陳覃霞，劉 盾+，梁德翠

1.西南交通大學 經(jīng)濟管理學院，成都 610031

2.電子科技大學 經(jīng)濟與管理學院，成都 610054

1 引言

權重問題一直以來是多屬性決策問題研究的一個熱點。權重設置的合理性直接影響到?jīng)Q策的質(zhì)量和可靠性。在大多管理問題中，權重的設定主要來自于主觀的人為設定，常見的有主觀經(jīng)驗法、主次指標排隊分類法、專家調(diào)查法等。就定性分析而言，人們常常在群決策過程中使用頭腦風暴法（Delphi法）；就定量分析而言，常見的有線性分配法、簡單加權法、層次分析法（analytic hierarchy process，AHP）、TOPSIS（technique for order preference by similarity to an ideal solution）法、ELECTRE法、PROMETHEE法等。在上述眾多方法中，AHP是權重獲取的一種重要方法，它通過將復雜問題分解成遞階層次結構，并利用判斷矩陣來比較各因素的重要性，并在眾多工程、信息、管理問題中得到成功應用[1-3]。

隨著信息社會的飛速發(fā)展，大數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出的體積大、結構復雜、低價值密度和實時性等特征也對傳統(tǒng)決策理論帶來巨大挑戰(zhàn)。只考慮人為因素，不關注數(shù)據(jù)本身的特征和結構已不能夠解決實際決策問題。從權重問題出發(fā)，主觀和客觀兼顧、人機結合的權重獲取策略已成為多屬性決策領域的主流研究方向之一[4]。就客觀權重而言，Pawlak教授1982年提出的粗糙集理論（rough set theory）是一種新興的處理模糊和不確定性知識的數(shù)學工具[5]，它利用在決策表中保持系統(tǒng)某種分類能力不變的思想，通過屬性約簡來獲取屬性的客觀權重。由于粗糙集屬性約簡過程完全基于數(shù)據(jù)驅(qū)動，不需要任何先驗信息，一經(jīng)問世就在決策分析、機器學習、數(shù)據(jù)挖掘與模式識別等領域得到廣泛應用[6-8]。此外，在粗糙集與其他決策方法的融合研究中，丁曉琴和張德生提出了基于主觀AHP和客觀CRITIC的綜合賦權方法[9]；程平和劉偉將主客觀權重確定方法應用到多屬性群決策問題中[10]；張文宇等人利用AHP方法和粗糙集理論獲取主客觀集成權重[11]；金菊良等人提出了一種直接根據(jù)單指標相對隸屬度的模糊評價矩陣，構造層次分析法中判斷矩陣，來獲取屬性權重的方法[12]。劉盾等人給出了一種基于粗糙集理論的多屬性決策權重構造模型[13]，并進一步考慮了一種粗糙集與信息熵融合的客觀權重獲取方法[14]。

基于上述分析，本文將粗糙集理論和信息熵引入到AHP方法中，提出了一種同時考慮主觀和客觀權重的AHP改進方法。首先，通過粗糙集理論和信息熵構造3種屬性重要度，并以此來計算屬性的客觀權重；其次，利用客觀權重對AHP主觀判斷矩陣進行修正，提出基于主觀和客觀的權重構造判斷矩陣方法步驟；最后，通過對大眾點評美食推薦的實證研究，對比不同權重獲取方法，驗證了本文方法的有效性和可行性。

2 預備知識

本文首先對粗糙集理論和信息熵等基本概念進行簡要回顧[5]。在粗糙集理論中，數(shù)據(jù)集一般采用信息表或者信息系統(tǒng)的形式來表達，它可以用四元組來表示。

定義1（信息系統(tǒng)）假設S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng)，其中U表示對象的非空有限集合，即論域；A代表屬性全體；是屬性值的集合；f:U×A→V是一個信息函數(shù)，它為每個對象的每個屬性賦予一個信息值，即：?a∈A，x∈U，f(x,a)∈Va。

定義2（不可分辨關系）對于一個論域U，C是條件屬性集，D是決策屬性集，R是U上的一個等價關系，U/R表示R的所有等價類構成的集合，[x]R表示包含元素x∈U的R的所有等價類。對于每個屬性子集P?C，可定義一個不可分辨關系RP={(x,y)∈U×U:f(x,a)=f(y,a),a∈P}。

在定義2中，不可分辨關系是粗糙集理論中的一個重要概念。在信息系統(tǒng)中，每一個不可分辨關系定義一個等價關系。

定義3（上下近似集）假設S=(U,A,V,f)是一個信息系統(tǒng)，R是S上的一個等價關系，對于每個子集X?U，定義X的R上近似集和R下近似集分別為：

定義4（正域約簡和核）假設S=(U,A,V,f)，C和D分別為屬性集A中的條件屬性和決策屬性，則D的C正域可以記為如果一個獨立子集B?C，對 ?a∈C，有POSB(D)=POSC(D)，POSB-{a}(D)≠POSC(D)，則稱B為一個C的D正域約簡，記C的所有D約簡關系為redD(C)，則C的所有D約簡集的交為C的D核，記coreD(C)=?redD(C)。

定義5（信息熵）假設U是一個論域，P是U上的一個知識，且U/P={X1,X2,…,Xn}，則知識P的概率分布定義為：

其中，p(Xi)=|Xi|/|U|，1≤i≤n，則知識P的熵定義為

信息熵是總體不確定性的一個度量，一個系統(tǒng)的不確定性程度越小，則其信息熵就越小；反之，系統(tǒng)的不確定性程度越大，則其信息熵就越大。

定義6（條件熵）假設P和Q是U上的兩個知識劃分，U/P={X1,X2,…,Xn}，U/Q={Y1,Y2,…,Ym}，則知識Q相對于知識P的條件熵定義為：

3 主觀和客觀屬性權重集結方法

3.1 AHP權重構造方法

AHP方法是20世紀70年代中期美國著名運籌學家Saaty教授提出的一種定性和定量相結合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。其主要思想是把一個復雜的決策問題表示為一個有序的遞階層次結構，通過各層次中準則（判斷矩陣）對于目標中各指標權重進行求解，最終對決策方案的優(yōu)劣進行排序。利用AHP方法構造權重的一般步驟為：建立遞階層次結構模型，構造準則層和指標層的比較判斷矩陣、層次單排序和層次總排序。其中，在構造各層次之間的判斷矩陣時，需要判斷其一致性。即需要計算每一個判斷矩陣的最大特征根λmax、一致性指標CI=(λmax-n)/(n-1)和隨機一致性指標CR=CI/RI。當CR＜0.1時，即認為判斷矩陣具有滿意的一致性；否則，需要調(diào)整判斷矩陣，使之具有滿意的一致性。

3.2 客觀權重構造方法

對于客觀權重構造部分，本文從粗糙集和信息熵出發(fā)，依次來構造屬性的客觀權重。就粗糙集理論而言，主要考慮正域約簡對屬性權重的影響；而在信息熵中，主要考慮信息增益對屬性權重的影響。具體如下：

（1）基于粗糙集理論的客觀權重構造方法

考慮到不同條件屬性對決策系統(tǒng)的分類能力不同，其重要程度也是不同的。利用粗糙集來構造客觀權重的核心思想為：若去掉某個屬性后系統(tǒng)分類變化越大，則該屬性的重要性越大。這里定義兩個重要度來刻畫屬性的分類能力，δ重要度和ξ重要度。δ重要度通過定義7中正域約簡來構造；ξ重要度通過定義8中屬性占約簡個數(shù)比例來構造。

定義7（δ重要度）對于一個論域U，C和D分別為條件屬性和決策屬性，記γC(D)=|POSC(D)|/||U。對?a∈C，屬性a關于D的重要度定義為δCD(a)=γC(D)-γC-{a}(D)。δCD(a)越大，說明屬性a越重要，則該屬性的權重也越大。

定義8（ξ重要度）假設一個信息系統(tǒng)S=(U,A,V,f),Bk(k=1,2,…,r)為所有劃分約簡集，對?a∈C，記屬性a的重要度k=1,2,…,r。ξa越大，說明屬性a在所有約簡集中出現(xiàn)的次數(shù)越多，它對信息系統(tǒng)的重要程度應該越大，則其權重也就越大。

對于定義7和定義8中的屬性重要度，本文主要采用Rosetta軟件中基于遺傳算法的屬性約簡算法獲取實驗所需的約簡集。Rosetta是一款適用性廣泛的粗糙集算法軟件和實驗平臺，它提供了多種數(shù)據(jù)預處理功能，如決策表的補齊、離散化、屬性約簡和規(guī)則提取等。文獻[15]列出了該遺傳算法的基本思想：

其基本算法思路可由下面步驟概括：

步驟1隨機初始化種群。

步驟2對種群進行適應度評估。

步驟3執(zhí)行選擇、交叉、變異、倒位、重組操作。

步驟4對新的種群進行適應度評估。

步驟5若滿足終止條件則停止，否則轉步驟3。

（2）基于信息熵理論的客觀權重構造方法

作為條件信息熵的一種重要擴展，信息增益是決策樹ID3算法的核心概念，其大小是人們構造決策樹節(jié)點屬性的判斷依據(jù)[16]?？紤]到某屬性的信息增益越大，其對論域中對象的區(qū)分度就越大，對信息系統(tǒng)的重要性也就越大。因此，信息增益可以一定程度反映屬性的重要程度。定義9將其作為屬性客觀權重的一種構造方法。

定義9（基于信息增益的屬性重要度）假設一個信息系統(tǒng)S=(U,A,V,f)，C是條件屬性，D是決策屬性，對 ?a∈C，記屬性a的重要度ga=H(D)-H(D|a)。ga越大，表示屬性a對信息系統(tǒng)的重要性越大，則其權重也應越大。

根據(jù)定義7～定義9，提出一種基于粗糙集和信息熵結合的客觀權重確定方法。對?a∈C，它主要包括以下5個步驟：

步驟1根據(jù)定義7，計算屬性a的δ重要度，并進行歸一化處理，得

步驟2根據(jù)定義8，計算屬性a的ξ重要度，并進行歸一化處理，得

步驟3根據(jù)定義9，計算屬性a的g重要度，并進行歸一化處理，得

步驟4計算客觀權重特別地，當λ=1/3，μ=1/3

步驟5將得到的客觀權重進行歸一化處理，即

3.3 一種改進的AHP權重構造方法

在多屬性決策問題中，權重確定方法一般分為主觀賦權法和客觀賦權法。一方面，AHP方法是一種常見的主觀賦權方法，其核心思想是根據(jù)專家自身經(jīng)驗對指標的判斷矩陣進行打分，從而獲取屬性權重。該方法具有一定的主觀偏好性且沒有考慮屬性的冗余性。另一方面，基于粗糙集理論和信息熵的客觀賦權法，雖然基于數(shù)據(jù)驅(qū)動且避免人為主觀性，但得到的屬性權重只與數(shù)據(jù)本身相關，未能考慮決策問題本身的應用背景和實際語義。

基于上述分析可以發(fā)現(xiàn)，僅從主觀或客觀單一視角來構造屬性權重存在各自的不足。因此，本節(jié)提出一種改進的AHP權重獲取方法，它通過基于數(shù)據(jù)驅(qū)動得到客觀集成權重，來修正已有AHP的主觀判斷矩陣。假設一個信息系統(tǒng)S=(U,A,V,f)，條件屬性C={c1,c2,…,cn}，決策屬性D=0yaykck，具體步驟如下：

步驟1構造準則層判斷矩陣，計算準則層權重。依照AHP方法，由專家根據(jù)自身經(jīng)驗對準則層進行兩兩比較，按照1～9標度法對其進行打分，得到判斷矩陣，并計算準則層權重。

步驟2計算客觀權重。按照3.2節(jié)步驟4提出的客觀權重構造方法，對每個條件屬性c∈C，計算c的客觀權重，得到

步驟3建立新的AHP標度。對?c∈C，令計算屬性間的最大差值Δ=建立與1～9標度一致的新的AHP標度。具體計算過程如表1所示。

Table 1 Scale ofAHP method表1 AHP的1～9標度

步驟4構造新的判斷矩陣。根據(jù)各屬性的客觀權重和AHP標度，比較屬性間的重要性程度，構造改進后的判斷矩陣。其中，屬性間的重要性程度cij的計算公式為：

步驟5一致性檢驗。根據(jù)步驟4中得到的判斷矩陣，計算每個屬性的權重wci′，并進行一致性檢驗。

步驟6根據(jù)步驟1中得到的準則層的判斷矩陣和步驟5中得到的指標層的判斷矩陣，計算相應的主客觀集成權重，并得到權重的最終排序。

4 實證分析

為了驗證本文方法的有效性和可行性，以大眾點評的美食推薦問題來進行實證分析。隨著互聯(lián)網(wǎng)和移動電商的普及，大眾點評、美團網(wǎng)、糯米網(wǎng)、拉手網(wǎng)等已成為人們外出購買團購就餐的重要選擇，餐飲團購也逐漸融入人們?nèi)粘Ｉ?，成為衣食住行的一部分。網(wǎng)絡團購的興起也引入了眾多學術新問題，其中之一就是如何設計滿足消費者個性化的美食推薦模型和方法。美食推薦的主要目的是通過分析消費者的口味愛好、用戶偏好以及歷史評價，為消費者提供個性化美食推薦服務。在分析消費者網(wǎng)絡團購行為方面，文獻[17]認為消費者在進行網(wǎng)絡團購時，價格為主要影響因素，餐飲種類為次要因素。通過文獻[18]，可以得到服務品質(zhì)更好的餐廳消費者回頭率更高，同樣就餐環(huán)境也會影響消費者的購餐決策。本文通過對消費者餐飲團購行為的文獻分析和整理，將影響消費者團購的因素分為商家因素、用戶因素和其他因素3類。本文首先構建美食推薦系統(tǒng)的AHP層次結構模型，如圖1所示。

Fig.1 Hierarchy model of food recommendation system圖1 美食推薦系統(tǒng)的層次結構模型

在圖1中，第一層是目標層，它表示問題的總目標（目的），這里指對美食的推薦；第二層是準則層，它是總目標的具體體現(xiàn)，也是決策的具體準則，這里用商家相關信息B1、用戶相關信息B2和其他相關信息B33個準則表示；第三是指標層，它將第二層中的3個準則進一步細化，這里表現(xiàn)為10個評價指標c1,c2,…,c10。根據(jù)圖1中的層次結構模型，在征求專家相關意見后，構造準則層的判斷矩陣：

對于指標層，根據(jù)專家評估可分別構造商家因素、用戶因素和其他因素的3個判斷矩陣B1、B2和B3：

完成判斷矩陣的構造之后，接下來進行AHP層次單排序和一致性檢驗。

（1）通過特征根法AW=λmaxW，求出λmax及相應的特征向量W，計算結果為：λA=3.038 7，λB1=3.024 7，

（2）計算一致性指標CI=(λmax-n)/(n-1)，計算結果分別為

（3）計算一致性比率CR=CI/RI＜0.1，計算結果為

根據(jù)上述計算結果可以看到各CR值均小于0.1，因此各判斷矩陣均滿足一致性檢驗。最后，計算各屬性最終的AHP主觀權重分別為

上述分析得到的AHP權重僅考慮了專家的主觀人為因素，下面利用大眾點評網(wǎng)抓取的成都地區(qū)餐飲數(shù)據(jù)來對第3.2節(jié)進行分析。表2是整理的38條相關店鋪數(shù)據(jù)。在表2構成的信息系統(tǒng)中，U={x1,x2,…,x38}表示38個店鋪；選取菜系、星級、人均消費、口味、環(huán)境、服務、有無包間、有無寶寶椅、可否刷卡、有無停車位等10項指標作為條件屬性，分別用C={c1,c2,…,c10}表示；人氣排行為決策屬性d。通過數(shù)據(jù)預處理，可得到成都市美食推薦系統(tǒng)的一個原始數(shù)據(jù)表。

Table 2 Data sheet of food recommendation system表2 美食推薦系統(tǒng)的原始數(shù)據(jù)表

通過對表2的原始數(shù)據(jù)進行離散化處理后，可以得到屬性c2有A、B、C共3個等級，分別表示五星、四星半和四星；屬性c3的值域劃分為3個等級，分別表示價格低、價格適中和價格高；c4～c6的值域為{A,B,C}，分別表示好、中和差；條件屬性c7～c10的值域為{Y,N}，分別表示有和無；決策屬性值域為{A,B,C}，其含義分別定義為人氣排行高、中和低。離散化后的美食推薦系統(tǒng)決策表如表3所示。

Table 3 Decision tables of food recommendation system表3 美食推薦系統(tǒng)決策表

通過對表3中的數(shù)據(jù)進行約簡，可得到表3的所有約簡集合如下：

分別計算各個屬性的δ*重要度、ξ*重要度和g*重要度，并通過3.2節(jié)的5個步驟計算各屬性的客觀權重，得到的結果如表4所示。

Table 4 Objective attribute weights表4 客觀屬性權重

然而，由表4得到的權重僅考慮了決策表（表3）的數(shù)據(jù)結構，并未考慮美食推薦這一實際應用背景。下面利用第3.3節(jié)的分析來構造一種兼顧主觀性和客觀性的AHP權重。

首先，根據(jù)表4中得到的各屬性客觀權重，將標度轉化為AHP 1～9標準標度，結果如表5所示。

Table 5 Scale of improvedAHP method表5 改進AHP的標度

其次，根據(jù)表5中的標度分別構造商家因素、用戶因素和其他因素的3個改進后的判斷矩陣：

再者，通過對3個判斷矩陣進行一致性檢驗，可計算矩陣B1′、B2′和B3′的一致性比率CR值分別為0.051 1、0.021 5和0.011 8，它們均滿足一致性檢驗要求。利用第3.3節(jié)的步驟3～步驟5，可求得各屬性的權 重wc1′=0.157 6,wc2′=0.079 4,wc3′=0.763 1,wc4′=0.215 0，wc5′=0.660 0，wc6′=0.125 0，wc7′=0.067 3，wc8′=0.085 2，wc9′=0.114 6 ，wc10′=0.733 0 。

最后，綜合考慮基于主觀AHP方法構造準則層判斷矩陣A，以及通過客觀屬性權重得到的指標層判斷矩陣B1′、B2′、B3′，可計算最終考慮主客觀因素的改進AHP集成權重，計算結果如表6所示。

Table 6 Attribute weights of improvedAHP method表6 改進的AHP屬性權重

最后，將AHP方法（主觀權重）、粗糙集和信息熵結合的方法（客觀權重）和改進的AHP方法（主客觀結合權重）3種權重方法進行比較，其結果如圖2所示。

Fig.2 Comparison of 3 kinds of weights圖2 3種權重的比較圖

根據(jù)圖2的結論并結合美食推薦實際應用背景，認為AHP方法得到的結果過分強調(diào)了星級的重要性，忽略了餐廳環(huán)境的重要性，并且權重的確定完全依賴于專家的經(jīng)驗和偏好，具有一定的主觀性。對于粗糙集和信息熵方法得到的結果，雖然該方法基于數(shù)據(jù)驅(qū)動，但將“是否有停車位”這一屬性的重要性排在所有屬性的第1位，這明顯與實際美食推薦過程不符。本文提出的兼顧主觀和客觀的AHP改進方法，既考慮了專家評價中專家的權威性，又考慮了信息表中數(shù)據(jù)驅(qū)動的數(shù)據(jù)特征，表現(xiàn)出一種“人機結合”的決策思想。此外，從表6和圖2的實驗結果來看，本文方法在所有10個屬性中：（1）認為人均消費最為重要，這與大多消費者的消費觀念比較吻合。（2）認為餐廳環(huán)境、菜系、是否有停車位、口味、服務和星級的重要性較高，這也與人們在實際團購過程中，喜歡尋找合適的菜系和考慮餐廳的星級檔次這一決策行為較為一致。特別是朋友聚餐、商務談判等用餐需求，對菜系和星級都有一定的要求和考量。（3）對于現(xiàn)在眾多自駕就餐的消費者而言，尋找停車位是一件比較麻煩的事情。因此若餐廳有停車位，在一定程度上解決了部分消費者的個性化需求。（4）對于大部分消費者來說，在網(wǎng)上進行餐廳團購時，對于安靜、隱蔽的空間要求不高。因為大多數(shù)店鋪使用包間需要增加額外費用，且不接受團購用戶，所以餐廳是否有包間變得不是很重要。（5）大多數(shù)消費者餐廳團購的目的是朋友聚餐，較少情況會帶著嬰兒，因此餐廳是否有寶寶椅不是很重要。（6）在進行餐飲團購時，消費者會提前購買團購券，或者選用電子支付。因此餐廳是否可以刷卡不是很重要。根據(jù)上述分析結果，本文提出的主客觀AHP權重獲取方法得到的屬性重要度排序更加符合消費者的團購行為，因而具有一定的理論意義和應用價值。

5 結束語

考慮到傳統(tǒng)AHP評價方法在權重獲取中完全取決于專家主觀評估這一現(xiàn)象，本文將粗糙集理論和信息熵引入到屬性權重構造問題中，提出了一種新的AHP判斷矩陣構造和屬性權重獲取方法。在改進的AHP權重計算方法中，兼顧“專家評估主觀性”和“數(shù)據(jù)驅(qū)動客觀性”，把二者有機結合，人機交互、優(yōu)勢互補，這在一定程度上改善了單獨考慮主觀和客觀權重各自的不足，也使得改進AHP權重更為合理和有效。最后，通過大眾點評美食推薦問題對主觀、客觀和主客觀3種權重進行對比分析，來驗證本文方法的有效性和可行性。在后續(xù)研究中，將進一步探討有決策者風險偏好和群決策環(huán)境下，多屬性決策屬性權重的主客觀集結與融合方法。

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