 ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1。若點(diǎn) E 為邊 CD 上的點(diǎn)，則的最小值是______。

分析：連接AC，由初中三角形知識(shí)容易得到BC＝DC且AC⊥BD。分別以DB、AC為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn) A、B、C、D 的坐標(biāo)分別為由E在CD上可得經(jīng)計(jì)算得是關(guān)于x的一元二次函數(shù)，求最小值方法同例題1。

（二）綜合函數(shù)

1．一邊長為a的正方形鐵片，從鐵片的四角截去四個(gè)邊長為x的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋的方盒。x多大時(shí)，方盒的容積V最大？

分析：這是含有指數(shù)函數(shù)類型的綜合函數(shù)，需要用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求函數(shù)的單調(diào)性。由導(dǎo)數(shù)知識(shí)得（fx）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是

3．已知函數(shù)（fx）＝excosx－x。求函數(shù)（fx）在區(qū)間上的最大值和最小值。

分析：這是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的綜合試題，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)（fx）在區(qū)間上的最大值是最小值是（f0）。這道題的特殊性在于需要對（fx）的導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性。

如果知道函數(shù)的圖象就能求函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)是很好的分析單調(diào)性的工具，知道了函數(shù)的單調(diào)性就能知道函數(shù)的圖象。

二、下面以幾個(gè)習(xí)題為例分析用重要不等式求最值

2．在△ABC 中，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，已知 2（tanA＋

（Ⅰ）證明：a＋b＝2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值。

分析：第（Ⅱ）問也是二元函數(shù)求最值問題。由第（Ⅰ）問知道代入余弦定理得利用不等式：a2＋b2≥2ab，得得到cosC的最小值為當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，cosC取最小值。

3．已知數(shù)列{an}滿足 a1＝33，an+1－an＝2n，則的最小值是____。

注意：在用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)需要注意條件，檢查最值能否取到。

三、下面以幾個(gè)習(xí)題為例分析用幾何意義求最值

1．直線 l：x＋y＋2＝0 分別與 x軸、y 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 在圓C：（x－2）2＋y2＝2 上，則△ABP 的面積的最大值和最小值分別是？

分析：直線l與圓C相離，AB長為定值，△ABP的面積的大小取決于點(diǎn)P與直線l的距離，由幾何意義可知過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂線與圓交于兩點(diǎn)，一點(diǎn)與直線l最遠(yuǎn)，一點(diǎn)與直線l最近。

四、下面以幾個(gè)習(xí)題為例分析用對稱性求最值

1．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值是________。

分析：設(shè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)為ABCD—A1B1C1D1，平面α與AB、AD、AA1所成的角都相等，那么AC1⊥平面α。在平面α從點(diǎn)A向點(diǎn)C1移動(dòng)的過程中，截面的形狀是由三角形變成六邊形再變成三角形，兩邊的情況是對稱的，所以面積是先大再小。這樣平面α過AC1的中點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)截面是邊長為的正六邊形。

注意：不到萬不得已不用這個(gè)方法，畢竟這只是猜測，沒有量化。

求最值可能出現(xiàn)在很多章節(jié)中，如函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)等。不管出現(xiàn)在哪里，我們都要抽絲剝繭得到以核心變量為自變量的函數(shù)，再用上面的方法求最值。為了便于記憶，我把這些方法做成了思維導(dǎo)圖，教學(xué)生用思維導(dǎo)圖將求最值問題綜合在一起，讓學(xué)生能夠掌握知識(shí)、掌握解題方法、培養(yǎng)思維習(xí)慣、感悟數(shù)學(xué)思想，形成一個(gè)知識(shí)體系。