付玉桂

摘 要：圓做為一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)或繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，就是要求從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來(lái)研究圓，通過(guò)“對(duì)稱(chēng)、運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來(lái)探索與發(fā)現(xiàn)圓及相關(guān)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過(guò)程中滲透空間觀念和合情推理.在變化中找到不變的性質(zhì)是解決“動(dòng)圓”問(wèn)題的基本思路，在動(dòng)圓的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，是做推理計(jì)算的基礎(chǔ)，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)各塊知識(shí)，才能突破認(rèn)知的障礙.

關(guān)鍵詞：動(dòng)圓；變化；求解策略

一、圖解法解決動(dòng)圓問(wèn)題

例1 如圖1，矩形ABCD的長(zhǎng)為6，寬為3，點(diǎn)O1為矩形的中心，⊙O2的半徑為1，O1O2⊥AB于點(diǎn)P，O1O2=6.若⊙O2繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，⊙O2與矩形的邊只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)（ ）.

A.3次 B.4次 C.5次 D.6次

解析 根據(jù)題意作出圖形，如圖2，⊙O2與矩形的邊只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)4次，故選B.

例2 通過(guò)對(duì)課本中《硬幣滾動(dòng)中的數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)，我們知道滾動(dòng)圓滾動(dòng)的周數(shù)取決于滾動(dòng)圓的圓心運(yùn)動(dòng)的路程（如圖3）.在圖4中，有2014個(gè)半徑為r的圓緊密排列成一條直線，半徑為r的動(dòng)圓C從圖示位置繞這2014個(gè)圓排成的圖形無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一圈回到原位，則動(dòng)圓C自身轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)為（ ）.

解析 如圖5，它從C位置開(kāi)始，滾過(guò)與它相同的其他2014個(gè)圓的上部，到達(dá)N位置，該圓共滾過(guò)了2014段弧長(zhǎng)，其中有2段（CD，F(xiàn)N）是半徑為2r，圓心角為120度，2012段是半徑為2r，圓心角為60度（如DE）的弧長(zhǎng)；從N位置開(kāi)始到達(dá)C位置與上面的相同. 所以可得：

二、根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求解動(dòng)圓趣味問(wèn)題

例3 如圖6，一個(gè)半徑為r的圓形紙片在邊長(zhǎng)為a（a≥23r）的等邊三角形內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)，則在該等邊三角形內(nèi)，這個(gè)圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是（ ）.

解析 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓形紙片“不能接觸到的部分”是當(dāng)圓形紙片與等邊三角形的兩邊相切時(shí)，圓形紙片與等邊三角形的兩邊圍成部分，根據(jù)等邊三角形和圓的性質(zhì)及對(duì)稱(chēng)性，知共有三個(gè)相同的部分，因此，如圖7，連接圓形紙片的圓心O與兩邊的切點(diǎn)D，E，連接AO，則OD⊥AD，OE⊥AE.

三、分段或分類(lèi)求解動(dòng)圓問(wèn)題

例5 如圖10，已知∠ABC=90°，AB=πr，BC=πr2，半徑為r的⊙O從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C方向滾動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止.請(qǐng)你根據(jù)題意，在圖上畫(huà)出圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的示意圖；圓心O運(yùn)動(dòng)的路程是.

參考文獻(xiàn)：

[1]張金蘭.“動(dòng)圓問(wèn)題”探討[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版上旬），2014（08）.

[2]唐耀庭.一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探討——?jiǎng)訄A與定圓做無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的有關(guān)計(jì)算[J].數(shù)學(xué)大世界（初中版），2014（04）.endprint