王萍莉，牛裕琪

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 許昌 461000)

眾所周知， 傳統(tǒng)混合有限元方法所涉及的兩個(gè)有限元逼近空間通常要求滿(mǎn)足LBB相容性條件，這通常不是一件容易的事.因此出現(xiàn)了一些不需要滿(mǎn)足這一限制條件的混合有限元格式，如H1-Galerkin有限元方法[1]，最小二乘有限元方法[2]，穩(wěn)定化方法[3]等.最近，[4，5]針對(duì)二階橢圓問(wèn)題給出了一種新的混合元格式，考慮了其收斂性分析，并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)選取的空間對(duì)滿(mǎn)足一個(gè)簡(jiǎn)單的包含關(guān)系時(shí)，該格式自然滿(mǎn)足LBB相容性條件，基于這一明顯優(yōu)勢(shì)，隨后該方法被用于解決其它問(wèn)題[6-8]，并得到了滿(mǎn)意的收斂結(jié)果.其中，[6]基于[4，5]的工作進(jìn)一步研究了二階橢圓問(wèn)題的超逼近及超收斂性質(zhì)；[7，8]分別在正則網(wǎng)格和各向異性網(wǎng)格下討論了拋物方程的混合元逼近格式，并都給出了收斂性分析.

本文考慮四階橢圓問(wèn)題的初邊值問(wèn)題

(1)

其中，Ω?R2是x-y平面上具有Lipschitz連續(xù)邊界?Ω的有界凸區(qū)域，0

眾所周知，四階問(wèn)題具有深刻的物理背景，在許多方面具有廣泛的應(yīng)用，其中之一可以用于刻畫(huà)彈性梁的狀態(tài)，而彈性梁是現(xiàn)代飛機(jī)、輪船、建筑等最基本的結(jié)構(gòu)之一，因而關(guān)于這類(lèi)問(wèn)題的研究對(duì)于理論與實(shí)際應(yīng)用都具有十分重要的意義.由于四階問(wèn)題出現(xiàn)了高階導(dǎo)數(shù)，因此其數(shù)值求解有一定的困難，其研究方法通常有有限差分方法，有限體積元方法， 有限元方法和混合有限元方法[9-11]等.其中，[9]研究了四階橢圓和拋物問(wèn)題的混合有限元方法，得到了最佳收斂階;[10]利用擴(kuò)展混合元方法給出了四階橢圓問(wèn)題的誤差估計(jì); [11]對(duì)四階橢圓問(wèn)題構(gòu)造了三個(gè)C0非協(xié)調(diào)單元，并證明了一個(gè)單元是一階收斂，另兩個(gè)單元是二階收斂.

本文的主要目的是基于[4，5]的思想,利用雙線元Q11及其梯度空間Q01×Q10對(duì)四階橢圓方程建立了一種新的混合元逼近格式.利用單元的良好性質(zhì)，借助于積分恒等式技巧和插值后處理技術(shù)，導(dǎo)出了相應(yīng)變量的超逼近性質(zhì)及整體超收斂結(jié)果.

1 單元構(gòu)造及逼近格式

定義混合有限元空間如下

設(shè)Ihv→Ihv和分別為有限元空間Vh和上相應(yīng)的插值算子，并且滿(mǎn)足

Ih|K=IK,IKv(ai)=v(ai)

和

(2)

(3)

借助文[4]-[6]對(duì)二階橢圓問(wèn)題的討論，可知混合變分問(wèn)題(3)存在唯一解.

(4)

(5)

2 超逼近及超收斂分析

為了得到超逼近，首先介紹下面引理.

由[6]可知如下引理成立.

(6)

則有如下的弱強(qiáng)制性

(7)

[12]已經(jīng)證明了如下引理成立.

(▽(u-Ihu),▽vh)=O(h2)|u|3‖vh‖1,u∈H3(Ω).

(8)

借助于引理1，2，我們可以得到如下超逼近性質(zhì).

(9)

(10)

(11)

借助于引理1和(11a)，可得

(12)

由[6]可知，下述關(guān)系成立

▽Ih=Πh▽.

(13)

(14)

由(14)式并結(jié)合a(.,.)和b(.,.)的定義， (12)可化為

(15)

注意到(14)式和引理2， 故有

(16)

結(jié)合(15)和(16)式可得

(17)

圖1 大單元

(9)得證.

類(lèi)似可證(10).

定理得證.

結(jié)合I2h和Π2h的性質(zhì)，并利用定理1的結(jié)論則很容易得到如下的超收斂結(jié)果.

定理2 在定理1的條件下，則有

(18)

(19)

證明 由定理1及I2h和Π2h的性質(zhì)，可得

(18)式得證，同理可證(19)式.

注 在矩形剖分格式下，上述混合元模式能夠得到相應(yīng)變量的超逼近性質(zhì)，關(guān)鍵在于文[6]中證明的(13)，使得(16)式的估計(jì)可以利用雙線性元的高精度結(jié)果.

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