黃正洪

【摘要】若把尺規(guī)作圖的作業(yè)放入三維的空間，在多一個維度的配合下，多一份思緒的搓揉，也許比在二維的平面上更容易收獲心中之苦果.

【關鍵詞】任意角；尺規(guī)等分

從平面幾何常識中，我們知道任何一段弧都是某個已知圓周的一部分，言下之意，每段弧都有相應的圓心角，且由此而知弧的任意等分即為相應圓心角的任意等分，而圓心角的任意等分即為任意角的任意等分.遺憾的是好幾個世紀以來，關于角的等分情結，把本就不怎么平靜的數(shù)學港灣鬧騰得沸沸揚揚，但尺規(guī)作圖的業(yè)績卻仍然局限在無法將任意角進行3等分、5等分、7等分、9等分……面對解不開的謎團叫人傷感，但天下不心服之士，一代接一代，弄得頭昏腦漲于其間，累得疾病纏身于其后，辛然失落，不堪回首.有意思的是當筆者駐足于山重水復的大自然間，面對藍的天，綠的地，靈感突然涌動，想到若把尺規(guī)作圖的作業(yè)放入三維的空間，在多一個維度的配合下，多一份思緒的搓揉，也許比在二維的平面上更容易收獲心中之苦果.巧的是筆者從遐想里真的覓到了“藏寶”，因感覺思緒的表述還算清晰，如圖之示的內(nèi)容就留給有緣諸君.

（一）由于α2，α4，α8，α16，…都是α的2n等分角，這些角是我們能用尺規(guī)作圖的方法畫得出來的，而在α的2n等分角之間還存在諸如α3，α5，α6，α7，…這些角是我們目前還不能用尺規(guī)作圖的方法畫出來的.為解決此問題，本文把以隱形的1為分子，以連續(xù)的自然數(shù)為分母的α的分數(shù)系數(shù)都簡稱為α的真分數(shù)系數(shù).

（二）在某平面上選取適當長的AB為底，分別以α2，α4，α8為頂角，作各自獨立的等腰三角形OAB，CAB，DAB.由于這組三角形松散地處在平面上，既無聯(lián)系，又無規(guī)律，人們實在不知如何進行利用，這就是本文考慮將其放入空間直角坐標系的原因.

（三）設頂角為α2，底邊長為AB的等腰三角形OAB的頂點O與坐標系的原點O重合，腰OA與OY軸重合，底邊AB落在水平象限.定義此一特定位置的三角形為本文的基礎三角形.定義過O且垂直于水平象限的OZ軸叫立軸.定義OX軸叫水平軸.如此操作之后，我們研究的對象便在空間直角坐標系中有了一個特殊的家.

（四）現(xiàn)在我們要將頂角為C，C為α4的等腰三角形CAB移進空間特殊的家，移進的方法是：以基礎三角形OAB的底AB不動作為三角形CAB的底邊，以A為圓心，以獨立的等腰三角形CAB的腰為半徑，畫弧交立軸于C，連接CA，CB（由于在立體幾何中對CA=CB的證明很是容易，故我們在此惜墨且加以認定），如此操作之后，頂角為α4的等腰三角形CAB就移進了空間特殊的家，其頂角點C則同基礎三角形的頂角點O一樣在立軸上進入攀升排隊.

（五）與以上（四）的操作過程完全相同.現(xiàn)在我們要將頂角為α8的等腰三角形DAB也移進空間特殊的家，此說即為，以上三個等腰三角形在水平象限都同底為AB，而其頂角點D則同頂角點O和C的情形一樣在立軸上進入攀升排隊.

由于底邊相等的等腰三角形，頂角越小的其高越長，于是我們看到O，C，D在立軸上的位置一點比一點高.面對立軸上排隊頂點之攀升，我們的心中產(chǎn)生了一種特別的數(shù)學想象，此想象即為，我們要把D到O之間的距離看成一個特殊彈簧，并將之向下壓縮，且要壓縮到與C到O之間的距離一樣長為止.在該過程中我們要理解：所有排序的頂角點都是在隨勢而下壓，而所有下壓的頂角點對應的等腰三角形的腰也是在隨勢而縮短，且要縮短到符合于新位置的等腰三角形的自然腰長為止.在此一數(shù)學想象的操控下，對應于D的α8頂角點已按要求被壓縮而增大到了對應于C的α4的頂角點的位置上.由于C頂角點在下壓其間也是隨之而增大的，那么我們要問，對應于C的α的真分數(shù)系數(shù)此時變?yōu)榱硕啻竽兀恳韵率潜疚牡那笞鬟^程.

（六）欲求頂角點C在下壓后對應的α的真分數(shù)系數(shù)變?yōu)榱硕啻?，就必須求出C在壓縮而成的影像段中的具體位置.為此我們要在水平軸上找一點E，使OE=OC，此找點使得本來在立軸上的OD在壓縮之后的影像成為水平軸上的一段距離，由前面的操作知這段距離的端點E相當于立軸上α4頂角點.因O是基礎三角形的頂角點，知其對應于α2，由于在α2到α4之間還存真分數(shù)系數(shù)頂點α3，那么α3表示的是什么意思？對此我們的數(shù)理共識是：既然影像段的段段及點點都是由壓縮而來，說明它們與立軸上兩個攀升段的段段及點點就一定保持著一一對應的關系，由于OC和CD的分界點是真分數(shù)系數(shù)點α4，進而知壓縮后的對應點無疑是一個隨壓縮而增大了的真分數(shù)系數(shù)點，由于影像段之中只存在唯一的真分數(shù)系數(shù)點α3，于是由對應關系知α3就是這個影像段的分界點.為便于敘述，設此分界點為F，且擬定如下用語：立軸上的OD是壓縮前的全長、OC是壓縮前的局部，水平軸上的OE是影像段的全長、OF是影像段中的對應于OC的局部.根據(jù)影像縮放理念知：壓縮前的局部/壓縮前的全長=影像段中的對應局部/影像段的全長.于是可得比例式：

OC∶OD=OF∶OE.（1）

影像的縮放功能其實就是幾何學中的比例，本文的這種想象壓縮正是基于此一數(shù)學理念而設計，但在此一設計中存在著F點位置不明的缺陷，顯然此缺陷是本文的心病.所幸的是由于空間相交兩軸已夾出了一個角形平面，這平面促使我們想到要去構造出一個輔助三角形，于是以攀升段和影像段為邊的空間三角形ODE飄然而出.有此輔助三角形凌空傲世，本文就有充分的條件來完成余下的作圖過程.

（七）在三角形ODE中，過OD邊上的C點作DE的平行線交OE于G，即有CG∥DE，于是由平行線分線段成比例定理可得下式：

OC∶OD=OG∶OE.（2）

將（1）代入（2）于是可得：

OG∶OE=OF∶OE.（3）

由（3）可解得：

OG=OF.（4）

由（4）而知G與F重合，此言下之意即為，由平行線的畫作而確定的G即為頂角點α3.此位置一旦明了，我們的心中馬上想到G對應于立軸的情形.由于整個求作過程處在同一空間坐標系中，于是知這情形可由兩種方案釋疑：（1）以O為圓心，以OG為半徑畫弧，設其交立軸的OC于H，則知H即為對應于G的α3頂角點，這其實就是將水平軸按反時針方向旋轉90°而使G和H重合的情形，此說的另一層意思即為，H就是頂角為α3的等腰三角形的攀升頂角點.（2）如果不旋轉水平軸，而是將基礎三角形繞OA邊也按順時針方向旋轉90°，那么此時的水平軸就變成了換一個方向視看的“立軸”，不言而喻，這新的位置關系與之前的設計一脈相承，因現(xiàn)時的“立軸”添增了人們所希望的信息，已然身價百倍，故我們感覺到（2）的方案更容易被人們理解.總之以上兩種方案都能達畫作的最終目的.為將就人們的視看習慣，本文還是以有過信息補充的立軸為準來完成畫作.

（八）連接AH，BH，則頂角為α3的等腰三角形HAB已名正言順地進入了空間的家，其頂角點H亦理所當然地參與攀升排隊.

（九）在那個某平面上，以AB為底，分別以A，B為圓心，以空間的HA或HB之長為半徑，畫弧交于I點，連接IA，IB則等腰三角形IAB的頂角I即為α3.至此我們已三等分了任意角α.

（十）在三等分任意角α的基礎之上，我們發(fā)現(xiàn)了一種任意角的任意等分的簡便方法.不妨就以α5的尺規(guī)畫作來表述這一操作情形.命令：所有已知和未知的等腰三角形的真分數(shù)系數(shù)頂點都必須實際或虛擬而在立軸上進入攀升排隊.然后過欲求點α5前一點C，即過α4點作水平軸CX.CX軸存在的另一含義為：等腰三角形CAB已成為新的、提高了一個位置的基礎三角形（后文中遇此情形不再另做說明）.現(xiàn)在我們從新基礎三角形的頂角點出發(fā)，在立軸上向上數(shù)出以α5，α6，α7，α8為端點的四個段來向下進行壓縮.為什么要取四個段來進行壓縮呢？這是因為四個段可看成兩個大段，而兩大段的分界點一定是偶數(shù)分母已知點，譬如，此處的α6就是本文的偶數(shù)分母已知點（它是α3的二分點），設此點為J.由前之所證同一情形，知J對應于壓縮段的欲求點，如此便為本文的求證工作創(chuàng)造了條件.由于第四段的端點D對應α8，當我們將D向下壓縮且壓縮到α6為止時，則知D的α8頂點已增大而成α6頂角點了，由于J在此其間是隨之而下壓的，那么J的α6頂角點在下壓時的增大的情形又是怎樣的呢？為此我們要在CX軸上找一點K使得CK=CJ，當然我們知此K即為CX軸上的α6頂角點，因已知C對應于α4，且知在α6到α4之間還存在α5頂角點，這一情形，理同于前文中的三等分任意角的畫作，于是我們知這個點就是壓縮而成的兩個段的分界點，設這個分界點為L，則知L即為α5，雖然此點的真分數(shù)系數(shù)為已知，但其具體位置卻不知，而這未明位置點的求作過程正是我們之前所看重過的欲求點的求作過程，于是根據(jù)影像縮放的設計理念可得：

CJ∶CD=CL∶CK.（5）

由于空間兩軸已確定了一個平面，這使我們想到要去連接DK，于是以被壓縮段和壓縮段為邊的空間三角形CDK飄然而出，于是我們就有了求此欲求點的手段：過J作DK的平行線交CX軸的CK于M點，即有JM∥DK，由平行線分線段成比例定理可得下式：

CJ∶CD=CM∶CK.（6）

將（5）代入（6）得：

CL∶CK=CM∶CK.（7）

由（7）可解得：

CL=CM.（8）

由（8）知L與M重合，此言下之意即為，由平行線的畫作而確定的M點即為α5頂角點.此位置一旦明了，我們的心中馬上想到M點對應于立軸的情形.由于整個求作過程處在同一空間坐標系中……于是按之前操作過的同一模式，我們能在平面上畫出這個頂角為α5的等腰三角形，此情形即為本文已五等分了任意角α.

（十一）與以上（十）的求作過程完全相同.過對應于α6（此點是α3的二分已知點）的頂角點J作水平軸JX，同時從立軸的J開始向上數(shù)四個段，即以α7（欲求點），α8（已知點），α9（未參與運算點），α10（此點是α5的二分已知點）為端點的四段來進行壓縮……此情形即為本文已七等分了任意角α.

（十二）與以上（十一）的求作過程完全相同.過對應于α10（此點是α5的二分已知點）的頂點N作水平軸NX，同時從立軸的N開始向上數(shù)四個段，即以α11（欲求點），α12（此點是α6的二分已知點），α13（未參與運算點），α14（此點是α7的二分已知點）為端點的四段來進行壓縮……此情形即為本文已十一等分了任意角α.

以上證明過程一脈相承，都是用已知點畫求未知點的方式層層推進.如此之后，十三等分、十七等分……及所有欲求頂角點都會逐一變成畫作已知點.我們能層層推進的理由是：由于欲求點的上下點的α系數(shù)的分母是偶數(shù)，而偶數(shù)至少可改寫成某數(shù)的2倍，則知分出的奇數(shù)小于正在畫作的未知分母，言下之意即為，此某數(shù)者必為已畫求過的已知點，故用上述方法我們可逐一求得所有欲求真分數(shù)系數(shù)頂角點.至此α角的任意等分的畫作表述完畢，請有緣審閱諸君為之雕圓補潤，從而使此一尺規(guī)作圖作業(yè)能以更完美的姿態(tài)面世.