劉鳳琴,金 瑜

(浙江財經大學，浙江 杭州 310018)

1 引言

隨著LIBOR作為國際貨幣市場基礎利率體系的作用愈加凸顯，以LIBOR為標的變量的各種利率衍生證券得以大量產生；因此，建立科學合理的LIBOR利率動態(tài)期限結構模型也就引起更多學者關注。Rutkowski[1]利用測度變換公式得出在遠期測度Qk下，有限個遠期LIBOR利率Li(t)服從的隨機過程，建立了標準化LIBOR市場模型，但模型假設隱含波動率為常數(shù)，無法體現(xiàn)可觀察市場隱含波動率所具有的波動率偏斜或者微笑等特征；尤其是近些年來，由于金融市場不確定性程度不斷增加，金融危機等突發(fā)性事件發(fā)生愈加頻繁，LIBOR利率也呈現(xiàn)出更加明顯隨機波動和急劇跳躍特征；因此，建立具有Levy跳躍和隨機波動特征的LIBOR市場模型則成為LIBOR動態(tài)期限結構研究重要內容。

近些年來，國內外學者在相關領域研究主要集中在兩個方面：一是引入隨機波動率和跳躍擴散過程，對標準化LIBOR市場模型進行結構性擴展；二是尋找一些適當方法對這些模型進行有效參數(shù)校準估計。主要研究文獻包括：Joshi等[2]最早提出隨機波動率LIBOR市場模型，模型假設瞬時遠期利率波動率服從Ornstein-Uhlenbeck過程，此即所謂Heston隨機波動率模型(Heston-LMM)；Hagan等[3]將SABR模型引入LIBOR過程中形成SABR-LMM。Glasserman等[4]假設利率服從對數(shù)正態(tài)分布，并采用不同平均跳躍幅度來擬合波動率變化特征，推導出了利率上限期權和利率互換期權的封閉解。Elliott等[5]提出一種機制轉換隨機波動率LIBOR市場模型，瞬時遠期LIBOR波動率服從連續(xù)時間馬爾科夫鏈，同時波動率參數(shù)服從機制轉換性質的平方根過程。Andersen等[6]在LMM的基礎上引入具有均值回復特征的隨機波動率過程，并運用近似擴展技術推出利率上限期權和互換期權定價封閉解。Eberlein等[7]首次將Levy跳躍過程引入標準LIBOR市場模型，并借助雙向拉普拉斯變換導出利率上限、利率下限的精確定價公式。Eberlein等[8]在Levy-LMM的基礎上，以交叉貨幣期權為研究對象，推導出定價交叉貨幣衍生產品公式，并運用雙向拉普拉斯轉換來進行數(shù)值計算。劉志東和陳曉靜[9]在對經典的和修正的Levy tempered stable 分布進行研究的基礎上,結合現(xiàn)實中金融資產收益分布的實際特征,分析Levy tempered stable 分布在構建模擬金融資產價格過程的Levy J ump 模型的優(yōu)勢。Belomestny等[10]提出跳躍擴散LIBOR市場模型，并且檢測了一個將局部協(xié)方差結構考慮在內的穩(wěn)定非參數(shù)校準算法，不僅能夠反映市場中突然跳躍行為，而且能夠成功地捕捉到利率衍生品市場中隱含波動率曲面的非厚尾特征。Ebelrein等[11]在LIBOR市場模型條件下考慮對信用風險進行建模，構建了以評級為基礎的LIBOR市場模型，并將時間非齊次Levy過程作為無違約和有違約前的LIBOR隨機過程。Ferreiro[12]將SABR模型與LIBOR市場模型相結合來捕捉市場中的波動率微笑和偏斜，提出一個與模擬退火算法類似的GPU集群并行技術來對模型進行校準。Leippold和Strmberg[13]對于利率上限期權和利率互換期權聯(lián)合定價提出了一種全時變Levy-LMM，充分考慮了金融危機對利率動態(tài)變化影響，更加準確地捕捉利率市場中隨機性和跳躍特征。鮑杰和葛靜[14]在最小卡方估計方法基礎上研究了高斯仿射利率模型的參數(shù)識別和估計問題，以標準化高斯模型為起點,從結構化模型和簡約化模型參數(shù)的函數(shù)關系出發(fā)研究高斯仿射模型的可識別性。劉志東等[15]采用CGMY和GIG過程對非高斯OU隨機波動率模型進行擴展，建立連續(xù)疊加Levy過程驅動的非高斯OU隨機波動率模型,并給出模型的散粒噪聲(Shot-Noise)表現(xiàn)方式與近似。

雖然LIBOR市場模型研究已取得許多進展，但仍然存在一定局限，主要包括兩方面：一是模型建立，大多數(shù)文獻建立單因子非標準化LIBOR市場模型，針對levy過程和隨機波動率有機融合方面還缺乏系統(tǒng)研究。二是模型參數(shù)校準估計，大都采用傳統(tǒng)估計方法，在非標準化LIBOR市場模型模型參應用中存在一定局限性。本文首先將隨機波動率和levy跳躍同時引入，建立多因子非標準化LIBOR市場模型；在此基礎上，運用非參數(shù)化相關矩陣蒙特卡羅模擬和自適應MCMC，對模型參數(shù)進行有效市場校準估計。主要內容包括五個部分：第一部分為引言，第二部分非標準化LIBOR市場模型的建立，第三部分為模型參數(shù)的市場校準方法，第四部分為模型的參數(shù)估計；最后為結束語。

2 理論模型的結構性擴展

2.1 隨機波動率LIBOR市場模型局限

圖1中是6種有不同到期日利率上限隱含波動率平值報價，隱含波動率在2010年前后波動非常劇烈，在2007年前一段時間內波動較為平緩，而標準LIBOR市場模型無法提供完全解釋。隨機波動率模型主要用于刻畫市場波動率微笑和偏斜等特征?？紤]到均值回復特征和解釋波動率偏斜等特征，很多學者都采用了Heston隨機波動率模型對LIBOR標準市場模型進行擴展(LMM-SV)。Heston隨機波動率模型下的歐式期權可導出顯式解析解，而且使其可在某些情況下很好解釋波動率集聚、長記憶性和隱含波動率的偏斜效應等，相比其他SV模型得到了更廣泛應用；但Heston模型不能生成跳過程，Heston-LMM模型無法對短期內標資產劇烈波動提供很好解釋。而且Rebonato和White(2009)[16]認為當標的資產的存續(xù)期較長時，Heston-LMM模型無法重現(xiàn)波動率微笑特征，從而也無法提供對波動率微笑的有效解釋。

圖1 利率上限隱含波動率的平值報價

2.2 理論模型選擇與確定

(1)模型組成框架

本文在此考慮將跳躍擴散現(xiàn)象和隨機波動率一起引入，建立更為有效的非標準化LIBOR市場模型。進一步分析認為， LIBOR利率集聚跳躍出現(xiàn)了一些新特征，即經常會在有限時間內發(fā)生充分多次數(shù)次跳躍，因而諸如Piosson跳躍等傳統(tǒng)模型很難刻畫。為此，將考慮運用Levy跳躍過程建立Levy-LIBOR市場模型(SVLEVY-LMM)。基本框架為：

1)在遠期測度Qk下，SVLEVY-LMM模型為：

(1)

2)在遠期測度Qj(Tj

dωk(t)dW(t)=ρdt

(2)

3)在遠期測度Qj(Tj>Tk)下，SVLEVY-LMM市場模型為：

(3)

(2)模型的兩種具體類型

Levy跳躍主要包括有限活動跳躍和無限活動跳躍兩種類型，本文主要針對正態(tài)逆高斯(簡記NIG)和方差伽馬(簡記VG)兩類常見無限跳躍Levy過程加以分析。

(4)

3 模型參數(shù)的市場校準

市場校準就是在模型基準參數(shù)集基礎上，將市場信息納入考慮范圍，進行模型參數(shù)估計的過程。遠期LIBOR利率動態(tài)過程由利率波動率γk(t)和利率間的相關系數(shù)矩陣ρk.i兩個重要參數(shù)決定；其中，波動率γk(t)決定了各個遠期利率在不同時點波動率,ρk.i則決定了各個遠期利率相關系數(shù)。因此，LMM校準就是通過精確估計這兩個參數(shù)使模型導出的利率衍生品價格和市場報價盡可能接近。

3.1 波動率期限結構及其市場校準

(1)瞬時波動率結構的基本類型

遠期LIBOR利率過程擴散式σi(t):[0,Tn+1]→Rd為遠期LIBOR的瞬時波動率，可被分解為：σi(t)=γi(t)ei(t) ,ei∈Rd；其中，ei為一組單位向量；γi:[0,Tn+1]→R+i=1,2,....,M。只有γi影響利率上限單元(caplet)價格而ei確定相關系數(shù)結構。利率波動率結構可表示為四種形態(tài)，本文基于實證結論及計算簡便對前兩種形態(tài)進行分析,(參看Belomestny和Schoenmakers[10]。

1) 分段常數(shù)瞬時波動率結構。假設遠期利率的波動率隨著區(qū)間(Ti-1,Ti)不同而有所差異，區(qū)間內則維持不變，表示為：σk(t)=σk,η(t),(η(t)是t后第一個利率支付期)，M個波動率結構見由表1：

2) 到期日依賴波動率結構。假設遠期利率波動率只受到期期限影響, 數(shù)學表示為σk(t)=σk-(η(t)-1)(η(t)是時間t之后的第一個利率支付期)，如表2說明。

表1 遠期LIBOR利率波動率結構σk,ηt

表2 遠期LIBOR利率波動率結構σk-(η(t)-1)

(2)波動率的市場校準過程

1)前期準備。一般地在市場上僅能獲取LIBOR利率都是1年以內即期利率，而通常則需要模擬遠期LIBOR利率大多為1年以上。常見做法是利用當前即期利率和互換利率推導出遠期利率；由于并非所有期限的互換利率都能在市場上獲取，所以需要利用非線性插補法補齊，得到光滑期初遠期互換曲線；然后利用公式(5)計算零息債券價格，并獲得期初遠期LIBOR利率。

(5)

2)遠期LIBOR利率瞬時波動率校準。Caplet隱含波動率完全依賴于第i期遠期LIBOR利率瞬時波動率，但Caplet報價無法在市場上直接觀察，所以可利用市場上平價(ATM)利率上限。市場上利率上限一般為波動率報價，而利率上限可視為一組擁有同一利率上限單一隱含波動率報價的歐式Caplet總和?？蛇\用公式(6)得到t=0利率上限單一隱含波動率和利率上限元即期隱含波動率：

(6)

3.2 遠期LIBOR利率的瞬時相關系數(shù)的校準方法

LIBOR相關系數(shù)矩陣除了一般相關矩陣特征，還需要滿足去相關性和等間隔相互依賴性隨間隔增加而增加兩個特殊性質。因此，對其校準具有一定復雜性。目前，LIBOR市場模型參數(shù)校準方法主要包括兩類：一是Rebonato’s逼近的聯(lián)合校準方法(可參考Rebonato[16]，二是蒙特卡羅模擬校準參數(shù)化相關性矩陣方法。本文將蒙特卡羅模擬校準擴展到非參數(shù)化相關性矩陣，構建采取非終期相關系數(shù)隨機從[0,1]區(qū)間內抽取，終期相關系數(shù)則結合相應波動率結構分別導出，步驟為：

(1)模型離散化方法

常用歐拉離散化方法實質上是對隨機過程中的隨機積分采用一階化逼近，因此針對遠期LIBOR市場模型常會產生一定偏差。為此，采用具有二階逼近特征的米爾斯坦離散化方法，形式如式為：

而終期相關系數(shù)通過式(7)：

(7)

(8)

(4)對于非終期相關系數(shù)，求解如下的等式約束最優(yōu)化問題：

(9)

(5)獲得終期相關系數(shù)。

3.3 模擬計算

運用2006年9月15日為起始日的市場數(shù)據(jù)進行實證分析。首先，構建期初遠期LIBOR利率；然后，計算Caplet波動率和遠期LIBOR利率瞬時波動率以及相關系數(shù)。

(1)期初遠期LIBOR利率構建

利用市場上流動性最好的互換利率和LIBOR利率構建遠期LIBOR利率曲線?；Q利率如表3：

表3 期初遠期互換利率

資料來源：Bloomberg ICAU報價系統(tǒng)(2006/09/15)

利用非線性插值法得到以3月期互換利率，期初零息債券價格可由(10)求得：

(10)

市場只有1年內LIBOR利率報價如表4。對于1年以上債券價格，則公式(6)得到。結果如表5：

表4 期初LIBOR利率

資料來源：Bloomberg ICAU報價系統(tǒng)(2006/09/15)

表5 10年期初各到期日的零息債券價格

然后利用(10)，求出相應期初LIBOR遠期利率，如表6所示。

(10)

(2)遠期LIBOR利率瞬時波動率的校準

據(jù)此計算各遠期利率波動率，再獲取caplet隱含波動率期限結構，即：

表6 期初遠期LIBOR利率

表7 Cap波動率報價

資料來源：Bloomberg ICAU報價系統(tǒng)(2006/09/15)

最后，利用公式(11)和不同瞬時波動率假設，得到遠期LIBOR利率瞬時波動率曲線(圖2)。ForwardVol1代表分段固定波動率結構，F(xiàn)orwardVol2代表到期日依賴波動率結構，F(xiàn)orwardVol3代表常數(shù)波動率結構。一般地，結果較好波動率表現(xiàn)為平滑而穩(wěn)定的波動率期限結構。由圖2，分段固定波動率結構校準結果較好。再使用校準誤差對校準生成相關系數(shù)矩陣進行比較分析，校準誤差由(11)計算。三種不同校準方法誤差與時間評價如表8。可知，方法1使用Rebonato提出的校準方法需要計算時間最短，但校準結果不盡如人意；方法2利用參數(shù)化相關系數(shù)矩陣進行校準，需要最長模擬時間；方法3基本滿足了相關系數(shù)矩陣特征，具有最小估計誤差和最好市場適應性。

(11)

圖2 期初遠期LIBOR利率瞬時波動率曲線

校準方法平均校準時間平均校準誤差Rebonato’s校準法6min,13sec8.34%蒙特卡羅模擬的參數(shù)化相關系數(shù)矩陣17min,45sec3.16%蒙特卡羅模擬的非參數(shù)化相關系數(shù)矩陣15min,32sec0.732%

4 模型參數(shù)的自適應馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬估計

由于SVLEVY-LMM復雜性程度不斷提高，MCMC得到廣泛應用。但MCMC的Metropolis-Hastings算法(M-H)和Gibbs抽樣，對于超高維空間數(shù)據(jù)較難構建具有良好收斂特性的轉移概率核?？紤]到LIBOR擴展模型涉及到高維聯(lián)合概率分布，運用一種新的自適應M-H抽樣算法來加以實現(xiàn)，建議分布根據(jù)抽樣過程中獲得目標分布的點進行實時調整。假設點X1,X2,...Xk已經抽樣，候選點Y通過建議分布qk(·|X1,X2,...,Xk)抽樣得到，建議分布依賴過去抽樣得到信息適時調整[17]。

4.1 模型的離散化過程

一般地，米爾斯坦離散化方法具有更好的模擬效果。但是由于模型包含了隨機波動率和levy兩類擴展，在運用該方法時將會遇到計算處理方面困難；因此，考慮運用歐拉離散化方法加以實現(xiàn)。

(1)模型一般離散化框架

(12)

(2)兩種隨機波動率Levy-LIBOR模型的離散化

1)方差伽馬跳躍過程(VG) ，模型的離散化形式可表示為：

(13)

2)正態(tài)逆高斯過程(SVNIG)，模型的離散化形式可表示為：

(14)

4.2 模型的MCMC參數(shù)估計過程

在此，以SVVG模型為例加以說明，波動率狀態(tài)變量ht的聯(lián)合后驗分布可表示為：

p(ht|ht-Δ,ht+Δ,Θ,x)∝

p(ht|ht-Δ,Θ)p(ht+△|ht,Θ)p(xt|ht,Θ)

利用自適應M-H進行抽樣，先初始化參數(shù)集合Θ0和h0，MCMC算法步驟：

(8)利用并行化自適應M-H算法，從p(ht|ht-Δ,ht+Δ,Θ,x)抽取ht，具體步驟：

1)設置ht的初始值h0；2)設建議分布為N(ht-Δ,Ct)，利用隨機游走M-H抽樣算法生成K條并行獨立馬爾科夫(MC)鏈；3) 分別計算各條MC鏈接受新狀態(tài)比例，設為qt；4) 分別生成qt判斷，若qt落入[a-ε,a+ε]內，則h=ht，退出；若qt?[a-ε,a+ε]，則轉入下一步；5)若t>2，且|qt-a|<|qt-1-a|，則置h=ht-Δ；6)在單獨MC鏈上，分別對建議分布方差進行調整，利用MC鏈建議分布生成新建議分布，反饋于運行馬爾科夫鏈；然后利用新生成值作為初始值反復迭代，更新參數(shù)，迭代m次。

4.3 模擬計算

(1)數(shù)據(jù)選擇

2006年9月15日為分界點，假設Δ=1/360,t=0，F(xiàn)1(0)、F1(0+Δ)、F1(0+2Δ)...,F1(0+90Δ)為估計需要數(shù)據(jù)。

表9 各計息日下的遠期LIBOR利率

(2)模型參數(shù)估計結果

首先需要討論參數(shù)先驗分布假設問題。由遍歷性定理可知，平穩(wěn)分布與初始分布時沒有直接關系， t時點狀態(tài)只與t-1時點狀態(tài)有關；當經過迭代后，各個狀態(tài)邊際分布都成平穩(wěn)分布時，就稱該馬爾科夫鏈收斂。所以，為了計算簡單，在此采用Mikkelsen P[18]所提出的設置方式。

表10 SVVG模型各參數(shù)估計值及相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)

計算：ξ=1.1805;κ=5.9292;θ=0.1237;θVG=-0.03162;σVG=0.3861;?VG=0.0025;模型變?yōu)椋?/p>

其中，由Gt～Γ(t/?VG,1/?VG)，得Gt～Γ(400t,400)。

Γ(5,0.5)，βNIG～U(-3,3)，設φ=kΔ;a=kθΔ;Δ=1/360;φ～β(2.5,150)，a～β(2,1000)，1/τ2～Γ(0.4,1.3)；迭代2萬次，模型各參數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表11所示。

表11 SVNIG模型各參數(shù)估計值及相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)

計算得：ξ=1.3659;κ=5.155;θ=0.1465;αNIG=2.116;βNIG=-0.07542;δNIG=0.1781;模型為：

4.3 模型模擬與比較

由于模型隨機特性，對生成路徑模擬5000次，求模擬路徑均值。模擬三月后遠期LIBOR利率。從圖3中看到，當模擬次數(shù)為5000次時，遠期LIBOR利率模擬路徑已經基本收斂。

為更好判斷模擬效果，取模擬路徑均值，計算每步平均利率與實際利率的差的平方，并取均值，計算步驟如下：1)LIBOR遠期利率模擬均值：h=(F1+F2+...+Fn)/n，其中n代表模擬次數(shù)，F(xiàn)k,n代表第i次的第k日模擬值。2)LIBOR遠期利率的模擬絕對離差：c=abs(h-L)，其中L表示真實利率，如圖4。各個模型假設的蒙特卡羅模擬絕對誤差和相對誤差如表12。實驗證明，SV-LMM比標準LMM能更精確描述遠期LIBOR利率變化趨勢。而與有限跳躍過程比， SVVG-LMM 和SVNIG-LMM能更好模擬遠期LIBOR利率動態(tài)變化特征。

圖3 遠期LIBOR利率的蒙特卡羅模擬結果

圖4 遠期LIBOR利率絕對離差值的蒙特卡羅模擬結果

模型誤差絕對誤差相對誤差LMM0.00113842.123%SV-LMM0.00078961.473%SVVG-LMM0.000060860.1135%SVNIG-LMM0.000096320.1796%

5 結語

理論與實證研究表明，具有無限跳躍特征的Levy過程能更好模擬遠期LIBOR利率動態(tài)變化特征；非參數(shù)化相關系數(shù)矩陣的蒙特卡羅模擬方法具有最好校準效果，非參數(shù)化相關系數(shù)矩陣具有最小的估計誤差和最佳的市場適應性；并行化自適應MCMC方法比普通的MCMC方法具有更高的收斂效率。但是，由于模型結構較為復雜，研究內容還需在兩個方面進一步完善與擴展。一是本文僅對VG和NIG兩種Levy跳躍模型做了實證研究，對其他模型研究尚待進一步探討；為計算簡便，在計算中假設模型方程中兩個隨機過程的相關系數(shù)為0，對不相關性假設需要做進一步的改善。

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