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        固體均勻弦振動中數(shù)據(jù)處理與誤差分析

        2018-03-05 05:48:02楊寧選
        物理通報 2018年3期
        關(guān)鍵詞:弦線駐波橫波

        張 春 楊寧選

        (石河子大學(xué)理學(xué)院物理系 新疆 石河子 832000)

        固體均勻弦振動實驗是大學(xué)普通物理力學(xué)中的一個基礎(chǔ)、傳統(tǒng)教學(xué)實驗,它驗證了弦線上橫波的傳播規(guī)律,觀察固定均勻弦振動傳播時形成的駐波波形,測量均勻弦線上橫波的傳播速度及均勻弦線的線密度[1~11].通常采用實驗方法有兩種:一是采用振動頻率固定的電動音叉,通過改變弦線長度或張力,形成穩(wěn)定駐波,研究橫波的疊加現(xiàn)象,驗證橫波的波長與張力、線密度的關(guān)系;二是采用頻率連續(xù)可調(diào)的振動體,改變弦長或張力,形成穩(wěn)定駐波從而驗證弦線上駐波的振動規(guī)律[5].方法一實驗操作簡便,實驗現(xiàn)象非常明顯,但該方法在測量波長時,受實驗條件的影響,測量弦長的數(shù)據(jù)不是很精確[5],為此本文將探討在數(shù)據(jù)處理中可以應(yīng)用最小二乘法,研究弦線上橫波的波長與張力的關(guān)系,并利用Origin軟件進(jìn)行線性擬合,對波速和頻率及其誤差進(jìn)行計算,為實驗操作者和實驗教學(xué)者提供參考.

        1 實驗裝置及理論分析

        弦振動實驗儀[1]如圖1所示,將弦線一端固定于電振音叉的一個腳上,另一端繞過定滑輪后掛一砝碼,弦線張力T的大小即是砝碼的重力.閉合開關(guān)S后,調(diào)節(jié)音叉斷續(xù)器的接觸點螺絲S′,令音叉維持振幅恒定的簡諧振動,可迫使弦線產(chǎn)生橫波向外傳播,并在端點D發(fā)生反射.由于前進(jìn)波與反射波的振幅相同,頻率相同,振動方向相同且傳播方向相反,則當(dāng)C與D兩端間弦線的長度滿足一定的條件時,前進(jìn)波與反射波在弦線上可產(chǎn)生干涉.

        圖1 弦振動實驗裝置圖

        (1)

        (2)

        弦振動實驗一端為振源,另一端固定,屬于有界弦的強(qiáng)迫振動,初始時刻,式(1)滿足的初始條件為

        (3)

        如果振源以正弦函數(shù)方式振動,式(1)滿足的邊界條件為

        u|x=0=0u|x=l=sin(2πνt)

        (4)

        式中l(wèi)為弦長,ν為振源的振動頻率.因為弦的振動在時間上是簡諧的,所以對方程(1)分離變量后,求出的通解為

        u(x,t)=(AeiΛx+Be-iΛx)ei2πνt

        (5)

        式中A與B是兩個積分常數(shù),等號右側(cè)第一項表示自波源向固定端傳播的入射波,第二項則是由固定端反射回來向波源傳播的反射波,Λ是分離時所引入的常數(shù).

        2 實驗原理

        駐波是波的干涉現(xiàn)象的特例,產(chǎn)生駐波的條件為:振幅相同且在同一直線上沿相反方向傳播的兩列相干波.設(shè)前進(jìn)波沿x軸正方向傳播,則反射波沿x軸負(fù)方向傳播,取它們振動相位始終相同的點為坐標(biāo)原點,且在x=0處振動質(zhì)點向上達(dá)到最大位移時開始計時,則前進(jìn)波的波動表達(dá)式為

        反射波的表達(dá)式為

        其中,A為簡諧波的振幅,ω為圓頻率,f為頻率,λ為波長,x為弦線上質(zhì)點的坐標(biāo)位置.兩列波疊加后形成駐波,其表達(dá)式為

        (6)

        式(6)表示駐波上各點都在做簡諧振動,各點振動的頻率相同,即是波的頻率,但是各點的振幅隨質(zhì)點坐標(biāo)位置的不同而不同,即各點的振幅為

        (7)

        其中,振幅為零的點稱為波節(jié),振幅最大的點稱為波腹.駐波不是振動狀態(tài)的傳播,也沒有能量的傳播,而是介質(zhì)中各質(zhì)點都做穩(wěn)定的簡諧振動.

        可得波節(jié)的位置為

        同理,可得波腹的位置為

        則相鄰兩波節(jié)(或波腹)的距離為

        (8)

        因此,在實驗中,當(dāng)C與D兩端間弦線的長度等于半波長的整數(shù)倍時,可觀察到駐波現(xiàn)象,此時只要測得相鄰兩波節(jié)或相鄰兩波腹的距離,就可以確定波長

        (9)

        其中,n稱為半波數(shù).由波動理論可證,沿著一條拉緊的弦線傳播橫波時,波的傳播速度v滿足

        (10)

        其中,T為弦線的張力,ρ為弦線的線密度 (即單位長度的質(zhì)量).

        These last definitions allow an immediate calculation of the above parameters after finding the memristance curve(Fig. 1-Bottom), since R0, Ron and Roff are found from direct inspection. By substituting the definitions of NMR and NRS,Eq. (9) is transformed to:

        若弦線的波動頻率為f,弦線上傳播的橫波波長為λ,則根據(jù)v=fλ及式(10)得

        (11)

        對式(11)兩邊取對數(shù),得

        (12)

        式(12)為弦振動的傳播規(guī)律.

        3 實驗內(nèi)容及數(shù)據(jù)記錄

        (1)首先用分析天平稱出不同長度弦線的質(zhì)量,然后用米尺測出其長度,記錄在表1中.

        表1 弦線的線密度

        (2)取砝碼質(zhì)量依次為20 g,40 g,60 g,80 g,100 g,120 g,140 g,160 g,調(diào)節(jié)弦線的長度,使弦線上出現(xiàn)穩(wěn)定的駐波,記錄半波數(shù)的個數(shù)和用米尺測量出弦線的長度(測量5次),記錄在表2中,在本實驗中取力學(xué)實驗室位置重力加速度的理論值[2]為g理論=9.808 m/s2.

        4 數(shù)據(jù)處理及結(jié)果分析

        (1)對于弦線的線密度,多次測量求平均值

        其中

        分析天平 Δ儀=0.000 1×10-3kg

        米尺 Δ儀=0.000 1 m

        總不確定度為

        因此

        表2 懸掛不同質(zhì)量砝碼時弦線的長度和半波數(shù)

        表3 lnλ~lnT的關(guān)系

        (2)對于式(11),兩邊取對數(shù),有

        設(shè)

        y=lnλx=lnT

        則y=ax+b;可以驗證lnλ~lnT的線性關(guān)系.代入相應(yīng)的測量數(shù)據(jù)后,用最小二乘法計算a,b的值及相關(guān)系數(shù)R和靈敏度的值k.由于

        根據(jù)最小二乘法處理數(shù)據(jù)的方法,有

        (13)

        (14)

        可以計算出a=0.497 6,b=-0.685 3;關(guān)聯(lián)系數(shù)R=0.970 2,靈敏度的值k=0.497 6.從結(jié)果上看,關(guān)聯(lián)系數(shù)接近于1,說明lnλ,lnT具有較好的線性關(guān)系.

        用OriginPro7.5軟件可以進(jìn)行線性擬合,擬合的圖像如圖1所示.從圖1可以看出實際曲線和擬合曲線一致性非常好,lnλ和lnT滿足線性關(guān)系.

        圖1 lnλ~lnT擬合關(guān)系曲線圖

        圖2 m~vρ,vf關(guān)系曲線圖

        表4 兩種波速及誤差的計算

        5 小結(jié)

        本文從波動方程入手,推導(dǎo)出弦振動時產(chǎn)生駐波的方程;得出弦振動形成駐波時,波長、弦中張力、頻率和弦線密度之間的關(guān)系.對弦振動的實驗數(shù)據(jù)采用最小二乘法處理,并用OriginPro7.5軟件對lnλ~lnT進(jìn)行了線性擬合,分析了相對誤差.此外,本文用分析天平求弦線線密度時,計算了其不確定度,并采用兩種方法計算了弦線上行波的波速,對比了兩種波速的誤差度.

        1 張建軍,殷保詳.大學(xué)物理實驗.北京:北京郵電大學(xué)出版社,2013

        2 張松鋒,張鴻輝,周小東.基于最小二乘法的弦振動的研究.智能計算機(jī)與應(yīng)用,2015,5(6):49~51

        3 王榮,牛英煜.利用弦振動方程研究駐波特性.物理實驗,2012,32(7):36~39

        4 浦天舒.弦振動實驗中阻力系數(shù)的測定.物理與工程,2015,25(3):54~56

        5 呂春,楊萍,張兵.從弦振動實驗方法的多樣性,探究物理實驗教學(xué)方法.第六屆全國高等學(xué)校物理實驗教學(xué)研討會論文集(上),148~151

        6 王玉清.固定均勻弦振動儀裝置的拓展應(yīng)用.實驗室研究與探索,2009,28(3):31~33

        7 黃莘,王茂香.弦振動實驗數(shù)據(jù)處理與分析.大學(xué)物理實驗,2013,26(6):89~91

        8 張宇亭,趙斌,王茂香.弦振動實驗中駐波波長的測量方法.實驗科學(xué)與技術(shù),2016,14(1):42~45

        9 張慶龍.弦振動特性研究.大學(xué)物理實驗,2016, 29(4): 65~66

        10 苗錕,黃育紅,李康,等.弦振動形成駐波的規(guī)律和數(shù)據(jù)的MATLAB處理.大學(xué)物理實驗,2010,23(4):75~79

        11 姚久民,田廣志,祝玉華.用頻譜分析法研究弦振動實驗.物理實驗,2009,29(12):30~33

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