韋巖，李冉冉，張魯浩，周萬里，郁漢琪

(南京工程學(xué)院 工業(yè)中心，江蘇 南京 211167)

0 引言

廣義的并聯(lián)機(jī)械臂是末端的執(zhí)行裝置由幾個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)支鏈連接到基座，形成的閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈機(jī)構(gòu)[1]。瑞士的Reymond clavel教授于1985年提出的Delta機(jī)器人是應(yīng)用最為廣泛的并聯(lián)機(jī)構(gòu)之一。由于Delta機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使它只有3個(gè)平移自由度，設(shè)計(jì)、制造、控制都比較簡便，在輕工業(yè)分揀與包裝中應(yīng)用廣泛。機(jī)器人的工作空間是衡量機(jī)器人工作性能的一個(gè)重要性能指標(biāo)，在進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、控制、軌跡規(guī)劃時(shí)，工作空間是首先必須要考慮的重要問題。本文介紹一種Delta機(jī)器人的結(jié)構(gòu)及工作原理，使用蒙特卡羅方法，在位置正解的基礎(chǔ)上，結(jié)合MATLAB軟件對工作空間進(jìn)行探索研究。

1 Delta機(jī)器人簡介

Delta機(jī)器人是由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)、3根主動(dòng)臂以及3根平行四邊形結(jié)構(gòu)的從動(dòng)支鏈組成[2]，結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)一般成正三角形，靜平臺(tái)三角形的3邊通過3條運(yùn)動(dòng)鏈與動(dòng)平臺(tái)三角形的3條邊相連。每條運(yùn)動(dòng)鏈都是由4個(gè)球鉸鏈與4根桿組成平行四邊形，3個(gè)電機(jī)帶動(dòng)主動(dòng)臂旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而控制動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)。3組平行四邊形采用閉環(huán)結(jié)構(gòu)，這保證了動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)能夠始終保證平行，即保證動(dòng)平臺(tái)只能進(jìn)行平動(dòng)，而不能進(jìn)行任何方向的旋轉(zhuǎn)。

圖1 Delta機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡圖

根據(jù)Delta機(jī)器人的結(jié)構(gòu)及空間機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式[3]來計(jì)算其自由度：

其中：M是自由度，n是機(jī)構(gòu)總的構(gòu)件數(shù)，g是n個(gè)構(gòu)件之間的運(yùn)動(dòng)副數(shù)目，fi是第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的相對自由度數(shù)，根據(jù)公式能夠得到Delta機(jī)器人的自動(dòng)度數(shù)：

M=6×(17-21-1)+3×6+15=3

2 Delta機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2.1 Delta機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是已知機(jī)器人末端在參考坐標(biāo)系的位姿T的情況下，求機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)變量qi的取值。運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆解是控制機(jī)器人的關(guān)鍵，因?yàn)橹挥懈麝P(guān)節(jié)變量在按照逆解所求值進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，才能使機(jī)器人末端達(dá)到目標(biāo)位置。

首先對Delta機(jī)器人模型進(jìn)行簡化處理，由于從動(dòng)臂運(yùn)動(dòng)鏈呈平行四邊形(平面結(jié)構(gòu))，平行四邊形中的2條相對邊總是平行，所以平行四邊形左右2根桿的運(yùn)動(dòng)與上下2邊中點(diǎn)連線的運(yùn)動(dòng)始終相同，所以簡化為圖2所示。O為靜平臺(tái)正三角形B1B2B3的中心點(diǎn)，O′為動(dòng)平臺(tái)正三角形P1P2P3的中心點(diǎn)，Ei、Pi(其中i= 1,2,3，下同)分別是平行四邊形從動(dòng)臂上下2邊的中點(diǎn)，分別在2個(gè)平臺(tái)上建立直角坐標(biāo)系O-xyz、O'-x'y'z'，且ox⊥B1B3，o’x’⊥P1P3。

設(shè)OBi=R，O’Pi=r，則點(diǎn)Bi在坐標(biāo)系O-xyz中的位置矢量和Pi在坐標(biāo)系O'-x'y'z'中的位置矢量分別為：

圖2 Delta機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖

設(shè)θi是3根主動(dòng)臂與靜平臺(tái)之間的夾角，|EiBi|=l1,|PiEi|=l2,則:

得到等式：

[(R+l1cosθi-r)cosηi-x]2+[(R+l1cosθi-r)sinηi-y]2+[-l1sinθi-z]2=l22

(1)

式(1)為運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解公式，即主動(dòng)臂與靜平臺(tái)張角(輸入量)θi與動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)(輸出量)位移之間的方程。

化簡式(1)，令R-r=Δr，展開得：

(2)

將式(2)寫成Acosθi+Bsinθi+C=0

(3)

代入式(3)并化簡得到：

(C-A)ti2+2Bti+(A+C)=0 (i=1,2,3 )

這是3個(gè)一元二次方程,解方程可得

(4)

根據(jù)以上公式，當(dāng)給定動(dòng)平臺(tái)的位置坐標(biāo)時(shí)，即可以求出3個(gè)主動(dòng)臂的角度，由于每個(gè)方程有2個(gè)解，所以逆解共有8組。Delta機(jī)器人在運(yùn)行過程中會(huì)受到運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角的限制，所以并非所有的解都滿足要求，結(jié)合實(shí)際情況選取“±”中的值，即為最終的逆解。

2.2 Delta機(jī)器人的位置正解

運(yùn)動(dòng)學(xué)正解即已知機(jī)器人各個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量，求解機(jī)器人末端(動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn))的位置。利用式(2)可以得到O'在O-xyz中的位置矢量x,y,z的方程組，該方程組有3個(gè)等式，3個(gè)未知量(x,y,z)，通過解方程組可以得到末端位置。但是，該方程組是非線性方程組，解析解不易求得，而且還存在多解問題，需要對解進(jìn)行取舍。哈爾濱工業(yè)大學(xué)的趙杰[4]采用幾何法，構(gòu)造出特征四面體，求出它的唯一正解，如圖2所示，分別將E1P1，E2P2，E3P3沿著P1O’、P2O’、P2O’平移，并交于O’點(diǎn)，設(shè)此時(shí)的E1，E2，E3分別移動(dòng)到Q1，Q2，Q3點(diǎn)，由于Qi點(diǎn)的坐標(biāo)已知，而O’到Qi點(diǎn)的距離始終等于l2，可據(jù)此列出方程，求出O’的位置坐標(biāo)。

將圖2中的三棱錐單獨(dú)提出來分析，如圖3所示，H為△Q1Q2Q3的外心，K為邊Q1Q3的中點(diǎn)，容易證明O’H⊥△Q1Q2Q3，且H為垂足。

(5)

△Q1Q2Q3的外接圓半徑：

(6)

(7)

OO'=OH+HO'=OK+KH+HO'

(8)

式(8)就是運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程，已知θ1，θ2，θ3，l1，l2，R，r幾個(gè)參數(shù)，代入式(5)、式(6)、式(7)、式(8)，即可以求出O’的坐標(biāo)。

3 Delta機(jī)器人的工作空間

機(jī)器人的工作空間是機(jī)器人操作器的工作區(qū)域，它的大小是衡量機(jī)器人性能的重要指標(biāo)[5]。影響并聯(lián)機(jī)器人工作空間大小的因素主要有：1) 桿長的限制：當(dāng)桿長達(dá)到極限時(shí)，動(dòng)平臺(tái)給定參考點(diǎn)也達(dá)到了工作空間的邊界；2) 運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角的限制：球面副和轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角在實(shí)際并聯(lián)機(jī)器人產(chǎn)品上通常都有限制；3) 連桿的干涉：連桿在運(yùn)動(dòng)過程中可能會(huì)發(fā)生干涉。并聯(lián)機(jī)器人的工作空間的解析求解是一個(gè)很復(fù)雜的問題，故采用數(shù)值積分法來計(jì)算工作空間的范圍。

常用的工作空間的計(jì)算方法有幾何法、離散化方法、數(shù)值方法等，這幾種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在不同機(jī)構(gòu)中所用的方法也不盡相同。

對于Delta機(jī)器人而言，選擇動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)為參考點(diǎn)，則該點(diǎn)可以到達(dá)的點(diǎn)的集合即為Delta機(jī)器人的工作空間。Delta機(jī)器人結(jié)構(gòu)相對簡單，輸入變量為主動(dòng)臂的3個(gè)轉(zhuǎn)角θ1，θ2，θ3，動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持與靜平臺(tái)平行(即保持水平)，所以不存在姿態(tài)角度的變化，在分析工作空間時(shí)，只要分析單一姿態(tài)下參考點(diǎn)所達(dá)點(diǎn)的集合。

式(8)為運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解方程，它反映了輸入量與參考點(diǎn)坐標(biāo)與輸入量之間的關(guān)系，通過給定合理的輸入變量并代入該方程，即可得到參考點(diǎn)坐標(biāo)，這些坐標(biāo)點(diǎn)的集合就是Delta機(jī)器人的工作空間范圍。

4 仿真

Delta機(jī)器人仿真使用的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：靜平臺(tái)外接圓半徑R=195mm，動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑r=65mm，主動(dòng)臂桿長l1=200mm，從動(dòng)臂l2=500mm。根據(jù)實(shí)際的結(jié)構(gòu)，主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角θi限制為20°～160°，通過給定具體數(shù)值，使用MATLAB編程，分別使θ1，θ2，θ3從20°～160°之間等間距取50個(gè)值，代入正解方程，生成可視化的工作空間仿真圖形，如圖4所示。

圖4 工作空間仿真結(jié)果

從圖4中可以清晰地看到Delta機(jī)器人的工作范圍，Delta機(jī)器人的工作空間呈橢球型，且在靠近z=0平面時(shí)會(huì)有一段不可達(dá)的區(qū)間(空洞)，這段區(qū)域的大小是由主動(dòng)臂桿長，從動(dòng)臂桿長，動(dòng)靜平臺(tái)尺寸共同決定的，通過合理設(shè)計(jì)各桿長，可以優(yōu)化Delta機(jī)器人結(jié)構(gòu)，使機(jī)器人有更大的工作范圍。

5 結(jié)語

機(jī)器人工作空間的分析對于機(jī)械本體設(shè)計(jì)、軌跡規(guī)劃

及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)都有重要的意義。本文通過對Delta結(jié)構(gòu)的分析，根據(jù)Delta結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)建立了約束方程，并借此求出了運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，采用幾何法求取運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程，并在運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的基礎(chǔ)上，借助MATLAB軟件，得到了Delta機(jī)器人的可達(dá)工作空間，為衡量Delta機(jī)器人性能提供參考依據(jù)。

[1] J.-P., 梅萊,黃遠(yuǎn)燦. 并聯(lián)機(jī)器人[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社, 2014.

[2] 梁香寧, 牛志剛. 三自由度Delta并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及工作空間求解[J]. 太原理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2008(1):93-96.

[3] 黃真, 劉婧芳, 李艷文. 150年機(jī)構(gòu)自由度的通用公式問題[J]. 燕山大學(xué)學(xué)報(bào), 2011(1):1-14.

[4] 趙杰, 朱延河, 蔡鶴皋. Delta型并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解幾何解法[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2003(1):25-27.

[5] 黃真, 趙永生, 趙鐵石. 高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社, 2014.