楊 艷，許道云

貴州大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，貴陽(yáng) 550025

1 引言

所謂超像素（superpixel）是指圖中局部的、具有一致性的、能夠保持一定圖像局部結(jié)構(gòu)特征的子區(qū)域，這些小區(qū)域大多保留了進(jìn)一步進(jìn)行圖像分割的有效信息。近年來(lái)，超像素作為一種圖像預(yù)處理技術(shù)，被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域，逐漸成為研究熱點(diǎn)之一。2003年，Ren等人[1]首次提出了超像素的概念并應(yīng)用于圖像分割中，經(jīng)過(guò)不斷的發(fā)展，超像素在圖像分割領(lǐng)域的應(yīng)用日益成熟。除此之外，超像素分割算法還被應(yīng)用于圖像處理的各個(gè)方面，如前景提取算法、目標(biāo)識(shí)別算法等。至今，針對(duì)超像素分割算法的研究取得了豐碩的成果[2-5]，在各種各樣的應(yīng)用場(chǎng)景[6-8]中，不同的超像素分割算法被提出。目前，已有的超像素分割算法可分為兩類(lèi)：基于圖論的算法和基于梯度下降的算法。基于圖論的算法是將分割問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能量函數(shù)最小化問(wèn)題，將圖像中的像素點(diǎn)看作圖節(jié)點(diǎn)，并賦予節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)間的邊適當(dāng)?shù)臋?quán)值，然后采用各種分割標(biāo)準(zhǔn)對(duì)圖進(jìn)行劃分來(lái)形成超像素。基于梯度下降的算法是從最初的像素聚類(lèi)開(kāi)始，采用梯度法迭代修正聚類(lèi)結(jié)果直至滿足收斂條件，從而形成超像素。表1提供了這兩類(lèi)方法中相關(guān)算法的性能對(duì)比結(jié)果。

所有超像素分割算法在Berkeley SegmentationDatabase公共數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，通過(guò)邊緣貼合度，包括“欠分割錯(cuò)誤率（under-segmentation error）”和“邊緣召回率（boundary recall）”，來(lái)評(píng)估算法的性能。在表1中，基于圖論的經(jīng)典算法有Shi等人提出的NC05算法以及Moore等人[9]提出的SL08算法。NC05算法利用輪廓特征和紋理特征遞歸地進(jìn)行圖像分割，該算法生成規(guī)則的超像素，但邊緣貼合度較差，計(jì)算速度較慢。SL08算法采用尋找最優(yōu)路徑的方式不斷地在垂直和水平方向?qū)D像分割成較小的區(qū)域，從而得到超像素。Veksler等人[10]提出的Compact Superpixels和Constant-Intensity Superpixels兩種超像素分割算法（簡(jiǎn)稱(chēng)GCa和GCb）是基于同一全局能量模型下的兩種變形，其基本思想是將相互重疊的圖像塊拼接起來(lái)，使任意像素只屬于其中一個(gè)圖像塊。GCa和GCb算法各有優(yōu)劣，前者生成緊密的超像素，而后者生成的超像素邊緣貼合度較好?；谔荻认陆档慕?jīng)典算法有Comaniciu等人[11]提出的MS02算法、Levinshtein等人[12]提出的TP09算法以及Achanta等人[13]提出的簡(jiǎn)單線性迭代聚類(lèi)算法（simple linear iterative clustering，SLIC）。MS02算法通過(guò)定位密度函數(shù)的局部最大，對(duì)具有相同模點(diǎn)的像素進(jìn)行聚類(lèi)，實(shí)現(xiàn)超像素分割，該算法生成的超像素很不規(guī)則。TP09算法利用幾何流的水平集方法，對(duì)初始化種子點(diǎn)進(jìn)行逐步碰撞，實(shí)現(xiàn)超像素分割，該算法生成的超像素形狀規(guī)則，但邊緣貼合度較差。SLIC算法通過(guò)引入顏色距離和空間距離的相似性度量，采用簡(jiǎn)單的K-means聚類(lèi)算法生成超像素。SLIC算法雖然能夠生成較規(guī)則的超像素，但容易出現(xiàn)欠分割現(xiàn)象。

Table 1 Comparison of existing superpixel segmentation algorithms表1 現(xiàn)有超像素分割算法對(duì)比

雖然簡(jiǎn)單線性迭代聚類(lèi)算法（SLIC）根據(jù)像素的顏色和距離特征進(jìn)行聚類(lèi)能實(shí)現(xiàn)良好的分割結(jié)果，但是存在如下幾個(gè)問(wèn)題：（1）SLIC算法實(shí)質(zhì)上是K-means算法在特定場(chǎng)合的一種次優(yōu)快速方案，K-means聚類(lèi)的缺點(diǎn)是，算法要求先給出K值，但實(shí)際上K值很難估計(jì)。其次，算法根據(jù)原始聚類(lèi)中心確定初始分割然后進(jìn)行優(yōu)化，而原始集群中心的選擇影響聚類(lèi)結(jié)果的穩(wěn)定性，從而導(dǎo)致局部最優(yōu)而非全局最優(yōu)。（2）有限的超像素容易出現(xiàn)欠分割的情況。因此，本文提出一種新的算法WKK-SLIC，基于圖像像素之間的顏色相似性和空間相似性度量，采用超像素分割的歸一化割（normalized cuts）公式。不同于傳統(tǒng)的基于特征的算法，WKK-SLIC算法使用核函數(shù)來(lái)近似相似性度量，將像素值和坐標(biāo)映射到高維特征空間中，通過(guò)對(duì)該特征空間中的每個(gè)點(diǎn)賦予適當(dāng)?shù)臋?quán)重，使加權(quán)K均值和歸一化割的目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化在數(shù)學(xué)上等價(jià)。因此，可以通過(guò)在所提出的特征空間中迭代地應(yīng)用簡(jiǎn)單的K-means聚類(lèi)來(lái)優(yōu)化歸一化割的目標(biāo)函數(shù)。同時(shí)，采用密度敏感的相似性度量計(jì)算空間像素點(diǎn)的密度，啟發(fā)式地生成K-means聚類(lèi)的初始中心以達(dá)到穩(wěn)定的聚類(lèi)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，WKK-SLIC算法在評(píng)估超像素分割的幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)上優(yōu)于SLIC算法。

2 SLIC超像素分割算法

簡(jiǎn)單線性迭代聚類(lèi)算法的思想是在圖像上均勻初始化K個(gè)初始聚類(lèi)中心，將所有點(diǎn)賦予與其距離最近的聚類(lèi)中心標(biāo)簽。SLIC算法默認(rèn)只需要設(shè)定參數(shù)K，K是目標(biāo)超像素?cái)?shù)量。首先，根據(jù)K計(jì)算出超像素的平均長(zhǎng)和寬，初始化超像素中心，讓超像素中心初始值完全均勻地分布在整張圖像上。若圖片大小N為width×height，超像素的初始中心位置應(yīng)該是網(wǎng)格狀分布，長(zhǎng)和寬方向上的步長(zhǎng)分別為為了計(jì)算方便，算法設(shè)定超像素間的間隔長(zhǎng)和寬方向都是這樣會(huì)導(dǎo)致最右邊和最下邊的超像素初始覆蓋半徑很小。為了避免初始超像素中心落在物體邊界，算法讓每個(gè)超像素中心在當(dāng)前3×3像素范圍內(nèi)找一個(gè)顏色梯度最小的種子位置，平移此超像素中心到其種子位置。初始的各個(gè)種子位置就是超像素的中心位置。同時(shí)，算法限定在超像素中心點(diǎn)2S×2S的區(qū)域搜索與中心點(diǎn)相似的像素而不是整個(gè)圖像區(qū)域來(lái)提高算法的計(jì)算速度。每個(gè)像素點(diǎn)用五維空間中的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，則像素點(diǎn)與超像素中心的相似性測(cè)量如下：

其中，dlab是CIELAB顏色空間中像素點(diǎn)之間的顏色距離；dxy是像素點(diǎn)間的空間距離；m是權(quán)衡顏色距離和空間距離重要性的一個(gè)常數(shù)參數(shù)。算法使用L2范數(shù)來(lái)計(jì)算當(dāng)前超像素中心位置和新的超像素中心位置之間的殘差誤差E，重復(fù)迭代地更新超像素中心，直至誤差E收斂，算法結(jié)束。

SLIC算法整體流程如下。

算法1SLIC超像素分割算法

Fig.1 Segmentation results of SLIC algorithm圖1 SLIC算法的分割結(jié)果

圖1是使用SLIC算法進(jìn)行圖像分割的結(jié)果，其中（a）是原圖BSD-118035，（b）～（d）分別表示目標(biāo)超像素為200、400、600時(shí)的分割結(jié)果。圖1顯示，SLIC算法雖然能夠產(chǎn)生較規(guī)則的超像素，但在有限的超像素?cái)?shù)目?jī)?nèi)，SLIC算法容易出現(xiàn)欠分割的情況（圖中用紅色框標(biāo)注的地方），且目標(biāo)超像素?cái)?shù)目越小欠分割現(xiàn)象越明顯。

3WKK-SLIC算法

針對(duì)SLIC算法存在的缺陷，本文提出了一種基于優(yōu)化加權(quán)核K-means聚類(lèi)初始中心點(diǎn)的SLIC分割算法WKK-SLIC，算法基于圖像像素之間的顏色相似性和空間相似性度量，采用超像素分割的歸一化割公式。不同于傳統(tǒng)的基于特征的算法，WKK-SLIC使用核函數(shù)來(lái)近似相似性度量，將像素值和坐標(biāo)映射到高維特征空間中，通過(guò)對(duì)該特征空間中的每個(gè)點(diǎn)賦予適當(dāng)?shù)臋?quán)重，加權(quán)K均值和歸一化割的目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化在數(shù)學(xué)上等價(jià)。因此，可以通過(guò)在所提出的特征空間中迭代地應(yīng)用簡(jiǎn)單的K-means聚類(lèi)來(lái)優(yōu)化歸一化割的目標(biāo)函數(shù)。同時(shí)，采用密度敏感的相似性度量計(jì)算空間像素點(diǎn)的密度，啟發(fā)式地生成K-means聚類(lèi)的初始中心以達(dá)到穩(wěn)定的聚類(lèi)結(jié)果。

3.1 引入核函數(shù)來(lái)近似相似性度量

WKK-SLIC算法以加權(quán)K-means聚類(lèi)算法的目標(biāo)函數(shù)和歸一化割的目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系為基礎(chǔ)。首先，回顧加權(quán)K-means聚類(lèi)和歸一化割的定義。用小寫(xiě)的p、q來(lái)表示輸入空間中聚類(lèi)的像素點(diǎn)，w(p)表示對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)賦予的權(quán)重，K表示聚類(lèi)的數(shù)量，πk表示第k個(gè)聚類(lèi)，ck表示第k個(gè)聚類(lèi)的中心，φ表示將像素點(diǎn)映射到高維空間的函數(shù)，則加權(quán)核K-means的目標(biāo)函數(shù)定義如下：

加權(quán)K-means的目標(biāo)函數(shù)Fk-m可以通過(guò)迭代最小化。在歸一化割中每個(gè)像素點(diǎn)用圖G=(V,E,W)中的節(jié)點(diǎn)來(lái)表示，其中V是所有節(jié)點(diǎn)的集合，E是所有邊的集合，是像素點(diǎn)間的相似性函數(shù)。歸一化割的目的是最大化目標(biāo)函數(shù)FNcuts。FNcuts的定義如下：

為了進(jìn)一步了解Fk-m和FNcuts之間的關(guān)系，引入推論1。其中，式（5）和式（6）可由文獻(xiàn)[14]的結(jié)果推導(dǎo)得到。

推論1如果式（5）和式（6）成立，則加權(quán)K-means和歸一化割的目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。

式（5）表示，高維特征空間中兩個(gè)向量的加權(quán)內(nèi)積等于輸入空間中兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的相似性。式（6）表示加權(quán)K-means聚類(lèi)中的每個(gè)像素點(diǎn)的權(quán)重等于對(duì)應(yīng)的歸一化割中該點(diǎn)與其他所有節(jié)點(diǎn)的邊的權(quán)重的總和。在推論1的兩個(gè)充分條件中，式（6）可以通過(guò)歸一化割中邊的權(quán)重的總和作為加權(quán)K-means中的點(diǎn)的權(quán)重來(lái)實(shí)現(xiàn)，然而對(duì)于式（5），需要仔細(xì)選擇相似性函數(shù)。將式（5）重寫(xiě)為式（7）：

式（7）實(shí)際上定義了一個(gè)對(duì)稱(chēng)的核函數(shù)，因此它必須滿足對(duì)應(yīng)的核矩陣總是半正定的條件。本文用(l,a,b,x,y)五維向量來(lái)表示圖像中的每個(gè)像素點(diǎn)，為了方便，限定每個(gè)變量的范圍在[0,1]。在CIELAB顏色空間，定義兩個(gè)像素點(diǎn)之間的相似性度量，如式（8）所示，其中Cs和Cc是衡量空間距離和顏色距離重要性的常系數(shù)。式（8）可以寫(xiě)成式（5）的內(nèi)積形式，其中φ和w分別定義為式（9）和式（10）：

選擇CIELAB顏色空間是因?yàn)闅W幾里得距離在該空間中幾乎是均勻的。另外，選用余弦函數(shù)作為相似性度量函數(shù)是因?yàn)槭褂糜嘞液瘮?shù)定義的相似性函數(shù)W(p,q)能夠滿足式（7）所要求的對(duì)應(yīng)核函數(shù)矩陣半正定的要求，φ和w也是根據(jù)此進(jìn)行定義。到此，本文定義了十維的特征空間，使得加權(quán)K-means聚類(lèi)在該特征空間中近似等價(jià)于輸入空間中的歸一化割。通過(guò)在該十維特征空間中直接應(yīng)用加權(quán)K-means，可以有效地優(yōu)化歸一化割的目標(biāo)函數(shù)，達(dá)到全局的穩(wěn)定的聚類(lèi)結(jié)果。

3.2 結(jié)合密度敏感的相似性度量啟發(fā)地生成K-means聚類(lèi)中心

SLIC算法實(shí)質(zhì)上是K-means算法在特定場(chǎng)合的一種次優(yōu)快速方案。原始的K-means算法存在如下缺陷：

（1）算法要求事先給定K值，但實(shí)際上K值一般很難確定；

（2）對(duì)初始聚類(lèi)中心敏感，不同的初始中心可能會(huì)導(dǎo)致不同的聚類(lèi)結(jié)果。

以上缺陷導(dǎo)致SLIC算法生成的超像素不穩(wěn)定，容易出現(xiàn)欠分割的情況。因此，本文結(jié)合密度敏感的相似性度量來(lái)計(jì)算圖像像素點(diǎn)的密度，啟發(fā)地生成初始聚類(lèi)中心。下面給出相關(guān)的定義[15]。

定義1（聚類(lèi)對(duì)象的密度）對(duì)于圖像上的像素點(diǎn)，定義pi的密度為：

其中，d(pk,pk+1)表示對(duì)象pk、pk+1的歐式距離；σ為密度參數(shù)；rij為鏈接像素點(diǎn)pi和pj之間的所有路徑；l代表鏈接像素點(diǎn)pi和pj路徑中像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

定義2（聚類(lèi)對(duì)象的鄰域）對(duì)于任意像素點(diǎn)p，以p為中心，R為半徑的圓形區(qū)域，稱(chēng)該區(qū)域?yàn)橄袼攸c(diǎn)p的鄰域，記為：

定義3（聚類(lèi)對(duì)象的鄰域半徑）

其中，aver(D)表示所有像素點(diǎn)間距離的平均值；n是圖像像素點(diǎn)的總數(shù)；coefR是鄰域半徑調(diào)節(jié)系數(shù)。

基于密度初始化中心點(diǎn)算法的基本思想是首先在圖像上所有像素點(diǎn)集N中選擇密度最大的像素點(diǎn)作為第一個(gè)初始中心，然后在像素點(diǎn)集中去除該像素點(diǎn)及其鄰域內(nèi)的所有像素點(diǎn)，再按同樣的方法確定第二個(gè)初始中心點(diǎn)，循環(huán)直達(dá)初始中心點(diǎn)集M中有K個(gè)點(diǎn)。算法描述如下。

算法2基于密度的初始化中心點(diǎn)算法

1.根據(jù)定義1計(jì)算所有像素點(diǎn)的密度density(pi)，初始化中心點(diǎn)集M={}。

2.選擇密度最大的像素點(diǎn)Pmax={pi|pi∈N,i=1,2,…,n}作為第一個(gè)初始中心點(diǎn)，添加到中心點(diǎn)集M中，M=M?{Pmax}，并從像素點(diǎn)集中刪去該對(duì)象，即N=N-{Pmax}。根據(jù)定義2和定義3計(jì)算Pmax鄰域內(nèi)的所有像素點(diǎn)，并從像素點(diǎn)集N中刪去。

3.重復(fù)執(zhí)行步驟2，直到初始中心點(diǎn)集中有K個(gè)中心點(diǎn)，即|M|=K。

4.輸出初始中心點(diǎn)集M，算法結(jié)束。

3.3 基于優(yōu)化加權(quán)核K-means聚類(lèi)初始中心點(diǎn)的SLIC分割算法

在SLIC算法框架的基礎(chǔ)上，結(jié)合3.1節(jié)和3.2節(jié)的內(nèi)容，基于優(yōu)化加權(quán)核K-means聚類(lèi)初始中心點(diǎn)的SLIC分割算法（WKK-SLIC）的描述如下。

算法3WKK-SLIC算法

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

WKK-SLIC算法的分割結(jié)果如圖2所示，其中（a）是原圖BSD-118035，（b）～（d）分別表示目標(biāo)超像素為200、400、600時(shí)的分割結(jié)果?？梢钥闯?，與SLIC算法相比，WKK-SLIC算法不僅能生成規(guī)則的超像素，且在有限的超像素?cái)?shù)內(nèi)沒(méi)有出現(xiàn)欠分割的現(xiàn)象。

為了進(jìn)一步比較，在Berkeley Segmentation Database公共數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。采用邊緣貼合度標(biāo)準(zhǔn)，包括邊緣召回率和欠分割錯(cuò)誤率，來(lái)評(píng)估算法性能。WKK-SLIC算法和SLIC算法性能對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

邊緣召回率指落在至少一個(gè)真值邊緣像素點(diǎn)距離ε（通常ε取兩個(gè)像素）范圍內(nèi)的超像素邊緣像素點(diǎn)數(shù)量與真值邊緣像素點(diǎn)總數(shù)的比值，邊緣召回率越高，生成的超像素越規(guī)則。本文采用文獻(xiàn)[16]中的邊緣召回率計(jì)算方法。

欠分割錯(cuò)誤率衡量了超像素區(qū)域“溢出”真值區(qū)域邊界的比例，欠分割錯(cuò)誤率越低，生成的超像素越純潔。由于處理不同區(qū)域間邊緣像素的方法不同，目前該標(biāo)準(zhǔn)存在多種計(jì)算模型[17]，本文采用的是文獻(xiàn)[18]提出的CUE（corrected under-segmentation error）計(jì)算模型。

Fig.2 Segmentation results of WKK-SLIC algorithm圖2WKK-SLIC算法的分割結(jié)果

Fig.3 Performance comparison results of WKK-SLIC algorithm and SLIC algorithm圖3WKK-SLIC算法和SLIC算法的性能對(duì)比結(jié)果

圖3（a）顯示對(duì)于不同數(shù)目的目標(biāo)超像素，WKKSLIC算法比原始的SLIC算法有更低的欠分割錯(cuò)誤率。圖3（b）顯示對(duì)于不同數(shù)目的目標(biāo)超像素，WKKSLIC算法比原始的SLIC算法有更高的邊緣召回率。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在原始SLIC算法框架的基礎(chǔ)上，將圖像像素點(diǎn)映射到高維空間，引入核函數(shù)來(lái)近似像素相似性度量，同時(shí)使用基于密度的初始化中心點(diǎn)算法來(lái)初始化聚類(lèi)中心，提出一種基于優(yōu)化加權(quán)核K-means聚類(lèi)初始中心點(diǎn)的SLIC分割算法WKK-SLIC。該算法生成的超像素規(guī)則且分割結(jié)果能夠保持圖像的全局屬性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，WKK-SLIC算法在超像素分割中幾個(gè)常用的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)方面優(yōu)于SLIC算法。

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