丁承君，吳 畏，朱智輝

（河北工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300401）

目前，市面上陶瓷3D打印機的噴頭結(jié)構(gòu)基本上采用活塞式擠出結(jié)構(gòu).周婧等[1-2]對活塞式擠出系統(tǒng)進行仿真分析與研究，利用流體分析軟件對擠出頭出口截面的流速和內(nèi)部壓力場進行數(shù)值模擬，對擠出頭內(nèi)部流道的幾何形狀進行設(shè)計，找出了4種不同內(nèi)部流道的壓力場和出口流速分布規(guī)律，但是該結(jié)構(gòu)形式不能夠滿足打印過程持續(xù)進料的剛性需求.張利敏[3]在并聯(lián)機構(gòu)剛體動力學(xué)模型基礎(chǔ)上，提出一種基于支鏈的動力學(xué)性能評價指標，該指標可以完整揭示機構(gòu)產(chǎn)生奇異位型的條件.梁香寧等[4]對Delta機構(gòu)進行分析，建立了基于動靜平臺之間的約束方程，分析了Delta機器人的工作空間，利用VC++和OPenGL開發(fā)了基于Windows平臺的機器人運動學(xué)可視化仿真軟件.趙杰等[5]運用空間幾何學(xué)及矢量代數(shù)的方法建立了三自由度并聯(lián)機器人的簡化運動學(xué)模型，求解運動學(xué)正解，回避了運動學(xué)多解取舍的問題，可直接獲得工作空間內(nèi)滿足運動學(xué)連續(xù)性的合理解.石志新等[6]應(yīng)用方位特征集方法，綜合了一批滿足功能要求的并聯(lián)機構(gòu)，從中選取一種具有開發(fā)潛力的并聯(lián)機構(gòu)，結(jié)合實例給出了優(yōu)選機構(gòu)的位置正逆解方程.為實現(xiàn)較高速、較平穩(wěn)的打印，本文設(shè)計一款采用并聯(lián)結(jié)構(gòu)、可持續(xù)進料的打印機，對整機機體進行位置正逆解、速度及加速度分析，利用ADAMS軟件進行算例仿真分析，驗證數(shù)學(xué)模型的正確性，保證打印噴頭運動過程的平穩(wěn).

1 陶瓷3D打印機結(jié)構(gòu)總述

本陶瓷3D打印機機體采用Delta結(jié)構(gòu)，如圖1所示.主動臂的驅(qū)動部分采用柔性帶和帶輪組成的兩級帶傳動，省去了傳動的減速器結(jié)構(gòu)，減輕了整機重量，而且價格便宜，傳動平穩(wěn)，有效減小了驅(qū)動過程中的振動.漿料由進料口通過氣壓壓入料筒，通過安裝在靜平臺上方的電機旋轉(zhuǎn)伸縮桿和與伸縮桿連接的螺桿的旋轉(zhuǎn)作用，將持續(xù)進入料筒的漿料不間斷地從噴頭內(nèi)擠出，從而實現(xiàn)持續(xù)供料、不間斷打印的目的[7].

圖1 打印機整機結(jié)構(gòu)Fig.1 Printer machine structure

2 打印機體位置反解

2.1 位置反解

由于中間伸縮桿不會影響噴頭的打印精度，在運動學(xué)分析時將其省去.打印機的3個主動臂與3個從動臂夠成3個支鏈，為方便研究，將其中1條主動臂和1條從動臂構(gòu)成的單支鏈結(jié)構(gòu)拆離出來分析，其示意圖如圖2所示[8-13].

圖2 單支鏈結(jié)構(gòu)Fig.2 Single branched chain structure

在靜平臺中心處建立靜坐標系O-XYZ，在動平臺中心處建立動坐標系O′-X′Y′Z′，一條主動臂與靜坐標系O-XYZ的X軸重合，Z軸垂直于靜平臺向上.其中：主動臂|AiBi|=L1；從動臂|BiCi|=L2；主動臂在靜坐標系中與 X 軸的夾角 αi（i=1，2，3）分別為 0°、120°、240°；主動臂的擺角為 θi（i=1，2，3）；靜平臺外接圓的半徑為R；動平臺外接圓的半徑為r.

在靜坐標系O-XYZ中有如下關(guān)系[14-16]：

式中：Ai=Rcos αi+L1cos θicos αi（i=1，2，3）；Bi=Rsin αi+L1cos θisinαi（i=1，2，3）；Ci=-L1sin θi（i=1，2，3）.

OCi（i=1，2，3）在動坐標系O′-X′Y′Z′中可表示為：

Ci（i=1，2，3）在靜坐標系O-XYZ中的坐標向量為：

則從動臂BiCi（i=1，2，3）在靜坐標系O-XYZ中的坐標為：

式中：Di=x+rcosαi-（Rcosαi+L1cos θicos αi）（i=1，2，3）；Ei=y+r sin αi-（R sin αi+L1cos θisin αi）（i=1，2，3）；Fi=z+L1sinθi（i=1，2，3）.

式中：Gi=x+rcosαi-（Rcosαi+L1cosθicosαi）（i=1，2，3）；Hi=y+r sin αi-（Rsinαi+L1cosθisinαi）（i=1，2，3）；Si=z+L1sinθi（i=1，2，3）.

將式（7）進行化簡得到：Iicos θi-Jisin θi-Ki=0

式中：Ii=2L1[（x+rcosαi-R cos αi）cos αi+（y+rcosαi-R sinαi）sinαi]；Ji=2L1z；Ki=（x+rcosαi-Rcosαi）2+（y+

根據(jù)倍角公式和打印機的裝配關(guān)系，位置反解為：

2.2 位置反解驗證

本文選取的機體尺寸參數(shù)為：R=205 mm，r=40 mm，L1=140 mm，L2=510 mm.位置反解就是給定動平臺1個位置，求得3個驅(qū)動轉(zhuǎn)角的大小.現(xiàn)對動平臺中心施加螺旋曲線的驅(qū)動：

將式（9）帶入反解方程（8），可求得 3個轉(zhuǎn)角角度（rad）與時間（s）的關(guān)系，仿真時間設(shè)置為20 s，其3個轉(zhuǎn)角隨時間變化的關(guān)系曲線如圖3所示.

圖3 驅(qū)動角變化曲線Fig.3 Changing curve of driven angle

由圖3可知，在運動過程中3個轉(zhuǎn)角曲線平順光滑，沒有突兀點，故位置逆解方程正確.3個驅(qū)動轉(zhuǎn)角能夠順暢地控制末端的軌跡，實現(xiàn)良好的打印效果，在打印過程中不會出現(xiàn)奇點，保證打印的精確性.

3 打印機體位置正解

3.1 位置正解方程

位置正解就是已知輸入的3個驅(qū)動轉(zhuǎn)角的大小，求得動平臺中心的位置.該陶瓷打印機為典型的并聯(lián)機構(gòu)，相對于串聯(lián)機構(gòu)而言，并聯(lián)機構(gòu)的位置逆解較容易而正解較難.目前，通常有2種方法求得并聯(lián)機構(gòu)的正解：一種是數(shù)值法，另一種是幾何法.幾何法需復(fù)雜的幾何數(shù)學(xué)推導(dǎo)，正解不易求出，故采用數(shù)值法求解[17-18].

式中：

式（10）為1個含有3個未知數(shù)、3個方程的非線性方程組，使用Matlab采用最小二乘法，輸入3個主動臂的轉(zhuǎn)角值，即可求得動平臺中心的位置.

3.2 位置正解驗證

首先，設(shè)定末端的運動軌跡為如式（9）所示的螺旋曲線，按照已經(jīng)驗證的位置逆解方程求得3個驅(qū)動轉(zhuǎn)角θi（i=1，2，3）與t時間的關(guān)系，將該關(guān)系式帶入正解方程（10），仿真時間設(shè)置為20 s，求得在位置正解方程下的末端位置x、y、z與時間t的曲線.若同樣為該螺旋線的話，位置正解即驗證正確.利用ADAMS軟件的ADAMS/Processor中的曲線處理工具得到末端位置位移（mm）與時間（s）的曲線，如圖4所示.

圖4 末端運動狀態(tài)Fig.4 State of terminal motion

由圖4可知，動平臺中心處X、Y、Z 3個方向的位移曲線均光順沒有突兀點，Z軸方向為豎直，其軌跡線為螺旋曲線，符合方程（9），故位置正解得到驗證.

4 速度、加速度分析

4.1 速度求解

對于 n 自由度機器人，關(guān)節(jié)變量 q=[q1，q2，…，qn]T，當關(guān)節(jié)變量為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時，qi=θi；當關(guān)節(jié)變量為移動關(guān)節(jié)時，qi=di；由Xn=Xn（q）可得：

式中：J（q）為（6× n）的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為 n自由度機器人速度雅克比矩陣.

在該打印機結(jié)構(gòu)中，關(guān)節(jié)變量為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，將式（11）對時間求導(dǎo)得：

同樣，取打印機3條支鏈中的1條進行分析，如圖 1（a）所示.

令 Si=BiCi，則 Si=OO′-（OAi+AiBi+CO′），在每條主動臂與靜平臺連接點Ai處建立坐標系{Ti}，{Ti}的X、Y、Z 3坐標軸的方向與固定坐標系X、Y、Z 3坐標軸的方向相同，則

故輸入3個驅(qū)動角速度θ˙i（i=1，2，3），通過式（17）即可求得動平臺末端的速度.

4.2 加速度求解

速度求解完后，加速度求解就變得十分簡單，對速度方程求導(dǎo)即可.

則輸入3個驅(qū)動角加速度θ¨i（i=1，2，3），通過式（20）即可求得動平臺末端的加速度.

4.3 速度、加速度算例驗證

在ADAMS中，對3個驅(qū)動角的旋轉(zhuǎn)運動副添加的速度驅(qū)動分別為加速度驅(qū)動為仿真時間設(shè)置為20s，速度與加速度驅(qū)動曲線如圖5所示.利用ADAMS/Processor中的曲線處理工具箱，求得末端的速度與加速度曲線，如圖6所示.由圖6可知，末端在X、Y、Z 3個方向上的最大速度分別為31、18、38 mm/s，最大加速度分別為30、45、45 mm/s2，其曲線均光順無突兀點，可見打印機噴頭末端的運動較為平穩(wěn)，能夠?qū)崿F(xiàn)較精確的打印效果.

圖5 速度、加速度驅(qū)動曲線Fig.5 Speed and acceleration curves of driven angle

圖6 末端速度、加速度曲線Fig.6 Speed and acceleration curves of terminal

5 結(jié) 語

本文基于Delta結(jié)構(gòu)設(shè)計了一款可實現(xiàn)持續(xù)進料、連續(xù)打印的陶瓷3D打印機，對陶瓷打印機的機體進行了運動學(xué)、速度和加速度分析，建立位置正逆解和速度、加速度方程，并結(jié)合具體參數(shù)進行算例仿真分析，驗證了運動學(xué)、速度和加速度數(shù)學(xué)模型的正確性.在本文設(shè)定的仿真條件下，打印終端在X、Y、Z 3個方向上的最大速度分別為 31、18、38 mm/s，在 X、Y、Z 3 個方向的最大加速度分別為30、45、45 mm/s2，并且在運動過程中速度、加速度沒有突變，實現(xiàn)了平穩(wěn)打印.

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