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        花香蝶自來

        2018-03-06 17:39:57李德寅
        理科考試研究·初中 2017年11期
        關(guān)鍵詞:小聰對稱點平分

        李德寅

        摘 要:本文以北京市兩道中考模擬題為例說明自然解法的應(yīng)用.

        關(guān)鍵詞:解題;自然解法

        所謂自然之法往往是解決某一類問題的通法,是基于某個基本思路和基本圖形的解答方法.同時一個問題也可能有多種自然之法,因為基本問題有著無可比擬的包容性.以核心概念、核心知識為基點多聯(lián)想,自然解法自會水到渠成.

        題目1 (北京市懷柔區(qū)一模28題)在等邊△ABC外側(cè)作直線AP,點B關(guān)于直線AP的對稱點為D,連接BD,CD,其中CD交直線AP于點E.

        (1)依題意補全圖1;

        (2)若∠PAB=30°,求∠ACE的度數(shù);

        (3)如圖2,若60°<∠PAB <120°,判斷由線段AB,CE,ED可以構(gòu)成一個含有多少度角的三角形,并證明.

        解 (1)補全圖形,如圖3所示.

        (2)如圖4,點D與點B關(guān)于直線AP對稱,自然而然聯(lián)想到AP是DB的垂直平分線,想到線段的垂直平分線的性質(zhì),自然就連接AD,或者ΔAPB與ΔAPD關(guān)于直線AP對稱,ΔAPB≌ΔAPD,自然就連接AD.得到AD=AB=DB=BC=AC,四邊形ADBC是菱形,∠ACE=30°.

        (3)如圖5,作出B點關(guān)于直線AP對稱點D,連接BD、CD,自然想到AP線段BD的對稱軸,直線AP垂直平分BD,想到線段的垂直平分線的性質(zhì),或想到ΔADP≌ΔABP及ΔEDP≌ΔEBP,得到AD=AB=AC和ED=EB,所以∠ADB=∠ABD,∠EDB=∠EBD;得到∠EDA=∠EBA=∠ACE;由線段AB,CE,ED首尾順次組成的三角形,就可以轉(zhuǎn)化為ΔBEC,利用旋轉(zhuǎn)ΔABE或ΔABE≌ΔECA,得∠ABE=∠ECA,可得∠BEC=60°.

        題目2 (北京市懷柔區(qū)一模26題)閱讀下面材料:

        小聰遇到這樣一個有關(guān)角平分線的問題:如圖6,在△ABC中,∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2.2,AC=3.6.求BC的長.

        小聰思考:因為CD平分∠ACB,所以可在BC邊上取點E,使EC=AC,連接DE.

        這樣很容易得到△DEC≌△DAC,經(jīng)過推理能使問題得到解決(如圖7).

        請回答:(1)△BDE是三角形.

        (2)BC的長為.

        解 (1)△BDE是等腰三角形.

        (2)BC的長為5.8.

        參考小聰思考問題的方法,解決問題:

        如圖8,已知△ABC中,AB=AC, ∠A=20°,BD平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.求AD的長.

        題目的自然解法:

        此解決問題的思路是截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形.如果利用軸對稱,角的平分線也是這個角的對稱軸,沿對稱軸BD折疊△BCD,C點落在E處,自然就想到連接DE,且△BCD≌△BED,得到∠4=∠7=60°,即∠4=∠3=60°,DE平分∠BDA,沿對稱軸DE折疊△BDE,點B落在點F處,自然想到連接EF,得到△DEB≌△DEF,此問題得解.

        幾何類型的解答和證明,常常需要添加輔助線,解無定法,基于基礎(chǔ)知識上聯(lián)想,就會產(chǎn)生自然解法,所以對于教材中的基本知識,基本圖形,基本思想,要筑基,要拓展,要整合.只有打好堅實的基礎(chǔ),花才會香,蝶自然會來.

        參考文獻:

        [1]尤維明.探尋解題方法自然生成的源泉[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(6)49-50.endprint

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