錢昭君, 李東平,張秀英, 趙 鑫, 余 丹

(長春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長春 130032)

機械工件是機械產(chǎn)品中的基本單元，目前大多數(shù)零件是通過機械加工的方法達(dá)到其最后要求的。工件在接受機械加工過程中，首先要使其在機床上獲得一個正確位置，這個過程就是定位。工件的加工就是從定位后的原件表面切割下一部分金屬。如果工件不能正確定位，切割就會偏離正確位置，導(dǎo)致工件無法按原計劃加工。在進(jìn)行工件加工過程中，合理地選擇定位基準(zhǔn)對于工件加工的尺寸精度和相互位置精度具有重要作用，直接地影響著工件加工的質(zhì)量和效率[1]。

本文擬針對伺服電機驅(qū)動D型工件加工過程中遇到的實際問題設(shè)計有效的定位算法。在使用伺服電機驅(qū)動加工D型工件時(圖1)，需要對D型工件的邊界進(jìn)行準(zhǔn)確定位。對于這個問題，目前主要是通過人工操作來完成工件的定位和刀具的切削。如何建立自動識別算法，通過自動檢測實現(xiàn)工件的定位和刀具的加工方向來完成加工具有重要的意義，也是未來數(shù)控技術(shù)的發(fā)展趨勢[2]。

圖1 伺服電機驅(qū)動D型工件加工示意圖和截面圖

[指導(dǎo)教師]李東平(1983- )，男，講師，博士研究生，從事計算數(shù)學(xué)研究。

自動確定工件定位模式在伺服電機驅(qū)動D型工件自動化加工過程中的有重要作用，而定位模式的確定關(guān)鍵就是根據(jù)已采集的位移數(shù)據(jù)對加工工件進(jìn)行定位特征識別。本文試圖通過分析由位移傳感器所采集到的位移數(shù)據(jù)，建立穩(wěn)定可靠的自動識別算法確定圓截面和缺失面的兩個邊界，并計算工件在測量位置的真實偏心量，即利用算法補充缺失位置的原始位移數(shù)據(jù)，從而還原出被加工面的形貌特征。本文所涉及的數(shù)值計算和圖表均借助于MATLAB軟件完成。

1 D型工件邊界的定位識別算法設(shè)計

對于D形工件，若用y表示在第x個結(jié)點處的位移，則位移傳感器所采集的圓形面所對應(yīng)的位移數(shù)據(jù)其軌跡通常呈現(xiàn)為正弦或余弦的變化規(guī)律，即滿足：

(1)

其中，n表示工件旋轉(zhuǎn)一周時位移傳感器所采集點的總個數(shù)，A,B,C為待定常數(shù)。對于缺口部分，其位移圖像通常呈開口方向向下的拋物線狀，因此可設(shè)其一般形式為

y=ax2+bx+c.

(2)

整個周期內(nèi)的位移曲線由曲線(1)和(2)交錯組成，通常有三種表現(xiàn)形式，如圖2所示。兩類曲線的交點即為工件的界點，也稱為定位結(jié)點。

圖2 單位周期內(nèi)D型工件的三種位移圖像

方程(1)和(2)的表達(dá)式可通過最小二乘法[2]進(jìn)行曲線擬合得到。設(shè)y=ψ(x)=f(a0,a1,…,an,x)是待擬合函數(shù)，ai(i=0,1,…,n)是待定參數(shù)，(xi,yi)，i=1,2,…,m,(n

(3)

(4)

(5)

直接求解(5)可得到a,b,c的值。一旦獲得函數(shù)(1)(2)的具體表達(dá)式，則界點可通過求解由方程(1)和(2)構(gòu)成的非線性方程組獲得。而缺失面的位移數(shù)據(jù)可由函數(shù)(1)直接補充。下面通過實際采集的位移數(shù)據(jù)來驗證方法的有效性。

2 數(shù)值仿真

圖3(a)是某D型工件加工過程中所采集的單位周期內(nèi)(n=1000)的位移函數(shù)圖像，圖3(b)是三個周期內(nèi)的位移數(shù)據(jù)圖像，其位移變化規(guī)律與圖2中的左圖一致。

圖3 某D型工件的實測位移圖像

根據(jù)最小二乘算法，取初始值[A0,B0,C0]=[1000,0,-1300]，利用[200,800]區(qū)間段內(nèi)共計601組數(shù)據(jù)點對函數(shù)(1)進(jìn)行最小二乘曲線擬合，得到

擬合產(chǎn)生的相對位移誤差為

其中，‖·‖表示歐氏范數(shù)，yc表示用于擬合的實測位移，yf表示擬合曲線產(chǎn)生的位移。相對誤差較小，說明擬合效果良好。圖4給出了三個周期內(nèi)擬合數(shù)據(jù)、實測數(shù)據(jù)和擬合曲線的函數(shù)圖像。圓形部分的擬合位移和實測位移幾乎重合，擬合效果較好，表明三角函數(shù)能正確反映圓形部分真實位移的變化規(guī)律。

圖4 三個周期內(nèi)擬合位移、實測位移和擬合曲線的函數(shù)圖像

進(jìn)一步，利用區(qū)間[0,199]內(nèi)的數(shù)據(jù)點對左邊拋物曲線進(jìn)行擬合，其中擬合數(shù)據(jù)點的范圍可通過定位最高位移點由程序自動確定，擬合結(jié)果為

相對誤差為0.0465。類似地，利用區(qū)間[900,1000]內(nèi)的數(shù)據(jù)點進(jìn)行右拋物線擬合，擬合所得參數(shù)為

相對誤差為0.0301。左右拋物線的擬合圖像見圖5。圖像顯示擬合曲線和擬合數(shù)據(jù)基本重合，說明拋物型曲線基本能反映非圓形面的位移變化規(guī)律。但從相對誤差來看，其擬合精度略低于三角函數(shù)的擬合精度。

圖5 左右拋物線的擬合圖像

進(jìn)一步，直接計算可得到拋物線與余弦曲線左、右交點的橫坐標(biāo)分別為

x1=1.241680100118395×102≈124，x2=8.975259164370609×102≈898.

這就得到了位移曲線的兩個定位結(jié)點坐標(biāo)，具體位置如圖6所示。

圖6 實測數(shù)據(jù)的定位結(jié)點圖像

由圖6可以看出，所計算的兩個定位結(jié)點基本能準(zhǔn)確反映它們的真實位置，些許的誤差主要由拋物線的曲線擬合及方程組的求根導(dǎo)致，這一點可由接下來的數(shù)值結(jié)果證實。

為了減少因拋物曲線擬合及方程組數(shù)值求根導(dǎo)致的誤差對定位結(jié)點的影響，一種簡單但有效的方法是通過試探法[3]確定拐點的位置。試探法的基本特點就是在余弦函數(shù)擬合后不再進(jìn)行拋物擬合而直接根據(jù)誤差的變化規(guī)律確定界點位置。事實上，實測數(shù)據(jù)與擬合得到的余弦曲線的位移誤差圖像如圖7所示。圖像具有明顯的結(jié)構(gòu)特點，其中圓形部分所對應(yīng)的誤差圖像基本跟橫坐標(biāo)軸重合(或圍繞橫軸小幅度波動)，而其余部分則呈陡峭的上升或下降趨勢。通過這些變化特征可用試探法直接確定兩個定位結(jié)點的位置，計算結(jié)果顯示它們的位置坐標(biāo)分別為129和892，具體位置如圖8所示。其定位效果比圖5所示的結(jié)果更加精確，完全能反映真實界點的具體位置。

圖7 余弦曲線的位移誤差圖像

圖8 試探法確定的定位結(jié)點圖像

3 結(jié)論

本文通過研究D型工件表面位移的變化特征，基于最小二乘法建立了識別D型工件邊界點的定位算法。該算法能解析地確定定位結(jié)點，可補充缺失面的位移數(shù)據(jù)。實驗結(jié)果證實了算法的有效性和準(zhǔn)確性，表明算法具有較好的應(yīng)用前景和推廣價值。下一步的工作可集中在相關(guān)程序的進(jìn)一步改進(jìn)和完善上，將其開發(fā)成可方便應(yīng)用的程序包。

[1]唐宇,吳清瀟,朱楓.平面工件的識別與定位方法研究[J].機械設(shè)計與制造,2015(10):172-175.

[2]馮秀,顧伯勤.表面形貌的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢[J].潤滑與密封,2006(2):168-170.

[3]朱建新,李有法.數(shù)值計算方法[M].3版.北京:高等教育出版社,2017.

[4]袁亞湘,孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2016.