孫文淼
(江蘇省常州市第二中學(xué))
數(shù)學(xué)教育家G·波利亞指出:“對于任何一門學(xué)科,我們要掌握兩方面的東西——知識和技巧?!睂τ跀?shù)學(xué)學(xué)科而言,知識是書本上的概念、定義等,技巧是書本的內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想與方法。隨著課程改革進(jìn)程的不斷推進(jìn),中學(xué)教學(xué)任務(wù)也逐步由傳授學(xué)科知識向培養(yǎng)核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)變,而數(shù)學(xué)思想的滲透就顯得尤為關(guān)鍵。
高中數(shù)學(xué)的諸多思想中,極限思想是非常重要的一種,它能讓我們從有限發(fā)展到無限、在相似中掌握準(zhǔn)確、從特殊認(rèn)識一般。它在中學(xué)的數(shù)學(xué)課本和練習(xí)題中都有體現(xiàn)出來。在中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透極限思想,可以有效地幫助學(xué)生解決多種數(shù)學(xué)問題,包括函數(shù)問題、不等式問題、立體幾何問題、平面解析問題、數(shù)列問題等等。
而導(dǎo)數(shù)在高考時(shí)是??贾R點(diǎn),經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)。但這類抽象性的問題學(xué)生往往覺得難以理解,不知該如何去應(yīng)用解決,遇到導(dǎo)數(shù)題,常常望而卻步,無從下手。其實(shí),導(dǎo)數(shù)作為研究切線及函數(shù)單調(diào)性的有力工具,許多與直線、與曲線位置有關(guān)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,不等式恒成立問題,由零點(diǎn)求參數(shù)的問題便可以用導(dǎo)數(shù)去求解。如果我們?nèi)匀痪心嘤凇犊荚嚧缶V》中的要求,忽視相應(yīng)能力的提高,便無法適應(yīng)高考的要求,也無法實(shí)現(xiàn)學(xué)生素養(yǎng)的提升。下面筆者主要談?wù)剺O限畫圖——利用導(dǎo)數(shù)定性定形,以形找數(shù),數(shù)形結(jié)合。根據(jù)無限趨向情況來研究圖象,可以避免很多繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算,利用數(shù)形結(jié)合的思想能夠幫助我們較快地獲得解題思路,分解解題難度,達(dá)到事半功倍的效果。
極限定義:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近(但可能除掉x0點(diǎn)本身)有定義,又設(shè)A是一個(gè)定數(shù),如果對任意給定的ε>0,一定存在δ>0,使得當(dāng) 0<<δ時(shí),總有我們就稱A是函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的極限,記為f(x)→A(x→x0),也可記為A.+∞叫正無窮,-∞叫負(fù)無窮;左極限:從一個(gè)地方的左側(cè)無限靠近這個(gè)地方時(shí)所取到的極限值,如0-,叫負(fù)無窮小,表示從0的左邊無限靠近0;右極限:從一個(gè)地方的右側(cè)無限靠近這個(gè)地方時(shí)所取到的極限值,如0+,叫正無窮小,表示從0的右邊無限靠近0。
表1
注:定義域中去掉的1在圖象中是它的漸近線.
(1)若函數(shù) (fx)在x=2處的切線方程為 y=x+b,求 a,b的值;
(2)若函數(shù)(fx)在(1,+∞)為增函數(shù),求a的取值范圍;
(3)討論方程(fx)=0解的個(gè)數(shù),并說明理由。
解:(1)a=2,b=-2ln2
(2)a≤1
圖1
(3)法一:當(dāng)a=0時(shí),f(x)在定義域(0,+∞)上恒大于0,此時(shí)方程無解;當(dāng)a<0時(shí),f(′x)=x->0在(0,+∞)上恒成立,所以 (fx)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù)。
當(dāng)2a=2e或2a<0時(shí),1個(gè)解;
當(dāng) 2a>2e 時(shí),2 個(gè)解.即當(dāng) 0≤a<e 時(shí),無解;
a=e或 a<0時(shí),1個(gè)解;當(dāng) a>e時(shí),2個(gè)解。
由兩種做法對比發(fā)現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,利用極限思想作出函數(shù)圖象,轉(zhuǎn)化為直觀易懂的問題,學(xué)生就容易理解,進(jìn)而解決問題并獲得成功的體驗(yàn)。
例2(2017屆蘇錫常鎮(zhèn)高三二模19)
已知函數(shù) f(x)=alnx-bx3,a,b 為實(shí)數(shù),b≠0,e 為自然對數(shù)的底數(shù)。
(1)當(dāng) a<0,b=-1 時(shí),設(shè)函數(shù) f(x)的最小值為 g(a),求 g(a)的最大值。
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=0在區(qū)間(1,e]上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解,求的取值范圍。
(2)f(x)在區(qū)間(1,e]上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解等價(jià)轉(zhuǎn)化為=的圖象在區(qū)間(1,e]有兩個(gè)交點(diǎn)。由上可知,即n=3時(shí),通過圖象易知
表2
圖2
例3 2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題20(江蘇卷)
設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(a)=ex-ax,其中a為實(shí)數(shù)。
(1)若f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求 a的取值范圍;(2)若 g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論。
解:(1)a>e。
(2)因?yàn)?g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),所以 g(x)=ex-a≥0在(-1,+∞)恒成立,故 a≤,求(fx)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為,即 y=a與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。由上可知,即n=1時(shí),通過函數(shù)圖像易知,當(dāng)a=或a≤0時(shí),(fx)有1個(gè)零點(diǎn);當(dāng)0<a<,(fx)有兩個(gè)零點(diǎn)。
3.f(x)=(x-a)·ex的性質(zhì)和圖象
定義域R,f(′x)=(2x-a)·ex,令f(′x)=0
表3
圖3
例4(a=0)已知函數(shù)(fx)=x·ex,若關(guān)于的方程[(fx)+]·[(fx)-λ]=0有僅有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。
筆者挑選了在習(xí)題中出現(xiàn)頻次最高的三類函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù),通過極限思想作出了函數(shù)圖象,函數(shù)的恒成立問題、有解問題,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題這些復(fù)雜的問題可以簡單化,為一開始無從下手的問題提供解題思路。
狄德羅說過:“數(shù)學(xué)中所謂美的問題則指一個(gè)難以解決的問題;而所謂美的解答,則是指對于困難和復(fù)雜問題的簡單回答?!睒O限思想是運(yùn)動變化中的思想法則和規(guī)律,有助于解題思路的展開,更有利于簡化解體結(jié)構(gòu),所以我們要重視極限思想在導(dǎo)數(shù)方面的應(yīng)用,體會極限思想給我們解題帶來的無限奇妙之處。
[1]姚久德.極限思想在解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(4).
[2]張學(xué)均.極限思想在數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用[J].科學(xué)咨詢,2016(27).
[3]黃克方.中學(xué)數(shù)學(xué)解題中極限思想的滲透[J].職教天地,2012(5).