胡志恒, 周 荻, 鄒昕光

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

近幾十年來(lái),導(dǎo)彈制導(dǎo)律的研究取得了許多成果。從經(jīng)典的比例導(dǎo)引律到增廣比例導(dǎo)引律,再到各種現(xiàn)代制導(dǎo)律。導(dǎo)彈制導(dǎo)律的不斷改進(jìn),給導(dǎo)彈規(guī)避方提出了更大的挑戰(zhàn)。單純對(duì)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行觀測(cè)已經(jīng)不能滿足要求,因此產(chǎn)生了識(shí)別制導(dǎo)律的新思路,即利用我方觀測(cè)器對(duì)敵方攔截導(dǎo)彈的外部觀測(cè)數(shù)據(jù),對(duì)敵方攔截導(dǎo)彈的制導(dǎo)律進(jìn)行辨識(shí)和參數(shù)估計(jì)。與傳統(tǒng)的彈道預(yù)報(bào)相比,可以得到對(duì)方攔截導(dǎo)彈未來(lái)加速度的變化規(guī)律,從而建立更精確的運(yùn)動(dòng)模型,對(duì)未來(lái)位置進(jìn)行更精確的預(yù)報(bào),對(duì)于機(jī)動(dòng)突防和反攔截有著重要意義。

制導(dǎo)律辨識(shí)問(wèn)題中,由于制導(dǎo)律的多樣性,識(shí)別問(wèn)題的難點(diǎn)在于構(gòu)造統(tǒng)一的通用數(shù)學(xué)模型,對(duì)制導(dǎo)行為進(jìn)行描述。文獻(xiàn)[1]假設(shè)敵方攔截導(dǎo)彈使用比例導(dǎo)引律,然后以比例導(dǎo)引系數(shù)作為未知量建立觀測(cè)數(shù)據(jù)方程,通過(guò)求解制導(dǎo)控制量方程得到制導(dǎo)律參數(shù)。文獻(xiàn)[2]的仿真結(jié)果表明,對(duì)于未知的制導(dǎo)律同樣可以假設(shè)為比例導(dǎo)引律,通過(guò)調(diào)整比例導(dǎo)引系數(shù)擬合任意未知的制導(dǎo)律。為了濾除測(cè)量噪聲對(duì)識(shí)別結(jié)果造成的影響,用取均值的簡(jiǎn)易濾波方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,提高了識(shí)別結(jié)果的精確度和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[3]令觀測(cè)方進(jìn)行某種機(jī)動(dòng),通過(guò)參照模型庫(kù)辨識(shí)大氣層外攔截器的導(dǎo)航比。文獻(xiàn)[4]采用交互多模型(interacting multiple model, IMM)思想,基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)算法和CV、CJ、CA模型,實(shí)現(xiàn)對(duì)來(lái)襲導(dǎo)彈的狀態(tài)估計(jì)。文獻(xiàn)[5]通過(guò)線性化導(dǎo)引律方程,利用多模型自適應(yīng)估計(jì)(multiple model adaptive estimation, MMAE)思想,實(shí)現(xiàn)了二維平面內(nèi)的導(dǎo)引律辨識(shí)。文獻(xiàn)[6]采用無(wú)跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)方法和MMAE方法,設(shè)計(jì)了導(dǎo)彈的導(dǎo)引律及參數(shù)辨識(shí)器,在三維坐標(biāo)內(nèi)實(shí)現(xiàn)了對(duì)多種制導(dǎo)律及參數(shù)的辨識(shí)。文獻(xiàn)[7]從決策的角度研究了攔截末端導(dǎo)彈導(dǎo)引律的辨識(shí)問(wèn)題,文獻(xiàn)[8]研究了自動(dòng)尋的導(dǎo)彈三自由度攔截的導(dǎo)彈導(dǎo)引律辨識(shí)問(wèn)題。

在實(shí)際應(yīng)用中,制導(dǎo)律通常采用零化視線角速率的思想,其都可以等效為不同導(dǎo)航系數(shù)的比例導(dǎo)引律。因此,用比例導(dǎo)引律作為制導(dǎo)律的模型,把制導(dǎo)律辨識(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比例導(dǎo)引律的參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題。

系統(tǒng)的可觀性是濾波器設(shè)計(jì)的理論前提,但是在前述制導(dǎo)律辨識(shí)的研究中并沒(méi)有對(duì)該問(wèn)題從理論上給出嚴(yán)格的證明。

非線性系統(tǒng)的可觀性問(wèn)題比較復(fù)雜,通常的做法是將其局部線性化,然后利用線性系統(tǒng)的可觀性理論進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[9]對(duì)非線性系統(tǒng)可觀性理論的發(fā)展做了詳細(xì)的介紹;文獻(xiàn)[10]利用微分幾何理論,提出了“局部弱可觀”概念,為非線性系統(tǒng)可觀性理論分析做出了重大貢獻(xiàn)。

彈道預(yù)報(bào)主要分為兩個(gè)問(wèn)題:通過(guò)濾波估計(jì)目標(biāo)的位置和速度,提高濾波的精度,為預(yù)報(bào)提供準(zhǔn)確的初值;為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)建立準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)模型,得到準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)結(jié)果。

目前關(guān)于彈道預(yù)報(bào)問(wèn)題也已經(jīng)有了不少研究,但是研究對(duì)象多為彈道導(dǎo)彈。文獻(xiàn)[11]使用基于當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型和UKF進(jìn)行估計(jì),然后用修正的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行預(yù)報(bào)。文獻(xiàn)[12]使用基于IMM算法的UKF算法估計(jì)彈道系數(shù)。

傳統(tǒng)的彈道導(dǎo)彈在大氣層外時(shí)做慣性運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入大氣層后主要受氣動(dòng)力作用，故其運(yùn)動(dòng)模型容易建立。當(dāng)預(yù)測(cè)目標(biāo)有主動(dòng)機(jī)動(dòng)時(shí),模型建立比較困難。而本文研究的內(nèi)容中,預(yù)測(cè)目標(biāo)的加速度受到制導(dǎo)律約束。因此,用待定制導(dǎo)系數(shù)的比例導(dǎo)引律擬合預(yù)測(cè)目標(biāo)的制導(dǎo)律,可以得到未來(lái)加速度的變化規(guī)律,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)未來(lái)軌跡更精確的估計(jì)。

1 問(wèn)題描述

考慮三維平面內(nèi)導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的問(wèn)題。在本文研究的問(wèn)題中,導(dǎo)彈是敵方,目標(biāo)是我方。建立坐標(biāo)系如圖1所示,我方慣性坐標(biāo)系Txyz,原點(diǎn)T為我方初始位置,Tx軸指向敵方初始位置,Ty軸鉛垂向上,Tz軸由右手定則確定；敵方慣性坐標(biāo)系Mxyz,原點(diǎn)M為敵方初始位置,Mx軸指向我方初始位置,My軸鉛垂向上,Mz軸由右手定則確定。為處理敵方導(dǎo)彈制導(dǎo)律,建立敵方的視線坐標(biāo)系Mxsyszs,原點(diǎn)M為敵方位置,Mxs軸指向我方,即敵方的視線方向,Mys軸在鉛垂平面內(nèi)垂直于視線指向上,Mzs軸由右手定則確定。由敵方的慣性坐標(biāo)系和視線坐標(biāo)系可以定義兩個(gè)視線角qε、qβ。

圖1 坐標(biāo)系關(guān)系圖Fig.1 Relation of coordinates

將系統(tǒng)狀態(tài)變量取為

式中,rx、ry、rz為目標(biāo)-導(dǎo)彈位置在我方慣性系下的分量;vx、vy、vz為目標(biāo)-導(dǎo)彈速度在我方慣性系下的分量;axm、aym、azm為導(dǎo)彈的制導(dǎo)加速度在我方慣性系下的分量;Ny、Nz為導(dǎo)彈俯仰、偏航兩通道的制導(dǎo)系數(shù)。則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(1)

式中,axt、ayt、azt為目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度在我方慣性系下的分量;uxm、uym、uzm為導(dǎo)彈制導(dǎo)指令在我方慣性系下的分量;τ是導(dǎo)彈動(dòng)態(tài)特性的時(shí)間常數(shù)。

按照比例導(dǎo)引律,視線系下導(dǎo)彈的制導(dǎo)指令為

(2)

式中,r、qε、qβ分別是目標(biāo)-導(dǎo)彈的相對(duì)距離和俯仰、偏航視線角。

為簡(jiǎn)化方程形式,對(duì)制導(dǎo)律進(jìn)行解耦。在俯仰平面內(nèi),比例導(dǎo)引律的制導(dǎo)指令在視線系下為

(3)

式中

由視線系到我方慣性系的轉(zhuǎn)換矩陣為

(4)

式中

于是導(dǎo)彈加速度指令在我方慣性系下為

(5)

類似地,得到偏航平面

(6)

代入式(1)得到完整的狀態(tài)方程表達(dá)式。

目前,在對(duì)敵方防空反導(dǎo)導(dǎo)彈的近程探測(cè)預(yù)警系統(tǒng)中,被動(dòng)探測(cè)方式依然是主流,但是隨著激光雷達(dá)的發(fā)展,主動(dòng)探測(cè)方法也變得可行。

激光雷達(dá)是傳統(tǒng)雷達(dá)技術(shù)與現(xiàn)代激光技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物,具有分辨率高、體積小、簡(jiǎn)單方便等優(yōu)點(diǎn)。將新興的激光雷達(dá)技術(shù)與業(yè)已成熟的被動(dòng)紅外探測(cè)技術(shù)相結(jié)合,綜合利用紅外技術(shù)優(yōu)秀的目標(biāo)方位、俯仰參數(shù)測(cè)量能力以及激光雷達(dá)精確的距離測(cè)量能力,可以更加準(zhǔn)確測(cè)量可疑飛行器的飛行方向、距離和速度參數(shù)[13],未來(lái)可以應(yīng)用于大氣層外攔截導(dǎo)彈動(dòng)能攔截器。

(7)

2 制導(dǎo)律辨識(shí)問(wèn)題的可觀性分析

非線性系統(tǒng)的可觀性比線性系統(tǒng)復(fù)雜得多。文獻(xiàn)[10]利用微分幾何方法研究了非線性系統(tǒng)的局部弱能觀性。

已知非線性系統(tǒng)為

這里假設(shè)X是連通的n維C∞流形。F表示由f(x,u*)(u*是任意常數(shù))生成的最小對(duì)合分布。h=[h1,…,hr]T,hi都是C∞類的。H是包含h1,…,hr且關(guān)于F的微分不變的最小函數(shù)空間,dH是它在X上的余分布,dH關(guān)于F也是不變的。

定義1[9]對(duì)于x0,當(dāng)x1≠x0時(shí),總有u(t)和T>0,使得在0≤t≤T時(shí),y(t,x0,u(t))≠y(t,x1,u(t)),則稱系統(tǒng)在x0處是可觀的。如果對(duì)于一切x∈X都成立,則稱系統(tǒng)是可觀的。

定義2[9]存在x0的鄰域U,任給x0的鄰域V?U,當(dāng)x1∈V,x1≠x0時(shí),總有u(t)和T>0,使得在0≤t≤T時(shí),x(t,x0,u(t))?V,x(t,x1,u(t))?V,且y(t,x0,u(t))≠y(t,x1,u(t)),則稱系統(tǒng)在x0處是局部弱可觀的。如果對(duì)于一切x∈X都成立,則稱系統(tǒng)是局部弱可觀的。

已知x0∈X,如果dim dH(x0)=n,那么系統(tǒng)在x0處是局部弱可觀的。如果對(duì)于一切x∈X都成立,那么系統(tǒng)是局部弱可觀的[9]。

將系統(tǒng)(1)寫(xiě)成一般形式

(8)

沒(méi)有外部輸入,所以易得

F=span{f(x)}

(9)

定義導(dǎo)數(shù)為

記

則

h01(x)=rx

h02(x)=ry

h03(x)=rz

h11(x)=Lf(x)h01(x)=Lf(x)rx=vx

h12(x)=Lf(x)h02(x)=Lf(x)ry=vy

h13(x)=Lf(x)h03(x)=Lf(x)rz=vz

h21(x)=Lf(x)h11(x)=Lf(x)vx=axt-axm

h22(x)=Lf(x)h12(x)=Lf(x)vy=ayt-aym

h23(x)=Lf(x)h13(x)=Lf(x)vz=azt-azm

h31(x)=Lf(x)h21(x)=-(uxm-axm)/τ

h32(x)=Lf(x)h22(x)=-(uym-aym)/τ

h33(x)=Lf(x)h23(x)=-(uzm-azm)/τ

?

h10,3(x)=Lf(x)h93(x)=…

H為以上向量張成的函數(shù)空間,即

H=span{rx,ry,rz,vx,vy,vz,axt-axm,axt-aym,azt-azm,

-(uxm-axm)/τ,-(uym-aym)/τ,-(uzm-azm)/τ,…}

將以上各項(xiàng)分別對(duì)各狀態(tài)變量求偏導(dǎo),生成的函數(shù)空間即為dH。將函數(shù)空間的維度改寫(xiě)成矩陣的秩,因此局部弱可觀條件變成

(10)

式中,?um/?r是控制量um對(duì)于相對(duì)距離的偏導(dǎo)數(shù)矩陣;?um/?v是控制量um對(duì)于相對(duì)速度的偏導(dǎo)數(shù)矩陣;?um/?Ny、?um/?Nz是控制量um對(duì)于導(dǎo)航比Ny、Nz的偏導(dǎo)數(shù)。

仿照線性系統(tǒng)可觀性理論,可以把式(10)中的矩陣看作非線性系統(tǒng)的可觀性矩陣。

如果?um/?N≠0,那么就可以得到可觀性矩陣滿秩,系統(tǒng)可觀。在這里忽略坐標(biāo)系偏差,近似認(rèn)為在比例導(dǎo)引律中

(11)

因而

(12)

(13)

不滿秩。

這一點(diǎn)結(jié)合實(shí)際情景也很容易說(shuō)明?？刂浦噶顬?就相當(dāng)于制導(dǎo)律沒(méi)有起作用,自然無(wú)法觀測(cè)制導(dǎo)系數(shù)。

3 濾波器設(shè)計(jì)

設(shè)系統(tǒng)的非線性模型為

(14)

式中,X(t)是系統(tǒng)的狀態(tài)變量;Z(t)是測(cè)量量;W(t)是干擾;V(t)是測(cè)量噪聲。

根據(jù)泰勒公式,有

(15)

忽略二次項(xiàng)以后,系統(tǒng)可離散為

(16)

式中,F(X(k))是f(X(k))的Jacobi矩陣。

因此對(duì)應(yīng)的EKF算法為

(17)

其中

(18)

(19)

Q是狀態(tài)轉(zhuǎn)移預(yù)測(cè)過(guò)程中的處理噪聲協(xié)方差矩陣。制導(dǎo)律解耦對(duì)x軸方向造成的誤差更大,故令vx、ax的分量大一些。為使制導(dǎo)系數(shù)收斂得更快,令Ny、Nz的分量大一些,令Q=diag(10,10,10,50,10,10,50,10,10,1,1),R是觀測(cè)值噪聲的協(xié)方差矩陣。這里測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)為3 m,故取R=diag(9,9,9)。

4 彈道預(yù)報(bào)

4.1 預(yù)處理

通過(guò)卡爾曼濾波獲得的估計(jì)值往往帶有一定的誤差,測(cè)量誤差的影響會(huì)使得估計(jì)結(jié)果出現(xiàn)抖動(dòng)的現(xiàn)象,如果直接用濾波器獲得的結(jié)果進(jìn)行預(yù)報(bào),必然會(huì)帶來(lái)很大誤差,因此有必要將濾波結(jié)果進(jìn)行必要的平滑處理。

(20)

由于濾波器初值選取存在誤差,濾波結(jié)果收斂到真值需要一定時(shí)間。因此需要結(jié)果收斂的指標(biāo),當(dāng)濾波數(shù)據(jù)達(dá)到要求后,便可利用數(shù)據(jù)進(jìn)行彈道預(yù)報(bào)工作。

對(duì)于濾波產(chǎn)生的若干個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,…,從第i個(gè)數(shù)據(jù)xi開(kāi)始,順次選取N個(gè)數(shù)據(jù),給定波動(dòng)上界ε,若這N個(gè)數(shù)據(jù)中的最大值xmax和最小值xmin滿足xmax-xmin<ε,則認(rèn)為數(shù)據(jù)收斂,用xi+N-1進(jìn)行計(jì)算;否則,從i+1開(kāi)始重新選取數(shù)據(jù)。

4.2 預(yù)報(bào)方程

通過(guò)濾波獲得對(duì)方制導(dǎo)律參數(shù)和位置速度信息后,便可通過(guò)求解微分方程進(jìn)行彈道預(yù)報(bào)。

5 仿真

5.1 制導(dǎo)律辨識(shí)

以雷達(dá)對(duì)相對(duì)位置和相對(duì)速度的測(cè)量值作為濾波器的初值,有一定的誤差,根據(jù)誤差的大小設(shè)定濾波器的參數(shù)P。敵方加速度初值可取0,制導(dǎo)系數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可取2。導(dǎo)彈動(dòng)態(tài)特性的時(shí)間常數(shù)τ可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取,這里取0.015,實(shí)際上,這個(gè)值對(duì)仿真結(jié)果影響很小。敵方導(dǎo)彈可以按照比例導(dǎo)引律順利攔截我方飛行器。慣性系下相遇過(guò)程雙方彈道如圖2所示。

圖2 相遇過(guò)程雙方彈道Fig.2 Trajectories of Engagement

相對(duì)距離、相對(duì)速度、攔截導(dǎo)彈加速度的真實(shí)值和濾波器估計(jì)值如圖3～圖5所示。其中,圖5還描述了攔截導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)情況。

圖3 相對(duì)距離的真實(shí)值和估計(jì)值Fig.3 Estimate and actual range

由圖3～圖5可知,通過(guò)調(diào)整濾波器的各項(xiàng)參數(shù),濾波器對(duì)各項(xiàng)參數(shù)的估計(jì)效果均能滿足要求。由于測(cè)量誤差的存在,對(duì)加速度的估計(jì)結(jié)果抖動(dòng)現(xiàn)象會(huì)比較明顯。

圖4 相對(duì)速度的真實(shí)值和估計(jì)值Fig.4 Estimate and actual range rate

圖5 攔截導(dǎo)彈加速度的真實(shí)值和估計(jì)值Fig.5 Estimate and actual interceptor acceleration

制導(dǎo)系數(shù)估計(jì)值隨時(shí)間的變化情況，如圖6所示。

圖6 制導(dǎo)系數(shù)估計(jì)值Fig.6 Estimate guidance coefficient

由圖6可知,通過(guò)調(diào)整濾波器參數(shù),制導(dǎo)系數(shù)的估計(jì)效果可以滿足要求。經(jīng)過(guò)平滑處理后,濾波結(jié)果可以在1 s左右到達(dá)真值附近。

5.2 彈道預(yù)報(bào)

根據(jù)前面所述方法對(duì)濾波所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。取M=200,N=30,ε=0.1。處理之后系統(tǒng)認(rèn)為在1.36 s時(shí)數(shù)據(jù)可以用來(lái)預(yù)報(bào)。攔截導(dǎo)彈彈道預(yù)報(bào)的誤差[exeyez]T如圖7所示。未來(lái)10 s后,即11.36 s時(shí)的位置預(yù)報(bào)結(jié)果誤差為[-2.861 0.515 -0.179]Tm,算法平均所用時(shí)間為0.045 599 s。

圖7 彈道預(yù)報(bào)誤差Fig.7 Error of trajectory prediction

在敵方導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,x軸加速度不大,近似于勻速運(yùn)動(dòng)。所以初始速度一旦出現(xiàn)偏差,它的影響就會(huì)一直存在。而y軸和z軸,因?yàn)轭A(yù)報(bào)模型中有制導(dǎo)律的作用,所以即使初值有誤差,預(yù)報(bào)位置也會(huì)有向攔截目標(biāo)位置接近的趨勢(shì)。這使得即使中間過(guò)程誤差比較大,最終的攔截點(diǎn)也會(huì)和真值比較接近。而制導(dǎo)律中的參數(shù),即制導(dǎo)系數(shù),與真值越接近,整條預(yù)報(bào)彈道與真值也就越接近。由此可見(jiàn),預(yù)報(bào)初值的精度和制導(dǎo)律參數(shù)辨識(shí)的精度對(duì)最后彈道預(yù)報(bào)的精度影響較大。

6 結(jié) 論

以上理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)說(shuō)明,在視線角速率不為0的條件下,通過(guò)EKF方法可以估計(jì)比例導(dǎo)引律的制導(dǎo)系數(shù),收斂速度和最終精度都能滿足要求。以濾波器的估計(jì)結(jié)果為預(yù)報(bào)初值,進(jìn)一步可以對(duì)攔截導(dǎo)彈未來(lái)的位置進(jìn)行預(yù)報(bào),滿足一定的精度和速度要求,對(duì)我方飛行器規(guī)避敵方的攔截具有一定意義。

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