溫與寒

“數(shù)學(xué)廣角”是新“課標(biāo)”人教版教材中增設(shè)的教學(xué)模塊，其內(nèi)容的呈現(xiàn)采用與生活息息相關(guān)的、生動有趣的事例展開，通過學(xué)生可以理解的形式，系統(tǒng)而有步驟地滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法。從簡單的分類思想到較為抽象的優(yōu)化、運(yùn)籌思想，體現(xiàn)出從具體到抽象，螺旋上升的思維層次，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又在潛移默化中循序漸進(jìn)地完成了數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出：“讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)，能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識地滲透一些基本的思想方法，不僅能使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，懂得數(shù)學(xué)的價值，學(xué)會用數(shù)學(xué)思考和解決問題，還可以把知識的學(xué)習(xí)與能力的培養(yǎng)、智力的發(fā)展有機(jī)地統(tǒng)一起來。作為教師不僅要把滲透數(shù)學(xué)思想方法的意識落實到每一節(jié)課的教學(xué)當(dāng)中，更要在“數(shù)學(xué)廣角”這一專門的單元中做好這方面的文章。

那么應(yīng)該如何在數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法呢？筆者認(rèn)為應(yīng)該從以下幾方面著眼，讓“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)成為對教師及學(xué)生思維本質(zhì)的探尋。

策略一：根植歷史淵源，挖掘數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)有著極其豐厚的文化淵源，其自身所蘊(yùn)含的鮮活文化背景以及與生活千絲萬縷的聯(lián)系都是數(shù)學(xué)文化最好的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)文化不應(yīng)從數(shù)學(xué)之外去尋找，其最內(nèi)在的文化特性應(yīng)該是數(shù)學(xué)知識本身，同時數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵也寓于它的歷史之中。例如第七冊中的“田忌賽馬”，第八冊中的“雞兔同籠”問題都是極具歷史淵源的數(shù)學(xué)問題，教師一定要深入挖掘其文化背景，做一些必要的補(bǔ)充。我們在實際的教學(xué)中既可以把有關(guān)數(shù)學(xué)文化的知識放在課前參與的部分，讓學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)、看書等途徑了解，也可以在課上進(jìn)行分享：“雞兔同籠”最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中，現(xiàn)傳版本的《孫子算經(jīng)》共三卷，卷下31題，可謂是后世“雞兔同籠”的始祖，后來傳到日本，變成“龜鶴算”。在教師潛移默化的熏陶下，這種文化的積淀會自然而然地形成并留存下來，成為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一部分。

策略二：運(yùn)用多種手段，貫穿教學(xué)過程

1.在操作交流中親歷過程，尋求感悟思想方法。

當(dāng)教材通過日常生活中最常見的事例呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的時候，將大大激發(fā)學(xué)生探索的興趣，此時教師再通過實驗、觀察、操作、推理等數(shù)學(xué)活動組織學(xué)生思考與交流，學(xué)生自然而然地就會在親歷活動的過程中對于數(shù)學(xué)思想方法有所感悟。人教版第七冊的數(shù)學(xué)廣角“合理安排時間”體現(xiàn)了運(yùn)籌思想，在教學(xué)中，教師運(yùn)用教材中創(chuàng)設(shè)的情境，通過設(shè)計“如何讓李阿姨盡快喝到茶”的方案，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，再與同伴討論交流，動手操作擺畫流程圖，使其自主發(fā)現(xiàn)有些事情要按順序做，而有些事情可以同時做，從而形成最佳的方案，最后展示學(xué)生的方案，比較區(qū)別不同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)化的方法。教材接著設(shè)計了為客人烙餅的情境。在探索烙餅問題時，“烙3張餅的最佳方法”是本課的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，而突破這個難點(diǎn)的方式仍然是動手操作，借助學(xué)具讓學(xué)生通過擺圓片觀察、比較、記錄、交流，發(fā)現(xiàn)“每次鍋里同時烙2張餅，所用時間最短”的最佳方法。在此基礎(chǔ)上通過觀察表格，發(fā)現(xiàn)從2張餅開始“烙餅時間=餅張數(shù)×每面所用時間”的規(guī)律。就這樣從安排家務(wù)順序入手，到探索烙餅的過程及最佳方法，再到解決現(xiàn)實生活中常見的問題，學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—解決問題—揭示規(guī)律—建構(gòu)模型的全過程，而在操作的過程中學(xué)生對于運(yùn)籌思想也有了更深的體會。

2.在同一素材中著力挖掘，體會多種思想方法。

數(shù)學(xué)知識從來都不是單擺浮擱的，它們是有機(jī)的整體，相互聯(lián)系而又相輔相承，數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的思想方法當(dāng)然也不是單一的，很多時候在同一素材中往往蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想方法。例如四年級下冊的“植樹問題”中就蘊(yùn)含著化歸、建模、一一對應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想方法。解決植樹問題的時候，學(xué)生通過舉例、畫圖等形式自主探究棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，就是化歸與數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。在教學(xué)時先通過交流題中的兩個條件，分散難點(diǎn)；再由學(xué)生自主嘗試，引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)探究欲望；接著設(shè)計相關(guān)操作活動，嘗試從簡單入手，用“把大數(shù)變小數(shù)”的方法進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，滲透“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想。在體會棵數(shù)與間隔數(shù)三種情況的時候，學(xué)生會根據(jù)棵數(shù)與間隔數(shù)之間一一對應(yīng)的關(guān)系發(fā)現(xiàn)：兩端都種時，最后一棵樹沒有間隔與之相對，所以棵數(shù)比間隔數(shù)多1；而一端種樹時，棵數(shù)與間隔數(shù)剛好一一對應(yīng)，所以它們是相等的；兩端都不種時，則是最后的一個間隔沒有樹與之相對應(yīng)，所以棵數(shù)比間隔數(shù)少1。最后再運(yùn)用這樣的方法解決其他相關(guān)問題。一系列的設(shè)計注重了多種數(shù)學(xué)思想方法的滲透，環(huán)環(huán)相扣，在知其所以然的過程中完成了多種數(shù)學(xué)思想方法的體悟。

3.在眾多素材中抓住聯(lián)系，漸進(jìn)培養(yǎng)思想方法。

在“數(shù)學(xué)廣角”的整體編排上，也體現(xiàn)了知識之間的融會貫通，體現(xiàn)出一種“大教材觀”。例如關(guān)于排列組合的問題，教材的編排由低年級的服裝、早餐搭配到中年級數(shù)字的搭配，再到高年級球賽中賽制對陣的問題，逐步將排列組合的知識綜合運(yùn)用起來解決實際問題，體現(xiàn)了循序漸進(jìn)的編排意圖。低年級中的找規(guī)律問題要求學(xué)生有序思考，高年級的運(yùn)籌對策論同樣要求學(xué)生有序思考，同一種思想方法的培養(yǎng)貫穿教材設(shè)計的始終。教材的安排與實際生活的聯(lián)系也愈發(fā)緊密，作為教師在教學(xué)中既不能越位，又不能囿于表層，要準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)，抓住知識間的聯(lián)系，才能有計劃地漸進(jìn)式地培養(yǎng)思想方法，從而展開更為有效的教學(xué)。

4.在有意無意中滲透融合，提升梳理思想方法。

對于數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)要滲透于數(shù)學(xué)知識發(fā)生、形成與發(fā)展的全過程，做到“潤物細(xì)無聲”。在解決問題方法的對比之中，教師隨機(jī)的評價之中，教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中都可以滲透，體現(xiàn)教師對于教材深入的理解和對教學(xué)時機(jī)的準(zhǔn)確把握。當(dāng)然也要有意識地提升與梳理，在每一個環(huán)節(jié)結(jié)束后，不僅要總結(jié)出知識上的規(guī)律，更要對于數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行恰到好處的點(diǎn)撥。例如五年級下冊的“找次品”，教材提供了基本的教學(xué)思路：先研究在3個零件中找次品，再研究在8個和9個中找次品的方法，然后延伸到更多，最終揭示規(guī)律。在解決問題的過程中由簡單數(shù)據(jù)入手，用符號記錄過程，將思維的過程外顯化。在每一環(huán)節(jié)結(jié)束后都要有意識地幫助學(xué)生提升與梳理，通過觀察、對比、總結(jié)、提煉數(shù)學(xué)思想方法，由淺入深地明確最優(yōu)方案暨把待測物品分為3份，盡量平均分，這是為了最快找到次品所在的那一份；根據(jù)表格中數(shù)據(jù)的記錄分析出解決此類問題的規(guī)律。這種有意識地提升與梳理，必將使學(xué)生的數(shù)學(xué)思路更為明晰。

策略三：聯(lián)系生活實踐，關(guān)注拓展開發(fā)

在各學(xué)段“數(shù)學(xué)廣角”單元中，教材提供了諸多素材，作為教師既要充分理解教材，同時又不能將思維固化于教材之中，要善于在生活實踐中尋找并開發(fā)教學(xué)資源，在鞏固已形成的思想方法的同時，拓展新的數(shù)學(xué)思想方法，從而不斷豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如將“植樹問題”拓展為敲鐘問題、鋸木問題、樓層問題；將“雞兔同籠問題”拓展為龜鶴問題、分組問題、幣值問題、運(yùn)輸中的破損問題、答題中對錯題目數(shù)量的問題；將容斥問題由兩組數(shù)據(jù)拓展為三組數(shù)據(jù)，將空心方陣問題拓展為兩層甚至三層。還可以根據(jù)學(xué)生情況拓展一些新的數(shù)學(xué)問題，適當(dāng)增加難度，為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好充分的準(zhǔn)備。

總之，在“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)中對于數(shù)學(xué)思想方法的滲透，教者應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在問題解決中感悟，在合作探究中體驗，在鞏固運(yùn)用中提煉。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過：數(shù)學(xué)的核心應(yīng)該是越過這些表面知識的內(nèi)在問題、思想和方法，問題是數(shù)學(xué)的心臟，思想是數(shù)學(xué)的靈魂，方法是數(shù)學(xué)的行為。掌握科學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法對提升學(xué)生的思維品質(zhì)，對數(shù)學(xué)學(xué)科的后續(xù)學(xué)習(xí)，對其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，乃至學(xué)生的終身發(fā)展都有著十分重要的意義。“數(shù)學(xué)廣角”是新教材的有機(jī)組成部分，是學(xué)生思維訓(xùn)練的材料，每一位教師都要真正發(fā)揮數(shù)學(xué)廣角滲透數(shù)學(xué)思想方法的作用，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到切實、有效的發(fā)展。

（作者單位：哈爾濱市南崗區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）

編輯/魏繼軍endprint