楊 其, 劉新學(xué), 孟少飛, 劉慶寶

(1. 火箭軍工程大學(xué)士官學(xué)院, 山東 青州 262500; 2. 火箭軍工程大學(xué)初級(jí)指揮學(xué)院, 陜西 西安 710025)

0 引 言

飛行器飛行過(guò)程中受到的大氣湍流、附面層壓力波動(dòng)等激勵(lì)決定了固連于機(jī)體的捷聯(lián)慣導(dǎo)在實(shí)際使用中始終處于振動(dòng)、搖擺的不穩(wěn)定環(huán)境中,各種研究和實(shí)驗(yàn)都已證明動(dòng)態(tài)環(huán)境下捷聯(lián)慣導(dǎo)的輸出與靜態(tài)實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下的輸出并不吻合[1-4],但目前成熟的誤差模型和標(biāo)定方法仍然將這一差別歸入隨機(jī)誤差,說(shuō)明目前對(duì)于振動(dòng)給捷聯(lián)慣導(dǎo)輸出帶來(lái)的影響仍缺乏明確的機(jī)理性認(rèn)識(shí)。

從彈性力學(xué)的角度來(lái)看,捷聯(lián)慣導(dǎo)本體不可能體現(xiàn)出絕對(duì)剛性,所以從本質(zhì)上講,處于動(dòng)態(tài)環(huán)境下的捷聯(lián)慣導(dǎo)本體存在無(wú)數(shù)個(gè)自由度,即使將這一問(wèn)題簡(jiǎn)化為僅考慮正交坐標(biāo)系3個(gè)軸向的線運(yùn)動(dòng)和繞軸向角運(yùn)動(dòng)的影響,通過(guò)現(xiàn)有的研究分析,在各種安裝方式下,這些軸向的線運(yùn)動(dòng)和角運(yùn)動(dòng)在不同安裝方式下仍存在不同程度的耦合[5-6],使得全面分析振動(dòng)對(duì)捷聯(lián)慣導(dǎo)輸出影響的機(jī)理問(wèn)題變得十分困難。另外,由于慣性儀表本身必然有一定尺寸,并不能完全按照“點(diǎn)測(cè)量組件”安裝于本體質(zhì)心,當(dāng)飛行器出現(xiàn)角運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)內(nèi)桿臂誤差,同時(shí)慣導(dǎo)本體質(zhì)心與飛行器質(zhì)心并不重合,慣性儀表測(cè)量值在換算過(guò)程中又會(huì)帶來(lái)外桿臂誤差。在桿臂長(zhǎng)度已知或誤差輸出頻率特性已知的情況下,可以對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行力學(xué)補(bǔ)償和數(shù)字濾波補(bǔ)償[7-9],在桿臂長(zhǎng)度未知情況下也有研究直接將其作為未知量通過(guò)其余先驗(yàn)信息進(jìn)行動(dòng)態(tài)在線標(biāo)定[10-12]。

為了使影響機(jī)理分析更為清晰,本文假設(shè)慣導(dǎo)系統(tǒng)僅受到垂直于支架的橫向振動(dòng)影響,且慣導(dǎo)本體內(nèi)部呈現(xiàn)絕對(duì)剛性并忽略內(nèi)桿臂誤差,從等效歐拉梁和線性減振混合系統(tǒng)模型出發(fā),對(duì)歐拉梁和彈簧振子的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程統(tǒng)一處理并利用Green函數(shù)法對(duì)其進(jìn)行求解,詳細(xì)分析了橫向振動(dòng)對(duì)捷聯(lián)慣導(dǎo)加速度計(jì)外桿臂效應(yīng)誤差補(bǔ)償造成影響的機(jī)理。

1 等效歐拉梁混合系統(tǒng)模型

捷聯(lián)慣導(dǎo)在艙體內(nèi)通過(guò)支架安裝與飛行器固連,一般在支架和捷聯(lián)慣導(dǎo)本體之間會(huì)設(shè)計(jì)橡膠墊、鋼套等減振系統(tǒng),同時(shí)結(jié)合艙內(nèi)不同情況安裝方式稍有不同,但其基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 艙內(nèi)捷聯(lián)慣導(dǎo)安裝示意圖Fig.1 SINS installed in apparatus cabin sketch map

為了能更清晰地分析振動(dòng)對(duì)桿臂效應(yīng)帶來(lái)影響的機(jī)理,僅考慮一維情況下捷聯(lián)慣導(dǎo)在平面內(nèi)作垂直于支架的橫向振動(dòng),忽略艙內(nèi)支架的剪切變形和繞中軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響,將支架模型化為兩端簡(jiǎn)支的歐拉梁,將減振系統(tǒng)模型化為若干個(gè)阻尼彈簧振子,此時(shí)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)度為l的簡(jiǎn)支歐拉梁,在xi(i=1,2,…,h)處與h個(gè)阻尼彈簧振子相連而構(gòu)成的混合系統(tǒng),系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 等效歐拉梁混合系統(tǒng)示意圖Fig.2 Euler beam hybrid system sketch map

1.1 混合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

單獨(dú)考慮阻尼彈簧振子系統(tǒng)或歐拉梁振動(dòng)問(wèn)題均已形成了經(jīng)典理論,由歐拉梁理論的假設(shè)可知梁中心的平剖面在變形后仍為平面而且仍與軸線垂直,由于梁的橫向位移僅在與彈簧振子系統(tǒng)連接處產(chǎn)生彈性力和阻尼力,利用δ函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合受力分析將兩者的運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)系起來(lái),可得歐拉梁的振動(dòng)方程為

(1)

h個(gè)阻尼彈簧振子的振動(dòng)方程為

(2)

且式(1)中

(3)

1.2 平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下混合系統(tǒng)響應(yīng)分析

飛行器所承受的振動(dòng)激勵(lì)大多呈現(xiàn)隨機(jī)性,所以要想確定性求解模型的響應(yīng)十分困難,但可以依據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論求解出響應(yīng)過(guò)程的數(shù)字特征[13-14]。假設(shè)飛行器處于平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)條件下,首先對(duì)上述模型進(jìn)行無(wú)量綱化,利用分離變量法和Green函數(shù)法[15-16]求解微分方程,得到無(wú)阻尼自由振動(dòng)條件下的各階固有頻率和振型。

根據(jù)文獻(xiàn)[17-19]的推導(dǎo),混合系統(tǒng)中歐拉梁的響應(yīng)為

(4)

阻尼彈簧振子的響應(yīng)為

YT(xi)Aia(t),Ai=diag[Bin]

(5)

式中,y(x,t)表示歐拉梁各點(diǎn)隨時(shí)間的響應(yīng);yi(t)表示混合系統(tǒng)中振子隨時(shí)間的響應(yīng);Yn(x)表示混合系統(tǒng)的n個(gè)固有振型;Bin表示梁位移和彈簧振子位移之間的關(guān)系;Ai表示由Bin生成的對(duì)角陣;αn(t)表示待求解的模態(tài)響應(yīng)。

不失一般性地認(rèn)為混合系統(tǒng)阻尼為非經(jīng)典阻尼,采用復(fù)模態(tài)方法[20-21],對(duì)未求解的αn(t)進(jìn)行復(fù)模態(tài)變換,利用系統(tǒng)特征方程可求得2N個(gè)共軛成對(duì)出現(xiàn)的特征值和特征向量,其中由特征向量構(gòu)成的模態(tài)矩陣記為u,進(jìn)而求得混合系統(tǒng)復(fù)模態(tài)響應(yīng)z的協(xié)方差函數(shù)矩陣Cz(t),并根據(jù)αn(t)與z的復(fù)模態(tài)變換關(guān)系,得到未求解的αn(t)的協(xié)方差函數(shù)矩陣為

(6)

進(jìn)而可得到混合系統(tǒng)中各彈簧振子的質(zhì)量塊響應(yīng)的協(xié)方差函數(shù)為

Cyiyj(τ)=YT(xi)AiCα(τ)AjY(xj)

(7)

利用線性系統(tǒng)的可加性,可以將h個(gè)彈簧振子系統(tǒng)等效為一個(gè),并令τ=0,則得到質(zhì)量塊響應(yīng)的方差為

Vary1y1=YT(x1)A1Cα(0)A1Y(x1)

(8)

2 對(duì)外桿臂誤差補(bǔ)償影響機(jī)理分析

2.1 加速度外桿臂誤差原理

由于假設(shè)慣導(dǎo)本體內(nèi)部呈現(xiàn)絕對(duì)剛性,其內(nèi)部各慣性元件不會(huì)受到減振系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)環(huán)境影響,因此忽略內(nèi)桿臂誤差,所有慣性測(cè)量元件均作為“點(diǎn)測(cè)量組件”安裝于慣導(dǎo)本體的質(zhì)心,但飛行器質(zhì)心與慣導(dǎo)本體質(zhì)心并不重合,當(dāng)飛行器存在角運(yùn)動(dòng)時(shí),在兩質(zhì)心位置測(cè)量值換算過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)外桿臂誤差,其基本原理如圖3所示[22]。

圖3 外桿臂效應(yīng)誤差原理示意圖Fig.3 External lever arm effect sketch map

圖中,Oi和Ob分別為慣性坐標(biāo)系和飛行器載體坐標(biāo)系中心,P為捷聯(lián)慣導(dǎo)本體質(zhì)心,rp為外桿臂,ωib為載體角速度。

在圖3所示的位置情況下,當(dāng)飛行器出現(xiàn)角運(yùn)動(dòng)時(shí),根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理,加速度計(jì)位置的比力和飛行器質(zhì)心處的比力關(guān)系為

(9)

式中,αp表示加速度計(jì)位置處比力;ab表示飛行器質(zhì)心處比力。兩者的差值即為外桿臂誤差Δa:

(10)

2.2 動(dòng)環(huán)境對(duì)外桿臂誤差補(bǔ)償?shù)挠绊?/h3>

結(jié)合第1節(jié)中歐拉梁混合系統(tǒng)模型,可以看到在動(dòng)態(tài)環(huán)境下,由于飛行器持續(xù)受到外部激勵(lì)的作用,捷聯(lián)慣導(dǎo)本體也將持續(xù)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)響應(yīng),即本體質(zhì)心P始終處于變化中,外桿臂rp也不再為確定性矢量,則此時(shí)誤差應(yīng)表示為

(11)

式中,Δr為外桿臂變化量。

歐拉梁混合系統(tǒng)模型僅分析了機(jī)體坐標(biāo)系Zb方向的一維動(dòng)態(tài)響應(yīng),在此條件下外桿臂rp的變化如圖4所示。

圖4 外桿臂長(zhǎng)度變化示意圖Fig.4 Change of external lever arm sketch map

可以看到在動(dòng)態(tài)環(huán)境中,外桿臂由確定性矢量變成了“一簇”變量,不失一般性地認(rèn)為外桿臂矢量應(yīng)遵守混合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)方向且圍繞靜態(tài)條件下常值發(fā)生變化,即

(12)

由式(8)可得外桿臂變量的方差為

Var(Δr)=YT(x1)A1Cα(0)A1Y(x1)

(13)

結(jié)合方差的性質(zhì),可得

(14)

3 仿真算例

設(shè)飛行器艙內(nèi)安裝的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)等效于簡(jiǎn)支歐拉梁與阻尼彈簧振子相連的混合系統(tǒng)模型,本體等效于阻尼彈簧振子系統(tǒng)質(zhì)量塊,該模型各參數(shù)在無(wú)量綱化后如表1所示,并將系統(tǒng)外部激勵(lì)理想化為白噪聲。

表1 無(wú)量綱化后模型參數(shù)設(shè)置

根據(jù)前文介紹方法,首先求出混合系統(tǒng)的固有頻率和振型,將模態(tài)截?cái)嗟降?階并采用模態(tài)分析的方法利用式(6)求解出Ca(τ),最終可求得本體動(dòng)態(tài)響應(yīng)的方差為

Vary1y1=0.109 55×10-2

取該方差值為飛行器某一時(shí)刻本體出現(xiàn)的動(dòng)態(tài)響應(yīng),假設(shè)該時(shí)刻飛行器繞Zb軸出現(xiàn)了0.02 rad/s的角運(yùn)動(dòng),結(jié)合某型飛行器的慣導(dǎo)系統(tǒng)具體安裝幾何位置將其代入純慣性制導(dǎo)方式下的理論彈道進(jìn)行仿真飛行,以0.05 s為取樣周期,慣性坐標(biāo)系Xi方向位置解算偏差數(shù)據(jù)結(jié)果如圖5所示。

圖5 位置解算偏差Fig.5 Deviation of position calculating

算例中初始時(shí)刻本體動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)加速度造成的誤差為10-4數(shù)量級(jí),相當(dāng)于在該時(shí)刻對(duì)加速度計(jì)加入了一個(gè)未補(bǔ)償?shù)牧阄黄?。通過(guò)圖示可以看到,在最初代入動(dòng)態(tài)誤差的時(shí)間段內(nèi),計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)理論彈道仍基本吻合,6 s后誤差彈道開(kāi)始圍繞標(biāo)準(zhǔn)理論彈道出現(xiàn)漂移,在19 s左右的時(shí)間造成的Xi方向位置數(shù)據(jù)偏差達(dá)到米級(jí)。需要特別說(shuō)明的是,位置解算的結(jié)果偏差并不代表外桿臂誤差會(huì)隨時(shí)間累積放大,在整個(gè)飛行過(guò)程中,外桿臂誤差仍遵守前文推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,但由于導(dǎo)航解算算法默認(rèn)慣導(dǎo)輸出的數(shù)據(jù)絕對(duì)準(zhǔn)確,一旦引入該測(cè)量誤差仍會(huì)造成相當(dāng)?shù)慕馑闫睢Ｋ憷m然是在理想化外部激勵(lì)條件下進(jìn)行計(jì)算,但足以說(shuō)明如存在長(zhǎng)航時(shí)飛行或飛行器出現(xiàn)急速轉(zhuǎn)彎時(shí),該誤差并不能忽略不計(jì)。

4 結(jié) 論

在線性系統(tǒng)的假設(shè)前提下,艙內(nèi)捷聯(lián)慣導(dǎo)本體可以等效為簡(jiǎn)支歐拉梁與阻尼彈簧振子混合系統(tǒng)計(jì)算其動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

靜態(tài)條件下,作為確定性矢量處理的外桿臂隨混合系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)的隨機(jī)變化,是造成動(dòng)態(tài)環(huán)境下該誤差不能完全補(bǔ)償?shù)闹匾颉?/p>

如果能夠在貼合實(shí)際工況情況下,得到熱、流體、結(jié)構(gòu)耦合的飛行器動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律作為本文模型的輸入,將對(duì)該問(wèn)題的研究大有幫助。同時(shí),研究?jī)H考慮了垂直于支架的橫向振動(dòng)影響,與實(shí)際工況仍有一定的差別,對(duì)該問(wèn)題可以進(jìn)一步考慮捷聯(lián)慣導(dǎo)本體安裝所受到的徑向振動(dòng)和彎曲剪切力,從而等效為桿或者Timoshenko梁混合系統(tǒng)進(jìn)行分析,以期得到多個(gè)加速度計(jì)和陀螺儀敏感軸向上的動(dòng)態(tài)影響。

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