鄧麗芳 張軍朋

(華南師范大學物理與電信工程學校 廣東 廣州 510006)

對于線性曲線擬合，常用的方法有作圖法[1]，即在作圖紙上人工擬合直線，此方法很方便，但卻不是一種建立在嚴格的統(tǒng)計理論基礎(chǔ)上的數(shù)據(jù)處理方法．在作圖紙上人工擬合直線時存在一定的主觀隨意性，難免會增大誤差．而最小二乘法是數(shù)據(jù)線性擬合中最常用的一種實驗數(shù)據(jù)處理方法[2]．但是，如果運用最小二乘法手工計算擬合參數(shù)值，所需的計算比較繁瑣，且容易出錯．

現(xiàn)在計算機中的Excel或是Origin等數(shù)據(jù)圖像分析軟件中，在進行線性擬合時大都選用了最小二乘法算法．運用計算機軟件進行數(shù)據(jù)處理和作圖，有著簡便快速、精確度更高的優(yōu)點，這也是信息時代發(fā)展的要求．

本文將選用驗證馬呂斯定律實驗為例，介紹運用Origin軟件進行實驗數(shù)據(jù)線性擬合的具體方法[3]，并通過Origin軟件處理實現(xiàn)消除系統(tǒng)誤差．

1 馬呂斯定律[1]

馬呂斯定律是指：強度為I0的線偏振光通過檢偏器后，透射光的強度為

Iθ=I0cos2θ

(1)

式中θ為入射光振動方向與檢偏器主截面之間的夾角．其實驗圖如圖1所示.

圖1 驗證馬呂斯定律光路圖

在本實驗中，需要對實驗所得的Iθ和θ進行數(shù)據(jù)處理，并擬合Iθ～cos2θ關(guān)系曲線，驗證馬呂斯定律．

2 用Origin實現(xiàn)實驗數(shù)據(jù)的線性擬合

下面是以驗證馬呂斯定律實驗為例，說明Origin在運用最小二乘法算法進行實驗數(shù)據(jù)線性擬合的方法步驟．

2.1 數(shù)據(jù)輸入與處理

首先將得到的實驗數(shù)據(jù)輸入Origin的工作表worksheet中．按其默認設(shè)置打開一個工作表窗口，在本文實驗中共有11組數(shù)據(jù)，將其輸入工作表中，如圖2中A(X1)，I1(Y1), I2(Y1), I3(Y1)所示．然后在工作表中通過Column/Add New Column新增一列，命名為B(X2)用于存放夾角θ的余弦的平方 ．選中Column B(X2)，右擊然后選Set Column Values將跳出一個窗口，然后在編輯窗口輸入Column B(X2)的賦值運算公式：Col(B)=cos(Col(A)*pi/180)^2，點擊OK，則可快速求得夾角θ的余弦的平方．同樣的方法再新增一列命名為IMean(Y2)．IMean(Y2)用于存放光電流Iθ的平均值，其賦值運算公式為：Col(IMean)=(Col(I1)+Col(I2)+Col(I3))/3,即得到電流Iθ的平均值．

2.2 調(diào)用繪圖窗口

點擊Plot菜單的Scatter功能項，將彈出繪圖坐標軸選項．將B(X2)設(shè)置為X軸，將IMean(Y2)設(shè)置為Y軸后，出現(xiàn)繪圖Graph窗口下的數(shù)據(jù)點狀分布圖[4]．

圖2 原始數(shù)據(jù)的輸入與處理

2.3 原始數(shù)據(jù)的線性擬合

本實驗要求Iθ～cos2θ為線性擬合．點擊Analysis分析菜單，選擇線性擬合Fit Linear．此時Origin自動調(diào)用內(nèi)置最小二乘法線性擬合工具．圖中新增一條擬合出來的直線，同時彈出結(jié)果窗口Results log，顯示擬合結(jié)果，包括線性回歸方程系數(shù)A，B標準差SD，相關(guān)系數(shù)R等參數(shù)．

如圖3所示，本實驗中，A=-5.543 66，B=

1 466.071 08，SD=7.726 54，R=0.999 92．至此，完成了數(shù)據(jù)輸入處理，線性擬合和圖示化表征．

圖3 原始數(shù)據(jù)擬合曲線以及相關(guān)擬合參數(shù)

3 實驗誤差分析

從上面擬合參數(shù)我們可以看到，擬合的直線線性度很高：R=0.999 92．但馬呂斯定律的公式表達

為

Iθ=I0cos2θ

在理論上擬合的Iθ～cos2θ直線應該是一條過原點的直線，但擬合的直線并沒有過原點，而是通過的點(0，-5.543 66)．也就是在夾角θ=90°時，光電探測器探測到的光電流強度Iθ并不為零．

對于擬合直線線性度高，但不經(jīng)過原點，通過分析，其原因主要有以下兩點：

(1)在普通物理實驗室中使用的偏振片一般認為是理想偏振片．而事實上，偏振片放置時間過長，或是使用、保存不當都會造成偏振片的退偏振，而存在退偏振現(xiàn)象的偏振片便不能像理想偏振片那樣使光振動方向與偏振片透振方向平行的光完全透射，將與透振方向垂直的光完全吸收[5]．所以，當實驗室的偏振片存在退偏振時，在夾角θ=90°時，光電探測器探測到的光電流強度Iθ也并不為零．

(2)實驗室并不是一個理想的暗室，即使調(diào)節(jié)檢偏器與起偏器完全垂直，以達到消光的目的，而光電流探測器的示數(shù)通常情況也不為零，只是示數(shù)為最小值．

4 用Origin修正系統(tǒng)誤差

這一誤差主要是由儀器誤差和環(huán)境誤差等造成的系統(tǒng)誤差．要減小系統(tǒng)誤差，一是消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源：即換用理想偏振片，并在理想暗室進行此實驗；二是找出修正值，對測量結(jié)果進行修正[6]．在各普通物理實驗室中，要實現(xiàn)在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源上消除誤差，并不現(xiàn)實．但我們可以通過數(shù)據(jù)處理，找到修正值，對測量結(jié)果進行修正．

前面通過Origin進行原始數(shù)據(jù)的線性擬合，我們可以看到，此實驗系統(tǒng)誤差的修正值為A=-5.543 66．下面將介紹如何運用Origin對測量結(jié)果進行修正．

4.1 數(shù)值修正

調(diào)出數(shù)據(jù)的工作窗口A，新增一列，命名為Mean1(Y2)，用于存放修正后的光電流Iθ的平均值，其賦值運算公式為

Col(Mean1)=Col(IMean)+5.543 66

即得到修正后的數(shù)值，如圖2中的數(shù)列Mean1所示．

4.2 修正系統(tǒng)誤差后的擬合

以B(X2)為X軸，Mean1(Y2)為Y軸重新擬合曲線，如圖4所示.

圖4 修正系統(tǒng)誤差后的線性擬合

4.3 修正系統(tǒng)誤差前后的參數(shù)比較

由表1可以看到通過修正線性方程系數(shù)A，然后運用Origin重新擬合曲線，可以在保證擬合線性度不變的情況下，減小了系統(tǒng)誤差的影響．因此，在受到實驗條件限制的情況下，通過Origin軟件找到系統(tǒng)誤差的修正值，并進行修正是相當方便的．

表1 修正系統(tǒng)誤差前后的參數(shù)比較

5 結(jié)論

本文以驗證馬呂斯定律實驗的數(shù)據(jù)處理和線性擬合并修正其系統(tǒng)誤差為例，介紹了Microcal Origin數(shù)據(jù)分析軟件用于數(shù)據(jù)線性擬合的方法和步驟，并利用其查找系統(tǒng)誤差的修正值，并進行系統(tǒng)誤差的修正，更好地驗證了馬呂斯定律．整個Origin軟件的處理過程簡潔、快速、有效、直觀．將Origin計算機軟件應用到實驗數(shù)據(jù)處理分析上，可以大大節(jié)省數(shù)據(jù)處理的時間，提高實驗結(jié)果的精度．

1 華南師范大學物理系，物理學科基礎(chǔ)課實驗教學示范中心.普通物理實驗.

2 裘俊紅,郭天民. 若干數(shù)據(jù)線性擬合方法分析.石油大學學報(自然科學版),1996(06):121～125.

3 王鑫,吳先球,蔣珍美，等.用Origin剔除線性擬合中實驗數(shù)據(jù)的異常值.山西師范大學學報(自然科學版),2003(01):45～49

4 鄧曉敏,張軍朋,吳先球，等.利用Origin確定實驗中非線性函數(shù)的曲線關(guān)系.大學物理實驗,2011,24(1):73～76

5 馬磊,趙琨,李吉夏,等.馬呂斯定律用于退偏振片時的修正及實驗驗證.大學物理,2010(05):58～61

6 張啟德,李新鄉(xiāng),陶洪，等.物理實驗教學研究.北京：科學出版社,2013.74～75