吳劍欽

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，關(guān)于面積和面積法相關(guān)知識的教學(xué)已達(dá)到一定深度。通過對面積和面積法的學(xué)習(xí)，一方面，能夠使學(xué)生更好、更直觀地學(xué)習(xí)、理解和掌握數(shù)學(xué)知識;另一方面，通過學(xué)習(xí)面積法，構(gòu)建“數(shù)形結(jié)合”幾何模型，能將中學(xué)數(shù)學(xué)中一些較為抽象和代數(shù)化的知識進(jìn)行更為直觀、具象的幾何解釋。對此，教師必須更加深入地研究和探索面積及面積法的相關(guān)發(fā)展歷程、概念，以及其在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的巧妙運(yùn)用，來增強(qiáng)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、中國古代數(shù)學(xué)的面積發(fā)展史

面積的發(fā)展史最早可以追溯到古埃及時(shí)期，其在中國的發(fā)展也同樣歷史悠久，源遠(yuǎn)流長。與其他古代文明相比，面積在中國數(shù)學(xué)史上的發(fā)展有著獨(dú)特的風(fēng)格和特色，其在中國古代主要用于田壟、土地的測量。早在公元前2世紀(jì)，中國古代數(shù)學(xué)家就著有《算術(shù)書》，這是中國數(shù)學(xué)史上首次系統(tǒng)性地提出和闡釋面積相關(guān)的算題，其中包括對田地的測量、土地稅征收，以及與實(shí)際生產(chǎn)生活密切聯(lián)系的面積問題。

二、面積的計(jì)算

1.與面積相關(guān)的公式

第一，三角形的面積公式：三角形底邊a乘以高h(yuǎn)除以2，數(shù)學(xué)公式表示形式為S=ah;第二，梯形面積公式：梯形上底a加下底b乘以高h(yuǎn)除以2，數(shù)學(xué)公式表示形式為S=（a+b）h/2;第三，矩形面積公式：矩形的長a乘以寬b，數(shù)學(xué)公式表示形式為S=ab;第四，平行四邊形面積公式：底邊a乘以高h(yuǎn)，數(shù)學(xué)公式表示形式為S=ah;第五，兩個(gè)全等的平面圖形的面積相等;第六，任何一個(gè)封閉的平面圖形，其總面積等于各個(gè)部分面積相加之和。

2.與面積相關(guān)的定理

第一，兩個(gè)相似的三角形的面積比與相似比的平方相等;第二，兩個(gè)三角形的底邊跟高若是相等，則這兩個(gè)三角形的面積相等;第三，梯形、三角形、平行四邊形等平面圖形，若底和高都相等，則面積相等;第四，兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊相等且夾角互補(bǔ)，則這兩個(gè)三角形的面積相等;第五，相互等角或相互補(bǔ)角的兩個(gè)三角形的面積之比，等于夾角或補(bǔ)角的兩邊的乘積的比;第六，等角的平行四邊形面積比等于夾等角的兩邊乘積的比。

三、面積法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

中國著名的院士張景中在《仁者無敵面積法》中大量運(yùn)用面積法進(jìn)行幾何圖形求解及證明，充分證明了面積法在解題中的優(yōu)越性。在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，面積法既可以用來計(jì)算平面幾何圖形的大小，又可以將面積作為一個(gè)橋梁以求解，或證明其他一些表面相似，以及看似無關(guān)實(shí)則相關(guān)的非面積幾何問題和代數(shù)問題。以下，筆者就簡要介紹面積法在初中數(shù)學(xué)解題中的幾種應(yīng)用。

1.面積法建構(gòu)幾何等量關(guān)系求解邊長

如“已知△ABC，把AD設(shè)為Rt△ABC的斜邊BC上面的高，并且設(shè)定AB=45，AC=60，對AD進(jìn)行求解，即求AD?！北绢}是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常見的直角三角形求高問題。一般解題思路主要是依據(jù)相似三角形和勾股定理進(jìn)行求解，解題過程較為復(fù)雜，而采用面積法建構(gòu)等量關(guān)系，使得解題更為高效、快捷。學(xué)生從已知條件中得知題中有兩個(gè)垂直關(guān)系，根據(jù)勾股定理可先求出線段的長，再根據(jù)面積法建構(gòu)幾何等量關(guān)系A(chǔ)B·AC=BC·AD，從而求出線段AD等于36。

2.面積法求證線段比例等式

采用面積法證明線段的比例等式十分巧妙，其通過構(gòu)建面積這一橋梁，來證明幾何圖形的線段比例等式關(guān)系，直觀而又清晰，極易為多數(shù)初中生所接受。如已知△ABC，設(shè)E為AD的中點(diǎn)，通過對BE進(jìn)行連接，并且把它延長交AC于點(diǎn)F，設(shè)BD∶CD=2∶1，求證AF∶FC=2∶3。對于該證明題，我們可以通過面積法進(jìn)行求證。首先， 對CE進(jìn)行連接，設(shè)S△CED=x，由于AE=DE，可以知道S△ACE=x，由BD∶CD=2∶1，可以知道S△BED=2x;由AE=DE，得出三角形AEB的面積等于三角形BED;設(shè)S△EFC=y，則可以得到等式，計(jì)算得出x=y。

3.面積法計(jì)算概率

中學(xué)數(shù)學(xué)教材也有涉及概率的內(nèi)容。當(dāng)計(jì)算一些較為簡單的隨機(jī)事件所發(fā)生的概率時(shí)，除了使用列表分析法之外，學(xué)生還可以采用面積法進(jìn)行計(jì)算。如在解“在一個(gè)黑白相間面積均等分布的圓盤中，轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤，求圓盤停止時(shí)指針指向非陰影部分的概率”這道題目時(shí)，學(xué)生運(yùn)用傳統(tǒng)解題方法，過程極為復(fù)雜，而利用面積法求解該題，則十分簡易。

（作者單位：江西省贛州市南康區(qū)龍嶺中學(xué)）