楊 侃，田雙亮

（1.西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州，730030；2.西北民族大學(xué)動(dòng)態(tài)流數(shù)據(jù)計(jì)算與應(yīng)用實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州，730030）

一、引言

廣告作為一種被大眾認(rèn)可的產(chǎn)品信息傳播方式廣泛存在于供應(yīng)鏈的多個(gè)環(huán)節(jié)之中，在供應(yīng)鏈管理中供應(yīng)鏈廣告是一種不可獲缺的營(yíng)銷(xiāo)機(jī)制和協(xié)調(diào)方式［1］。通過(guò)對(duì)眾多文獻(xiàn)研讀和分析發(fā)現(xiàn)，供應(yīng)鏈廣告問(wèn)題中涉及的主要方面有供應(yīng)鏈成員廣告活動(dòng)參與水平、價(jià)格以及供應(yīng)鏈利潤(rùn)及其分配等。如Huang 和 Li［2］，Yue等［3］，Szmerekovsky 和 Zhang［4］，Xie和Neyret［5］采用非線性市場(chǎng)需求函數(shù)的形式討論供應(yīng)鏈廣告博弈問(wèn)題。Xieab和Wei（2009）［6］，Kunter［7］，J?rgensen 和 Zaccour［8］采用線性市場(chǎng)需求函數(shù)的形式討論供應(yīng)鏈廣告博弈問(wèn)題。在兩類(lèi)市場(chǎng)需求函數(shù)中，都無(wú)一例外的論了基本市場(chǎng)需求和價(jià)格敏感程度對(duì)供應(yīng)鏈成員廣告參與水平、價(jià)格以及供應(yīng)鏈利潤(rùn)的影響?？梢?jiàn)基本市場(chǎng)需求和價(jià)格敏感程度是決定供應(yīng)鏈成員廣告策略的重要因素。

然而，無(wú)論采用何種形式的市場(chǎng)需求函數(shù)，大多數(shù)文獻(xiàn)都是將基本市場(chǎng)需求和價(jià)格敏感程度視為非模糊數(shù)值。而實(shí)際營(yíng)銷(xiāo)過(guò)程中由于消費(fèi)者基本需求的認(rèn)知偏差、價(jià)格敏感程度及其本身的模糊性，此類(lèi)參數(shù)的大小難以用具體的數(shù)值度量。因此，本文以單個(gè)零售商和單個(gè)制造商組成的二級(jí)供應(yīng)鏈模型為背景，用三角模糊數(shù)來(lái)刻畫(huà)基本市場(chǎng)基本需求和價(jià)格敏感程度，運(yùn)用模糊截集理論和博弈理論，在模糊環(huán)境下，討論零售商和制造商納什博弈模型中的最優(yōu)廣告策略和最優(yōu)期望利潤(rùn)問(wèn)題。

二、三角模糊集理論及其相關(guān)性質(zhì)

Zadeh提出的模糊集理論是一種處理不確定性現(xiàn)象的有力工具［9］。此后，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上不斷發(fā)展和完善模糊集理論，參考相關(guān)文獻(xiàn)可得到以下相關(guān)定義和性質(zhì)。

定義1［10］設(shè)有一個(gè)三角模糊數(shù)(TFN)u?=(u1,u2,u3)，其中，u1＜u2＜u3，u1,u3分別是u的上下界，u2為u的最可能取值，如圖1所示。u?的隸屬度函數(shù)定義為：

當(dāng)u1＞0，則稱(chēng)u?為正則三角模糊數(shù)。如果u1=u2=u3，則三角模糊數(shù)u?退化成非模糊數(shù)u。

圖1 三角模糊數(shù)及其對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)

定義2［11］設(shè)u?為論域U上的一個(gè)模糊子集，任取λ∈[0,1]，記u?λ={x|μu?(x)≥λ}，稱(chēng)u?λ為u? 的λ水平集，其中λ稱(chēng)為置信水平。u?λ可表示為u?λ=R:μu?(x)≥λ} 分別為u?λ的左邊界和右邊界。對(duì)于，三角模糊數(shù)u?=(u1,u2,u3)的λ水平集(1-λ)u3。

根據(jù)定義1、定義2可得以下性質(zhì)：

性質(zhì)1 設(shè)u?=(u1,u2,u3)為一個(gè)三角模糊數(shù)，對(duì)于 ?λ∈[0，1]，當(dāng)x?=(u?)n，y?=ku?時(shí)，有

性質(zhì) 2 設(shè)u?=(u1,u2,u3)，v?=(v1,v2,v3)為兩個(gè)三角模糊數(shù)，對(duì)于 ?λ∈[0,1]，當(dāng)x?=u?+v? ，y?=u? -v?時(shí)，有

性質(zhì) 3 設(shè)u?=(u1,u2,u3)，v?=(v1,v2,v3)為兩個(gè)三角模糊數(shù)，對(duì)于?λ∈[0,1]，k1,k2為兩個(gè)非零常數(shù)且 (k1＞0)∧(k2＞ 0)，當(dāng)時(shí)，有

定義 3［12］設(shè)u?=(u1,u2,u3)是一個(gè)三角模糊數(shù)，，則三角模糊數(shù)期望為E[u?]=

定義 4［13］設(shè)u?=(u1,u2,u3)，v?=(v1,v2,v3)為兩個(gè)三角模糊數(shù)，，則有?a,b∈R，使得E[au?+bv?]=aE[u?]+bE[v?]。

三、博弈模型建立和求解

以單個(gè)零售商和單個(gè)制造商組成的二級(jí)供應(yīng)鏈模型為背景，制造商的決策變量為產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格w和全國(guó)性廣告活動(dòng)參與水平A，零售商的決策變量為產(chǎn)品零售價(jià)格p和地方性廣告活動(dòng)參與水平a，為了便于分析，假設(shè)零售商和制造商掌握的市場(chǎng)需求信息是對(duì)稱(chēng)的，它們之間的決策行為都是單周期內(nèi)進(jìn)行。參照文獻(xiàn)［5，6］中相關(guān)假設(shè)和模型，市場(chǎng)需求函數(shù)形式為：

其中α為正的常數(shù)，其表示為市場(chǎng)基本需求，β為正的常數(shù)，表示為價(jià)格敏感程度；kr為正的常數(shù)，表示為零售商地方性廣告活動(dòng)的效應(yīng)因子；km為正的常數(shù)，為制造商地全國(guó)性廣告活動(dòng)的效應(yīng)因子。為確保有一個(gè)非負(fù)的市場(chǎng)需求函數(shù)，假定概率P((α-βp)＜0)=0 。

然而，在現(xiàn)實(shí)的廣告活動(dòng)過(guò)程中，由于消費(fèi)者基本需求的認(rèn)知偏差，價(jià)格敏感程度及其本身的模糊性，市場(chǎng)基本需求與價(jià)格敏感程度往往表現(xiàn)出模糊性。因此，假設(shè)市場(chǎng)需求函數(shù)Q(p,a,A)中參數(shù)α和β是模糊的，其中α?=(α1,α2,α3)(0＜α1＜α2＜α3)和同時(shí)假設(shè)α? 和β?保持同一置信水平λ。因此，可得到模糊環(huán)境下的市場(chǎng)需求函數(shù)為：

由上述市場(chǎng)需求函數(shù)，可得零售商和制造商模糊利潤(rùn)函數(shù)分別為：

在納什博弈模型中，遵從自身利益最大化原則下零售商確定產(chǎn)品零售價(jià)格p和地方性廣告活動(dòng)參與水平a，制造商確定產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格w和全國(guó)性廣告活動(dòng)參與水平A。假設(shè)所有的博弈參與者都會(huì)得到一個(gè)非負(fù)的期望利潤(rùn)，因?yàn)槿魏我环降钠谕麧?rùn)不大于零，則該模型就不具有可行性。結(jié)合定義3、4可得納什博弈模型中零售商和制造商期望利潤(rùn)博弈模型分別為：

借鑒文獻(xiàn)［5，14，15］中對(duì)相關(guān)函數(shù)的處理方法，當(dāng)制造商的期望利潤(rùn)隨著批發(fā)價(jià)格w增加而遞增，當(dāng)批發(fā)價(jià)格取得最大值 時(shí)制造商期望利潤(rùn)最大，而此時(shí)零售商的單位邊際利潤(rùn)為零，在這種情況下零售商就失去了銷(xiāo)售產(chǎn)品和投資廣告的動(dòng)力，所以，零售商單位利潤(rùn)必須大于等制造商的單位利潤(rùn)。因此，要求滿足p-w≥w，即w≤p/2，所以令w=p/2。由（1）式、（2）式目標(biāo)函數(shù)及其一階最優(yōu)條件和可得到零售商和制造商均衡策略分別為(p,a)和(w,A)。其中

顯然，H2＞0，H2是負(fù)定矩陣。因此，制造商期望利潤(rùn)關(guān)于 (w,A)是凹函數(shù)，模型（2）存在唯一的均衡最優(yōu)解(w*,A*)，其中

綜上，零售商和制造商的最優(yōu)期望利潤(rùn)分別為：

四、數(shù)值算例和分析

根據(jù)以上運(yùn)算規(guī)則和算式計(jì)算得到的供應(yīng)鏈成員最優(yōu)策略和最優(yōu)期望利潤(rùn)，本部分使用數(shù)值算例的方法來(lái)分析相關(guān)參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)策略的影響以及模糊參數(shù)變動(dòng)對(duì)最優(yōu)期望利潤(rùn)的影響。

基本市場(chǎng)需求α?和價(jià)格敏感程度的語(yǔ)義表達(dá)式與其三角模糊變量之間的關(guān)系如表1所示。

表1 語(yǔ)義表達(dá)式和三角模糊數(shù)之間的關(guān)系

根據(jù)表1，可得到基本市場(chǎng)需求α?=(300,500,800)，價(jià)格敏感程度，根據(jù)定義2和定義3可得的λ水平截集和期望值分別為：

（一）參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)策略的影響

根據(jù)表1可知，市場(chǎng)基本需求α?=(300,500,800)，價(jià)格敏感程度β?=(30,60,80)，利用MATLAB12驗(yàn)證在模糊參數(shù)低值和高值范圍內(nèi)，價(jià)格和廣告活動(dòng)參與水平變化情況，如圖2和圖3所示。

圖2 價(jià)格變化

圖2表示在三角模糊環(huán)境下，市場(chǎng)基本需求低值和高值分別?。?00，800］，價(jià)格敏感程度低值和高值分別?。?0，80］時(shí)，批發(fā)價(jià)格和零售價(jià)格變化情況。處于較低位置的圖形表示批發(fā)價(jià)格變化情況，較高位置的圖形表示零售價(jià)格變化情況，它們之間的空間高度差額為零售商邊際利潤(rùn)的大小。由圖2可知，價(jià)格與市場(chǎng)基本需求正相關(guān)，與價(jià)格敏感程度負(fù)相關(guān)，并且，隨著模糊參數(shù)取值位置的移動(dòng)，零售商邊際利潤(rùn)大小也不斷變化，當(dāng)市場(chǎng)基本需求取高值，價(jià)格敏感程度取低值時(shí)，零售商邊際利潤(rùn)取得最大值。因此，針對(duì)價(jià)格敏感的產(chǎn)品，如價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)比較低、價(jià)格信息傳遞較快以及品牌形象好的產(chǎn)品等，供應(yīng)鏈決策者可適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行價(jià)格折扣，使得消費(fèi)者形成價(jià)格知覺(jué)，以期獲得更多利潤(rùn)。

圖3 零售商廣告活動(dòng)參與水平變化

圖3表示在三角模糊環(huán)境下，市場(chǎng)基本需求低值和高值分別?。?00，800］，價(jià)格敏感程度低值和高值分別?。?0，80］，零售商廣告活動(dòng)效應(yīng)因子kr分別取0.5、1.5和2.5時(shí)，零售商地方性廣告活動(dòng)參與水平a的變化情況。由圖3可知，當(dāng)kr=0.5時(shí)，a處于一個(gè)較低位置，隨著kr取值的增加，a也隨之遞增，零售商廣告活動(dòng)效應(yīng)因子kr與零售商地方性廣告投入水平a正相關(guān)。制造商全國(guó)性廣告參與水平與之相似，在此不作贅述。

結(jié)合(p*,a*)和(w*,A*)，通過(guò)對(duì)圖2和圖3的分析可知：

1.在納什博弈模型中，產(chǎn)品零售價(jià)格是其批發(fā)價(jià)格的2倍，價(jià)格與市場(chǎng)基本需求正相關(guān)，與價(jià)格敏感程度負(fù)相關(guān)，與廣告活動(dòng)效應(yīng)無(wú)關(guān)。模糊環(huán)境下，供應(yīng)鏈成員可參考市場(chǎng)已有信息，對(duì)利潤(rùn)預(yù)測(cè)和廣告策略制定進(jìn)行控制與調(diào)整。

2.在其他參數(shù)大小相同的條件下，廣告活動(dòng)效應(yīng)與廣告活動(dòng)參與水平正相關(guān)，廣告活動(dòng)效應(yīng)大小直接決定了供應(yīng)鏈成員參與廣告活動(dòng)的水平和積極性。此外，對(duì)比A?和a?可知，若km=kr，則制造商全國(guó)性廣告活動(dòng)參與水平與零售商地方性廣告活動(dòng)參與水平相同，若km＞kr，則制造商全國(guó)性廣告活動(dòng)參與水平大于零售商地方性廣告活動(dòng)參與水平。若km＜kr，則制造商全國(guó)性廣告活動(dòng)參與水平小于零售商地方性廣告活動(dòng)參與水平。

（二）模糊參數(shù)變動(dòng)對(duì)最優(yōu)期望利潤(rùn)的影響

根據(jù)表2與表3，利用MATLAB12驗(yàn)證參數(shù)α?的低值與高值數(shù)值變化對(duì)零售商和制造商最優(yōu)期望利潤(rùn)變化的影響情況，如圖4和圖5所示

圖4 零售商最優(yōu)期望利潤(rùn)變化情況

圖5 制造商最優(yōu)期望利潤(rùn)變化情況

表2 參數(shù)α?和低值變化情況

表2 參數(shù)α?和低值變化情況

參數(shù)α? β? α? β?數(shù)值變化（480,500,800）（57,60,80）（380,500,800）（43,60,80）（460,500,800）（54,60,80）（360,500,800）（39,60,80）（440,500,800）（51,60,80）（340,500,800）（36,60,80）（420,500,800）（48,60,80）（320,500,800）（33,60,80）（400,500,800）（45,60,80）（300,500,800）（31,60,80）

表3 參數(shù)α?和高值變化情況

表3 參數(shù)α?和高值變化情況

參數(shù)α? β? α? β?數(shù)值變化（300,500,770）（30,60,78）（300,500,620）（30,60,68）（300,500,740）（30,60,76）（300,500,590）（30,60,66）（300,500,710）（30,60,74）（300,500,560）（30,60,64）（300,500,680）（30,60,72）（300,500,530）（30,60,62）（300,500,650）（30,60,70）（300,500,500）（30,60,60）

通過(guò)表2、表3，圖4和圖5的分析可知：

1.經(jīng)過(guò)一系列運(yùn)算規(guī)則和算式計(jì)算，模糊數(shù)值能夠轉(zhuǎn)化為非模糊數(shù)值并能與之對(duì)比分析，非模糊數(shù)值是模糊數(shù)值的一種特殊情況，而模糊數(shù)值更具有普遍意義。因此，在缺少足夠多的歷史數(shù)據(jù)和市場(chǎng)信息情況下，供應(yīng)鏈成員用模糊集描述市場(chǎng)需求函數(shù)中參數(shù)的不確定性亦可求得各自的均衡最優(yōu)策略，這也更加符合實(shí)際情況。

2.相對(duì)于非模糊數(shù)值，模糊數(shù)值條件下，供應(yīng)鏈成員最優(yōu)期望利潤(rùn)水平更高，即在模糊環(huán)境下供應(yīng)鏈成員各自選擇最優(yōu)廣告策略時(shí)，獲得的最優(yōu)期望利潤(rùn)大于非模糊環(huán)境下的最優(yōu)利潤(rùn)。這為供應(yīng)鏈成員在實(shí)際營(yíng)銷(xiāo)活動(dòng)過(guò)程中，根據(jù)模糊市場(chǎng)需求環(huán)境，制定和選擇最優(yōu)策略提供了理論依據(jù)。

3.相對(duì)于模糊參數(shù)高值變化，模糊參數(shù)低值變化時(shí)，供應(yīng)鏈成員最優(yōu)期望利潤(rùn)曲線更加陡峭，變化速度更快，即參數(shù)低值變化對(duì)供應(yīng)鏈成員期望利潤(rùn)的影響更加敏感。因此，供應(yīng)鏈成員在預(yù)測(cè)和判斷相關(guān)參數(shù)變化時(shí)，如果其是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，可采取與上下游市場(chǎng)主體信息共享、一體化策略和成本分?jǐn)偟群献鞣绞剑怪涌焖?、?zhǔn)確地預(yù)測(cè)和判斷模糊參數(shù)低值變化范圍，從而減少不確定性風(fēng)險(xiǎn)帶來(lái)的損失。

五、結(jié)語(yǔ)

本文在模糊參數(shù)條件下，運(yùn)用模糊截集理論和博弈理論，討論了單個(gè)零售商和單個(gè)制造商組成的二級(jí)供應(yīng)鏈廣告納什博弈問(wèn)題，通過(guò)分析得到了供應(yīng)鏈成員最優(yōu)策略和最優(yōu)期望利潤(rùn)，對(duì)相關(guān)參數(shù)與最優(yōu)策略關(guān)系進(jìn)行了分析，最后通過(guò)調(diào)整模糊參數(shù)低值和高值，對(duì)比說(shuō)明了模糊參數(shù)低值與高值變化對(duì)最優(yōu)期望利潤(rùn)的影響。研究結(jié)果表明：

第一，產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格、零售價(jià)格與市場(chǎng)基本需求呈正相關(guān)，與價(jià)格敏感程度呈負(fù)相關(guān)，與廣告活動(dòng)效應(yīng)無(wú)關(guān)。制造商全國(guó)性廣告活動(dòng)參與水平、零售商地方性廣告活動(dòng)參與水平與市場(chǎng)基本需求和其廣告活動(dòng)效應(yīng)呈正相關(guān)，與價(jià)格敏感程度呈負(fù)相關(guān)。

第二，雖然市場(chǎng)基本需求和價(jià)格敏感程度參數(shù)是模糊的，但決策結(jié)果是清晰的，非模糊數(shù)值是模糊數(shù)值的一種特殊情況，模糊數(shù)值更具有普遍意義。并且模糊環(huán)境下供應(yīng)鏈成員各自選擇最優(yōu)廣告策略時(shí)，獲得的最優(yōu)期望利潤(rùn)大于非模糊環(huán)境下的最優(yōu)利潤(rùn)。

第三，模糊參數(shù)低值變化對(duì)供應(yīng)鏈成員的期望利潤(rùn)的影響比高值變化更加敏感，供應(yīng)鏈決策者可根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好類(lèi)型選擇合適的策略，使之更加準(zhǔn)確、快速地預(yù)測(cè)和判斷模糊參數(shù)低值和高值變化情況，降低不確定性風(fēng)險(xiǎn)和減少不必要的損失。

然而，以上結(jié)論是在需求函數(shù)簡(jiǎn)化的條件下討論的，如果改變需求函數(shù)，其對(duì)最優(yōu)廣告策略產(chǎn)生那些影響，實(shí)際的廣告活動(dòng)中，雙方掌握的市場(chǎng)需求信息是不對(duì)稱(chēng)的，此時(shí)雙方廣告最優(yōu)策略和最優(yōu)期望利潤(rùn)將會(huì)怎么變化，以及多個(gè)零售商或多個(gè)制造商之間的廣告博弈問(wèn)題，將是下一步研究的主要內(nèi)容。

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