廣西玉林師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院（537000） 毋翠玲 和小軍

估算是一種基本的數(shù)學(xué)能力，是計(jì)算能力的重要組成部分，也是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常使用的一種計(jì)算方法。在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中。Reys等人認(rèn)為估算過(guò)程需要綜合運(yùn)用心算、數(shù)概念及各種計(jì)算技巧，它要求使用心算快速地算出答案，并且算出的結(jié)果與正確結(jié)果之間要有合理性的接近。估算具有以下特點(diǎn)：以快速心算為主要的計(jì)算方式；以合理猜測(cè)為主要的推理方式；是心算、數(shù)概念及各種計(jì)算技巧的綜合運(yùn)用。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱課標(biāo)）將估算作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力的重要途徑和手段，各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材也都精心編排了估算的教學(xué)內(nèi)容。在教學(xué)實(shí)踐中，估算常常被一線教師定為教學(xué)難點(diǎn),其主要原因是教師未能理解教材的編寫意圖，以及宏觀把握教學(xué)方向。本文將從課標(biāo)要求、教材編排、學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，闡述對(duì)估算教學(xué)的思考。

一、估算在課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求

小學(xué)階段的估算在課標(biāo)中的課程目標(biāo)描述分為兩個(gè)學(xué)段。第一學(xué)段要求學(xué)生在生活情境中感受萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的意義，能結(jié)合具體情境選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單的估算，體會(huì)估算在生活中的作用，能估測(cè)一些物體的長(zhǎng)度并進(jìn)行測(cè)量，會(huì)估算給定簡(jiǎn)單圖形的面積。第二學(xué)段要求結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境感受大數(shù)的意義并能進(jìn)行估計(jì)；在解決問(wèn)題的過(guò)程中能選擇合適的方法進(jìn)行估算，會(huì)根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值，會(huì)用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。

估算內(nèi)容廣泛分布在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域之中，主要集中在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域。課標(biāo)對(duì)估算的要求有以下三點(diǎn)：一是要重視估算的實(shí)際背景，二是強(qiáng)調(diào)估算的單位選取，三是強(qiáng)調(diào)估算對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的作用。估算與精算、數(shù)感及問(wèn)題解決都有密切關(guān)系，培養(yǎng)小學(xué)生的估算能力是一項(xiàng)重要的教學(xué)任務(wù)。

二、估算內(nèi)容在人教版教材中的編排

教材是教學(xué)的重要載體，理解教材是教學(xué)的基礎(chǔ)。自估算內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)以來(lái)，一直受到一線教師的廣泛關(guān)注。下面筆者從教材的容量、內(nèi)容分布、呈現(xiàn)方式、內(nèi)容編排四個(gè)方面闡述估算內(nèi)容在人教版教材中的編排方式。

從估算內(nèi)容的容量看，估算內(nèi)容集中出現(xiàn)在二年級(jí)下冊(cè)、三年級(jí)上下冊(cè)和四年級(jí)上冊(cè)，其中四年級(jí)中的估算內(nèi)容最多，是估算教學(xué)的重點(diǎn)。人教版教材涉及估算內(nèi)容有92處，從二年級(jí)上冊(cè)開(kāi)始，估算內(nèi)容逐漸增多，直至四年級(jí)上冊(cè)。其中，一年級(jí)上下冊(cè)，四年級(jí)下冊(cè)，五年級(jí)上下冊(cè)和六年級(jí)下冊(cè)均未安排估算內(nèi)容。（如下表）

估算內(nèi)容的容量在人教版教材中的分布（單位：處）

從估算內(nèi)容的分布看，估算內(nèi)容在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域中均有分布。數(shù)與代數(shù)有88處，圖形與幾何有1處，統(tǒng)計(jì)與概率有1處，綜合與實(shí)踐有2處。不難發(fā)現(xiàn)，估算內(nèi)容主要集中在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，尤其集中在數(shù)與代數(shù)的計(jì)算教學(xué)中。估計(jì)的形式主要有三種：數(shù)量估計(jì)、測(cè)量估計(jì)、計(jì)算估計(jì)，簡(jiǎn)稱估數(shù)、估測(cè)、估算。

從估算內(nèi)容的呈現(xiàn)方式看，估算在教材中的呈現(xiàn)方式主要有4種：純文字、純算式、文字+算式（表格）、圖文情境?！凹兾淖殖尸F(xiàn)”是指采用語(yǔ)言文字承載題目的含義，并要求學(xué)生進(jìn)行估算的計(jì)算題目。“純算式呈現(xiàn)”是指以算式形式呈現(xiàn)學(xué)生要完成的估算題目?！拔淖郑闶剑ū砀瘢┏尸F(xiàn)”是指使用算式或表格對(duì)文字部分進(jìn)行輔助說(shuō)明，并要求學(xué)生進(jìn)行計(jì)算的估算題目?！皥D文情境呈現(xiàn)”是指采用情景圖、對(duì)話框以及文字?jǐn)⑹龅姆绞疥U述題目的含義，并要求學(xué)生進(jìn)行計(jì)算的估算題目。人教版教材中，純算式呈現(xiàn)有32處，純文字描述有4處，文字+算式（表格）有1處，圖文情境有55處。其中圖文情境以學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)、圖文并茂的情境為主，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點(diǎn)。

從估算內(nèi)容的編排看，人教版教材注重聯(lián)系生活情境。每個(gè)單元的內(nèi)容以“生活情境——例題——練習(xí)”為主線進(jìn)行編排，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)按照“例題——做一做——練習(xí)”的模式進(jìn)行編排；例題后面編排有“想一想、做一做”等欄目，在每個(gè)章節(jié)后編排有整理與復(fù)習(xí)以及總復(fù)習(xí)等內(nèi)容。估算內(nèi)容的例題有15處，練習(xí)有53處，“試一試”“想一想”有16處，復(fù)習(xí)與整理有3處，總復(fù)習(xí)中有5處。估算內(nèi)容與編排體例結(jié)合度較高，實(shí)現(xiàn)了多維度安排和滲透，重視培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)和估算能力。

三、學(xué)生學(xué)習(xí)估算的特點(diǎn)

小學(xué)生估算能力的發(fā)展?fàn)顩r是心理學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，心理學(xué)家對(duì)此主要采用實(shí)驗(yàn)調(diào)查的研究模式。司繼偉對(duì)1027名學(xué)生進(jìn)行團(tuán)體和個(gè)別測(cè)試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的估算能力受到年齡的影響，并且在不同年齡階段有不同的影響。譬如，學(xué)生從一年級(jí)就開(kāi)始接觸整數(shù)的概念，而對(duì)小數(shù)概念的學(xué)習(xí)到四年級(jí)才開(kāi)始，因此小數(shù)題的認(rèn)知難度對(duì)學(xué)生而言顯著高于整數(shù)題。學(xué)生能否解決復(fù)雜的估算問(wèn)題取決于能否結(jié)合問(wèn)題所提供的信息，選擇恰當(dāng)?shù)墓浪悴呗?。學(xué)生估算的效率在各階段都有其發(fā)展的特點(diǎn)。譬如，小學(xué)三年級(jí)是整數(shù)、小數(shù)估算能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期,小學(xué)五年級(jí)是分?jǐn)?shù)估算能力發(fā)展的良好時(shí)期。

陳英和采用實(shí)驗(yàn)法和訪談法，對(duì)小學(xué)一年級(jí)到三年級(jí)的學(xué)生解決加減法算術(shù)題的策略使用特點(diǎn)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠靈活運(yùn)用多種策略解決加減法算術(shù)題；隨著年級(jí)增高，策略選擇呈簡(jiǎn)約化發(fā)展趨勢(shì)。陳麗蘭對(duì)9～12歲學(xué)生選擇估算策略的特點(diǎn)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)：隨著問(wèn)題難度的增大，選擇估算策略的最佳擊中率降低；隨著年齡的不斷增長(zhǎng)，選擇估算策略的個(gè)數(shù)增多，并且選擇估算策略的最佳擊中率上升，其中四、五年級(jí)學(xué)生的最佳擊中率上升尤為明顯；估算策略的選擇不存在性別差異。

綜合相關(guān)研究，學(xué)生估算能力的發(fā)展是一個(gè)逐步完善的過(guò)程,它需要學(xué)生具有一定的算術(shù)技能,同時(shí)還需要學(xué)生具有一定水平的思維能力。在小學(xué)階段，學(xué)生估算能力的發(fā)展顯現(xiàn)出整體推進(jìn)、交替向上的態(tài)勢(shì)。

四、估算教學(xué)的思考

1.正確認(rèn)識(shí)估算與精算、數(shù)感的關(guān)系

估算與精算既有區(qū)別又有聯(lián)系。估算是一種無(wú)需獲得準(zhǔn)確結(jié)果的計(jì)算，是學(xué)生根據(jù)有關(guān)的條件和知識(shí)，通過(guò)觀察、比較、判斷、推理等方式，對(duì)題目中的數(shù)字或運(yùn)算結(jié)果所做出的一種大致判斷。其結(jié)果是在一定范圍內(nèi)對(duì)答案進(jìn)行的估計(jì)。估算過(guò)程具有跳躍性、直覺(jué)性、內(nèi)隱性等特點(diǎn)，反映了學(xué)生對(duì)數(shù)的內(nèi)部運(yùn)算的認(rèn)知水平。精算強(qiáng)調(diào)準(zhǔn)確性，計(jì)算時(shí)要遵循算理，熟練算法。然而，有些問(wèn)題可能只需估算，無(wú)需精算。譬如，購(gòu)物時(shí)，在選擇一些物品后，先估計(jì)一下大約需要多少錢，看自己帶的錢是否足夠。又如，“學(xué)校組織學(xué)生去游樂(lè)場(chǎng)玩耍，共有987名學(xué)生參加，假設(shè)游樂(lè)場(chǎng)的門票是8元/張，那么帶8000元錢是否足夠”的問(wèn)題。有些問(wèn)題可能只需精算，無(wú)需估算，有些問(wèn)題可能需要先估算后精算，或在精算的過(guò)程中用到估算。如乘法運(yùn)算時(shí)先估計(jì)結(jié)果是幾位數(shù)，就可以快速判斷計(jì)算結(jié)果是否合理。

估算與數(shù)感之間有著密切的聯(lián)系。一方面，經(jīng)常進(jìn)行估算訓(xùn)練可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的發(fā)展，而培養(yǎng)數(shù)感又有助于學(xué)生估算能力的提高。譬如，估算258÷5，250與260都是5的倍數(shù)，但相對(duì)于250，260與258更為相近，因此利用260÷5估算結(jié)果更為準(zhǔn)確。這種通過(guò)對(duì)數(shù)進(jìn)行感知再進(jìn)行判斷、估算的方法，實(shí)質(zhì)上需要學(xué)生具有良好的數(shù)感。學(xué)生只有對(duì)數(shù)具有良好的感知能力，才能對(duì)數(shù)有良好的把握，從而進(jìn)行合理估算。另一方面，估算能力不同的學(xué)生在做數(shù)感類的題目時(shí)，多數(shù)情況下都傾向于選擇有效性中等水平的策略。譬如，小數(shù)估算中忽略小數(shù)部分、改變數(shù)位；分?jǐn)?shù)估算中同分母化為易處理的小數(shù)、選擇基點(diǎn)“1”等。

2.把握估算內(nèi)容的教材編排特點(diǎn)

估算內(nèi)容沒(méi)有獨(dú)立的章節(jié)呈現(xiàn)，而是分散呈現(xiàn)在不同年級(jí)。估算教學(xué)需要全面理解蘊(yùn)含在教材中的估算內(nèi)容，教師只有準(zhǔn)確把握小學(xué)兩個(gè)學(xué)段對(duì)估算的不同要求，才能有目的、有計(jì)劃地將估算滲透于教學(xué)。

第一學(xué)段立足于數(shù)量的簡(jiǎn)單推理和筆算驗(yàn)算，在解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，初步滲透估算的意識(shí)和“誤差”的概念。譬如，對(duì)于“媽媽帶400元去商店購(gòu)物，電話245元，吹風(fēng)機(jī)187元。400元買這兩件商品夠不夠”的問(wèn)題，若學(xué)生提出“245元估成200元，187元估成200元，所以245加187大約是400元，所以夠買”，這樣的錯(cuò)誤應(yīng)該是可以理解的。換句話說(shuō)，教師要重視學(xué)生的估算過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)交流討論，學(xué)習(xí)如何根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整估算策略。

第二學(xué)段的重點(diǎn)是學(xué)習(xí)基本的估算方法，掌握估算策略。第二學(xué)段中的大數(shù)認(rèn)識(shí)更抽象，數(shù)的運(yùn)算更復(fù)雜，基于學(xué)生想簡(jiǎn)算的心理，可以促進(jìn)其主動(dòng)利用估算解決問(wèn)題。譬如，“三位數(shù)乘兩位數(shù)的估算”的題目：秋天來(lái)了，五年級(jí)的小朋友打算進(jìn)行一次秋游，每個(gè)小朋友的車票和門票是49元，五年級(jí)共有104個(gè)小朋友，估算一下，大約準(zhǔn)備多少元才夠買票？學(xué)生可能會(huì)有兩種估算方法，估算成 50×100=5000（元），或者估算成 50×110=5500（元）。教師要引導(dǎo)學(xué)生思考哪一種估算方法好一些，也就是說(shuō)要選取怎樣的估算策略，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。因?yàn)橹挥羞@樣才能讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際來(lái)理解在什么情況下估大，什么情況下估小，才符合要求，做到具體問(wèn)題具體分析。畢竟，估算是解決問(wèn)題的常用方法，但是沒(méi)有固定的法則，要根據(jù)具體的情況采取適當(dāng)?shù)牟呗浴?/p>

把握兩個(gè)學(xué)段對(duì)估算的不同要求，理解教材的編寫意圖，才能全面系統(tǒng)地進(jìn)行估算教學(xué)。譬如，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生，即使估算結(jié)果與準(zhǔn)確值偏離較大，但只要學(xué)生能清晰、完整地說(shuō)出估算過(guò)程，對(duì)估算結(jié)果能做出合理的解釋，教師都應(yīng)給予鼓勵(lì)。高年級(jí)學(xué)生已經(jīng)積累了一些估算經(jīng)驗(yàn)，形成了較高的估算技能，教師就要指導(dǎo)他們不斷進(jìn)行自我反思、分析和調(diào)整，使估算結(jié)果盡可能接近準(zhǔn)確結(jié)果。

3.把握小學(xué)生估算能力發(fā)展的特點(diǎn)

小學(xué)生估算能力的發(fā)展是一個(gè)逐步精確化、合理化、策略化、程序化的過(guò)程，教師要根據(jù)不同階段學(xué)生估算能力的特點(diǎn)，科學(xué)制定相應(yīng)的潛力開(kāi)發(fā)方案。

作為數(shù)學(xué)教師，要明確估算的意義，提高學(xué)生學(xué)習(xí)估算的自覺(jué)性和積極性；要讓學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)踐中的估算問(wèn)題并嘗試解決，使學(xué)生意識(shí)到在他們周圍存在著大量的估算問(wèn)題，體會(huì)到估算的必要性和優(yōu)越性。比如“全家聚餐”大約需要200元，這就是估算，但飯店的收銀員在收取費(fèi)用時(shí)則需要進(jìn)行精確計(jì)算。

估算是一種開(kāi)放型的創(chuàng)造性活動(dòng)，因內(nèi)容和問(wèn)題情境的不同，估算的方法和策略也不盡相同。學(xué)生學(xué)習(xí)估算的難點(diǎn)在于不知道如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題去選擇估算策略：是要估算得大些,還是要估算得小些？什么時(shí)候需要對(duì)估算結(jié)果進(jìn)行調(diào)整？雖然估算在簡(jiǎn)化運(yùn)算、選擇方法和調(diào)整結(jié)果各環(huán)節(jié)中都有對(duì)應(yīng)的策略,但都需要學(xué)生針對(duì)實(shí)際問(wèn)題靈活選擇。譬如，估算有上限額度時(shí),必須估大些；估算有最低額度時(shí),則要估小些……估算是為了運(yùn)算簡(jiǎn)便而取的一個(gè)近似數(shù)，不是為了估算而估算。因此教師要讓學(xué)生不斷進(jìn)行練習(xí)，逐步積累估算經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)規(guī)律，從而提高學(xué)生的估算能力。

4.妥善處理估算學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的常見(jiàn)問(wèn)題

在學(xué)生學(xué)習(xí)估算的過(guò)程中，經(jīng)常出現(xiàn)以下問(wèn)題：估算意識(shí)淡薄——用精算代替估算；省略估算步驟——缺少估算結(jié)果的調(diào)整；估算標(biāo)準(zhǔn)不確定——不知道估得對(duì)不對(duì)。針對(duì)這些常見(jiàn)的問(wèn)題，教師要正確對(duì)待、妥善處理。

關(guān)于學(xué)生用精算代替估算的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是學(xué)生估算意識(shí)薄弱。作為教師，要選擇有代表性的估算題目，以便引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)估算的意義和價(jià)值，逐漸形成估算意識(shí)。譬如，金金用5元購(gòu)買牛奶、面包和雞蛋。其中牛奶1.5元，面包1.29元，雞蛋1.44元，在下面哪種情況下使用估算比精算有意義？①當(dāng)金金檢查5元是否夠用時(shí)；②當(dāng)收銀員將每種商品的價(jià)格錄入收銀系統(tǒng)時(shí)；③當(dāng)收銀員告訴金金應(yīng)該付多少錢時(shí)；④當(dāng)收銀員核對(duì)金金所付的錢時(shí)。這種以生活實(shí)例呈現(xiàn)問(wèn)題的方式，需要學(xué)生正確理解估算與精算，才能做出正確選擇。顯然，將精算和估算相結(jié)合的題目編排方式，能很好地鍛煉學(xué)生的估算意識(shí)。

對(duì)估算結(jié)果的調(diào)整，實(shí)際上是學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇恰當(dāng)?shù)墓浪悴呗?，不斷進(jìn)行推理驗(yàn)證的過(guò)程。譬如，周莊村組織272名村民去旅游，每輛客車可以坐48人。估算一下，周莊村租5輛這樣的客車夠嗎？至少要租多少輛這樣的客車？這個(gè)問(wèn)題看似很簡(jiǎn)單，但對(duì)三年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)并非如此，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程才能做出判斷。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)先將48看作50，50×5=250，再比較實(shí)際座位數(shù)應(yīng)該比估算出的250個(gè)座位少一些，然后比較估算出的250個(gè)座位又比272名村民要少一些，由此判斷5輛車不夠坐。在這個(gè)估算過(guò)程中，需要學(xué)生合理運(yùn)用估算的基本方法，并能將估算結(jié)果與實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行比較。這個(gè)估算過(guò)程需要學(xué)生具有較強(qiáng)的推理能力，并且能夠靈活運(yùn)用合理的估算策略進(jìn)行估算。

需要注意的是，對(duì)于純算式的估算，不能簡(jiǎn)單地把估算結(jié)果是否與準(zhǔn)確值最接近作為唯一的標(biāo)準(zhǔn)，只要落在區(qū)間內(nèi)，就是合理的。譬如，估算78×365的結(jié)果大約是多少時(shí)，學(xué)生剛接觸估算時(shí)可能估為70×300，80×300或80×400，這些都可以視為是合理的。待學(xué)生有了一定的估算經(jīng)驗(yàn)后，教師就要引導(dǎo)學(xué)生反思“怎樣估才能更接近準(zhǔn)確值”，這樣才能完善學(xué)生的估算意識(shí)。

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