李 陽(yáng)，牛雪娟，2，潘文峰

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387)

0 引言

炭纖維復(fù)合材料具有優(yōu)異的力學(xué)性能及可設(shè)計(jì)性等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于船舶、建筑、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域，日益受到人們的關(guān)注。在實(shí)際應(yīng)用中，由于結(jié)構(gòu)或功能方面的需求，常需要在復(fù)合材料層合板上開(kāi)孔或槽，這將導(dǎo)致在孔或槽周?chē)a(chǎn)生應(yīng)力集中，降低層合板的承載能力，形成潛在威脅。在發(fā)生應(yīng)力集中的情況下，孔邊應(yīng)力大小是研究者非常關(guān)心的內(nèi)容。

Nageswara等[1]根據(jù)薩文對(duì)帶孔各向異性板的研究，提出一種能夠計(jì)算具有對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的層合板及各向同性板孔邊應(yīng)力分布的方法，該方法還能夠基于一些準(zhǔn)則確定失效強(qiáng)度。Kaltackle等[2]及Sharma等[3]利用不同方法研究了單層板的不同鋪層角度、不同材料特性對(duì)孔邊應(yīng)力的影響。William[4]研究了復(fù)合材料層合板在不同載荷方向下孔邊的應(yīng)力集中情況。Russo等[5]求出在單軸拉伸載荷作用下，復(fù)合材料層合板孔邊的應(yīng)力分布，這種計(jì)算方法包含一定的修正功能。Michele等[6]基于已有的正交各向異性彈性理論，提出能夠計(jì)算槽邊應(yīng)力集中系數(shù)的工程公式，并利用有限元方法及已有文獻(xiàn)驗(yàn)證其準(zhǔn)確性。國(guó)內(nèi)，韓小平等[7]推導(dǎo)出能夠計(jì)算層合板孔邊應(yīng)力及應(yīng)力集中系數(shù)的公式，根據(jù)公式分別討論了材料彈性參數(shù)、鋪層結(jié)構(gòu)等因素對(duì)孔邊應(yīng)力集中的影響。李成等[8]用積分方法對(duì)含孔層合板進(jìn)行應(yīng)力分析，針對(duì)不同載荷狀況對(duì)孔邊的應(yīng)力集中情況進(jìn)行探討。謝慈航等[9]采用各向彈性理論及保角變換法，總結(jié)出一個(gè)包含孔形參數(shù)的表達(dá)式，利用該表達(dá)式求出復(fù)合材料層合板在一定受力情況下的孔邊應(yīng)力，并對(duì)不同曲率孔形的應(yīng)力集中系數(shù)進(jìn)行了討論。

上述國(guó)內(nèi)外學(xué)者所做解析法研究以及仿真研究和實(shí)驗(yàn)研究，都是利用傳統(tǒng)的直線(xiàn)鋪放含孔復(fù)合材料層合板進(jìn)行的，隨著復(fù)合材料層合板制備工藝的提高，為更加充分地利用炭纖維的可設(shè)計(jì)性及其他特點(diǎn)，對(duì)于改變纖維角度的這種變剛度[10]層合板，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。Gürdal等[11-12]采用角度沿幾何軸線(xiàn)性變化的曲線(xiàn)來(lái)定義鋪放參考軌跡，并采用先進(jìn)的鋪放技術(shù)制備了變剛度層合板；然后利用實(shí)驗(yàn)證明了變剛度復(fù)合材料層合板其承載能力高于直線(xiàn)鋪放的層合板。ZHU Yingdan等[13]采用分段函數(shù)擬合最大主應(yīng)力方向，通過(guò)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)獲得構(gòu)造參數(shù)確定鋪放軌跡函數(shù)，之后進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和仿真驗(yàn)證，但他們對(duì)變剛度復(fù)合材料層合板進(jìn)行研究時(shí)，采用的都是實(shí)驗(yàn)和仿真的方法，沒(méi)有采用解析法。

本文提出一種對(duì)變剛度板孔邊應(yīng)力進(jìn)行解析分析的方法，根據(jù)牛雪娟等[14]提出的利用流場(chǎng)函數(shù)構(gòu)造變剛度鋪放軌跡的理論，采用合適的流場(chǎng)函數(shù)擬合最大主應(yīng)力方向，通過(guò)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)確定構(gòu)造參數(shù)，得到適用于整個(gè)變剛度板的連續(xù)的鋪放軌跡函數(shù)即優(yōu)化函數(shù)，基于獲得的優(yōu)化函數(shù)，對(duì)變剛度板孔邊應(yīng)力進(jìn)行解析分析。

1 規(guī)劃變剛度鋪放軌跡

1.1 確定最大主應(yīng)力方向

分析開(kāi)孔復(fù)合材料直線(xiàn)鋪放單層板在一定受力工況下的數(shù)據(jù)，獲得層合板上各個(gè)單元的最大主應(yīng)力方向。根據(jù)文獻(xiàn)[15]所述，在相同的邊界條件下，各向同性板與各向異性板經(jīng)有限元分析后其最大主應(yīng)力方向相同。分析一含中心孔復(fù)合材料0°單層板，材料為45#鋼，單層板長(zhǎng)155 mm，寬36 mm，厚2 mm，中心圓孔的直徑為6 mm。利用abaqus 6.12建立模型，層合板右端在長(zhǎng)度方向承受面內(nèi)拉伸載荷10 N，邊界條件為左端完全固定，原點(diǎn)設(shè)置在孔的中心，網(wǎng)格劃分單元類(lèi)型為C3D8R，運(yùn)行后從.rpt文件中提取每個(gè)單元的S11S22S12。其中，S11為沿著x軸方向的應(yīng)力，S22為沿著y軸方向的應(yīng)力，S12為作用在yoz平面上沿y軸方向的剪力。利用式(1)、式(2)獲得其最大主應(yīng)方向，如圖1所示。

(1)

可知：

(2)

1.2 設(shè)計(jì)變剛度鋪放軌跡

由圖1可知，在遠(yuǎn)離孔的區(qū)域最大主應(yīng)力方向呈直線(xiàn)狀分布，在孔的周?chē)鷧^(qū)域最大主應(yīng)力方向呈余弦狀分布，整個(gè)板的最大主應(yīng)力方向的分布類(lèi)似于圓柱繞流流線(xiàn)簇的分布。根據(jù)牛雪娟提出的理論，本文采用直線(xiàn)流與偶極流疊加來(lái)擬合最大主應(yīng)力方向，通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)獲得優(yōu)化的構(gòu)造參數(shù)，也就獲得了鋪放軌跡函數(shù)。

簡(jiǎn)化后的流函數(shù)表達(dá)式為

(3)

在此表達(dá)式中構(gòu)造參數(shù)Γ未知，可通過(guò)如下優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)獲得：

(4)

此優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的中心思想為孔周?chē)鷧^(qū)域單元中心點(diǎn)處流函數(shù)的速度矢(uxi，uyi)方向與最大主應(yīng)力方向(cosθi，sinθi)的夾角最小，同時(shí)考慮到這些單元中心點(diǎn)處的夾角在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中的重要性其實(shí)是不同的。

式(4)中的σ1i為最大主應(yīng)力代表權(quán)重就說(shuō)明了不同的夾角其在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中地位的不同。若某一點(diǎn)的最大主應(yīng)力較大，說(shuō)明該點(diǎn)在實(shí)際的受力情況下承受了較大載荷。因此，最好使該點(diǎn)的纖維方向即鋪放軌跡方向與最大主應(yīng)力方向一致，使纖維更有效的承受載荷，這一點(diǎn)在優(yōu)化準(zhǔn)則中就占有重要地位；若某一點(diǎn)的最大主應(yīng)力較小，那么該點(diǎn)的纖維方向與最大主應(yīng)力方向是否一致，就不是十分關(guān)心的部分，其在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中占有地位較小。

(5)

(6)

速度矢(uxi，uyi)可通過(guò)式(6)獲得，式(6)中的(xi，yi)為孔邊單元的中心點(diǎn)坐標(biāo)，利用該坐標(biāo)也可獲得變剛度板在x-y總坐標(biāo)系下，以變剛度板中心孔的中心為原點(diǎn)的極角θ。最大主應(yīng)力σ1i可通過(guò)式(5)獲得，利用該優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)能夠求得構(gòu)造參數(shù)Γ，最終獲得該含孔單層板鋪放軌跡函數(shù)。

2 含孔單合板孔邊解析法分析理論基礎(chǔ)

2.1 經(jīng)典層合板理論

圖2所示為單元體平衡，1-2坐標(biāo)表示材料的局部坐標(biāo)，x-y表示層合板總坐標(biāo)，α表示從x軸到1軸的角度，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。若圖3單元體x軸方向平衡，可得

σx=σ1cos2α+σ2sin2α-2τ12cosαsinα

(7)

2.2 傳統(tǒng)直線(xiàn)鋪放含中心孔單層板孔邊應(yīng)力分析

含中心孔單層板承受沿x軸方向的載荷且單層板的纖維方向與載荷方向成α角，如圖3所示。

對(duì)于這樣的各向異性板，已有學(xué)者[2]給出求其孔邊環(huán)向應(yīng)力的解析式，如式(8)所示。

(8)

其中，γ1、γ2可由式(9)給出：

(9)

式中E1、E2、G12、ν12為材料的彈性常數(shù)。

接下來(lái)，利用求得的孔邊環(huán)向應(yīng)力σθα可求出在孔邊不同極角θ處纖維方向的應(yīng)力σ1，垂直于纖維方向的應(yīng)力σ2以及剪應(yīng)力τ12由式(10)[2]給出：

(10)

2.3 曲線(xiàn)鋪放含中心孔單層板孔邊應(yīng)力分析

通過(guò)圖1可知，在孔周?chē)鷧^(qū)域及遠(yuǎn)離孔區(qū)域最大主應(yīng)力的方向，可預(yù)計(jì)利用優(yōu)化函數(shù)獲得的鋪放軌跡大致形狀如圖4所示。下面對(duì)曲線(xiàn)鋪放含中心孔單層板孔邊應(yīng)力分析，將利用圖4進(jìn)行說(shuō)明。

圖4中，1-2坐標(biāo)的1軸方向?yàn)殇伔跑壽E在該點(diǎn)的切線(xiàn)方向即纖維的鋪放方向，2軸方向?yàn)榇怪庇谇芯€(xiàn)方向。α表示切線(xiàn)與x軸之間的夾角，θ表示該點(diǎn)孔邊極角。α可由式(11)求出：

(11)

因?yàn)檩d荷施加在x軸方向，所以本文主要考察載荷方向的應(yīng)力σx。先利用式(6)、式(8)、式(9)、式(11)求出孔邊不同極角θ處的應(yīng)力σθαi，再利用式(7)、式(10)求出σθαi沿x軸方向的分力σxi。

3 算例分析及有限元驗(yàn)證

3.1 算例分析

本文所用算例材料為AS4/9973，彈性常數(shù)E1=130 MPa，E2=9.24 MPa，G12=5.24 MPa，ν12=0.36幾何模型，網(wǎng)格類(lèi)型，載荷大小，邊界條件等均與本文開(kāi)頭時(shí)所用各向同性模型相同。利用優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)即式(4)，獲得該模型的流函數(shù)的構(gòu)造參數(shù)Γ=-5.87，離散獲得的鋪放軌跡函數(shù)，相鄰兩條等流線(xiàn)間的數(shù)值差為1.5，利用MatLab繪制鋪放軌跡，如圖5所示。利用式(6)、式(11)求得變剛度板孔邊不同極角θ處鋪放軌跡切線(xiàn)的角度，即纖維鋪放角度α，如圖6所示。從圖6可看出，在θ約為90°、270°處，α約為0°，與最大主應(yīng)力方向近乎相同，可預(yù)計(jì)其孔邊應(yīng)力σx將會(huì)下降。

利用在本文提出的方法，計(jì)算后可獲得變剛度板孔邊不同極角θ處沿x軸方向的應(yīng)力σx，如圖7所示。紅線(xiàn)表示0°板孔邊不同極角處的σx，黑線(xiàn)表示變剛度板孔邊不同極角θ處的σx，從圖7可看出，在θ約為90°、270°處，變剛度板的σx比0°板的σx下降11.90%，傳統(tǒng)直線(xiàn)鋪放單層板的應(yīng)力集中得到較大改善。為更準(zhǔn)確地說(shuō)明改善情況，在表1中列出了變剛度板及0°板的極角θ在90°及270°附近角度處的σx。

極角θ/(°)變剛度板/MPa0°板/MPa76．513．223614．267585．521．614224．534894．521．368124．5348103．513．146514．2675256．513．223614．2675265．521．621324．5348274．521．334224．5348283．513．146514．2675

從圖7中也可看出，變剛度板孔邊環(huán)向其他角度θ處的σx要比0°板的大。分析其原因，在于變剛度板實(shí)現(xiàn)了應(yīng)變的轉(zhuǎn)移，使原本集中在垂直受力方向的應(yīng)變轉(zhuǎn)移到其他孔邊位置，同時(shí)使材料更有效地承受載荷。

3.2 有限元驗(yàn)證

利用式(6)、式(11)獲得鋪放軌跡在每個(gè)單元中心點(diǎn)處切線(xiàn)的角度，然后利用MatLab編程，再用生成的文件更改在3.1節(jié)中由有限元模型獲得的.INP文件，賦予每個(gè)單元纖維的鋪放角度，即2.1節(jié)中所說(shuō)的α，由此獲得變剛度模型。將得到的變剛度模型重新導(dǎo)入有限元軟件Abaqus 6.12，提取運(yùn)行后變剛度模型孔邊不同極角處的σx，并將其與3.1節(jié)中利用解析法獲得的σx進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示。紅線(xiàn)表示利用有限元方法得到的σx，黑線(xiàn)表示利用解析法得到的σx。經(jīng)分析可知，該解析法的最大誤差是應(yīng)力集中處的誤差，為5.63%。

4 結(jié)論

(1)利用流場(chǎng)函數(shù)構(gòu)造變剛度板的鋪放軌跡，建立起變剛度板力學(xué)解析分析與變剛度鋪放軌跡設(shè)計(jì)間的橋梁，使得采用解析法分析變剛度板孔邊應(yīng)力能夠?qū)崿F(xiàn)。

(2)觀(guān)察利用解析法及有限元法得到的應(yīng)力圖，發(fā)現(xiàn)二者的趨勢(shì)基本相同，發(fā)生應(yīng)力集中的位置一樣，最大誤差是應(yīng)力集中處的誤差。解析法及有限元法的最大誤差為5.63%。通過(guò)對(duì)比變剛度板及0°板孔邊應(yīng)力峰值，可知變剛度板應(yīng)力σx的峰值比0°板的應(yīng)力峰值σx下降11.90%。

(3)通過(guò)本文分析可知，若邊界條件、受力工況、幾何模型等條件不同，將導(dǎo)致其最大主應(yīng)力方向不同，其中載荷施加的方式和位置是影響最大主應(yīng)力方向的主要因素。這時(shí)需根據(jù)實(shí)際情況采用合適的流場(chǎng)函數(shù)擬合最大主應(yīng)力方向，利用優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)獲得優(yōu)化函數(shù)。

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