王慶

【摘要】 二次曲線的交點問題是許多學生和教師都心存疑惑的地方，本文通過課堂教學實錄給大家答疑解惑.

【關鍵詞】 二次曲線;交點;判別式;韋達定理

作為一位教師，我們都希望自己的課堂教學有行云流水的教學過程，巧妙的教學設計，學生積極主動的參與，良好的檢測效果.但是，真正的課堂教學往往會有一些意想不到的情況出現(xiàn)，而這些意料之外的情況恰恰真實地反映了學生的思維狀態(tài)和學生在積極主動參與時出現(xiàn)的困惑.在教學中我們應該珍惜這樣的機會，如果能夠利用好這些教學中的“意外”，就能在課堂上生成學生的主體意識、探究精神，同時對提高學生的思維品質具有積極意義.

一、課堂剪影

在上圓錐曲線習題課時，筆者給出下面問題：（2015·福州質檢）已知拋物線y2=2px（p>0）在第一象限內與圓x2+y2-4x+1=0交于不同的兩點A，B.

（1）求p的取值范圍;

（2）如果在x軸上只有一個點M，使MA⊥MB，求p的值及M的坐標.

教師：請同學們先思考第一小題，然后請學生回答.

學生1：交點問題都可以通過方程組處理.本題只需要滿足方程組 y2=2px，x2+y2-4x+1=0? 有解即可.整理得x2+2（p-2）x+1=0.由Δ=[2（p-2）]2-4>0得p<1或p>3.因為p>0，所有0<p<1或p>3.

學生2：方程組有兩解能說明兩曲線在第一象限有兩個不同交點嗎？

學生3：結果沒問題，但是思維過程不嚴密.應該加以說明：由于拋物線和圓都關于x軸對稱，根據(jù)對稱性，如果它們在第一象限有兩個交點，在第四象限也有兩個交點，但橫坐標只有兩個不同取值.

教師：這樣思考思維縝密多了，大家再思考：問題考慮得全面嗎？

學生4： 因為交點在第一象限，所以方程的根應該是兩個不相等的正根，所以還要加上條件： x1+x2=-2（p-2）>0，x1x2=1>0，?? 即 p<1或p>3，p<2，? ∴p的取值范圍是（0，1）.

學生都認為有道理，筆者也對問題加以強調.正準備進入第二小題的評講時，一名學生說出他的疑惑.

學生5：這里為什么需要考慮根的情況？我們以前學習直線和圓錐曲線都不需要考慮根的情況.如，直線l：y=2x+1與拋物線y2=2px（p>0）在第一象限有兩個交點，求p的取值范圍.只需要把l：y=2x+1代入y2=2px得：4x2+（4-2p）x+1=0，由Δ=（4-2p）2-4×4>0，即p<0或p>4.因為p>0，所以解得p>4.

學生4的發(fā)言引起大家的共鳴，許多同學都有同感.我意識到這堂課原定的教學計劃沒有辦法完成了，索性讓學生把大家都困惑的這個問題弄清楚.同學們思考一下原因？班上立即展開熱烈的討論.過了一會兒，有學生回答.

學生6：我認為整理后的問題就是一元二次方程根的分布問題.因此，需要考慮根的符號，所以要用上韋達定理.前面同學所舉兩例，其實都滿足 x1+x2>0，x1x2>0，? 只是過程省略沒寫.

學生7：同學6講得非常有道理，但是他仍然沒有說明為什么同學5所舉例題韋達定理可以不寫，而前面的例題必須要寫？

同學們由此陷入思考中.

教師：觀察兩道題的形式上有沒有不一樣的地方？

學生8：這兩例中的情況不一樣，例題中的兩個方程都是二次方程，而同學4所舉例題一個是一次方程另一個是二次方程.我覺得原因應該在這里，具體我還沒想清楚.

學生9：我認為黑板上例題中聯(lián)立消去的是y2，而同學4的兩例中消去的都是y.兩次消去的結構形式不一樣，可能這對結果有影響.

學生10：受同學9的啟發(fā)，每個方程都有兩個變量x，y，不僅x對y有影響，同時y對x也有制約.如橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）中的兩個變量x，y相互之間有制約，就像函數(shù)中x與y之間相互影響一樣.教材通過 y2 b2 =1- x2 a2 ≥0解得x范圍：-a≤x≤a.因此，這里y2=2px（p>0）中的y2決定了x≥0.而聯(lián)立消y2后的方程x2+2（p-2）x+1=0沒有了y2對x的制約，因此，會出現(xiàn)不合題意的根.而同學4舉例中的直線l：y=2x+1中y對x沒有制約，所以x∈ R .消元時x，y間制約沒有抵消掉，所以不受影響.

教師：大家都說得很好，處理多變量問題時，注意多元變量關系式對變量間的取值影響.下面哪名同學來總結一下？

學生11：直線和曲線交點問題由于沒有消去二次項，所以對交點沒有影響，可以只考慮判別式即可.如果是兩個曲線交點問題，我們不僅需要考慮判別式，還要從根的分布角度思考.

學生為以上幾名同學紛紛鼓掌，大家心頭的疑惑都得到解決.這時又有一名同學提出疑問.

學生12：Δ>0說明方程有實根，當p>3時， x1+x2=-2（p-2）<0，x1x2=1>0? 說明方程有負根，負根在這里沒有意義，那么這里的負根意義是什么？

剛剛輕松的氣氛瞬間被凍住，同學們又都認真思考起來.

教師：目前我們中學階段學習的都是坐標取實數(shù)的平面，如果坐標取復數(shù)，得到的坐標取值為兩個復平面的乘積，寫成（x，y）∈ C × C ，構成一個四維空間.拋物線和圓的方程會變成實部的方程和虛部的方程兩部分，它的零點集合在四維曲面里各是一張二維曲面，這兩個曲面會交于四個點，其中兩個坐標是實數(shù)，還有兩個坐標有虛數(shù)，就是增根.

二、教學反思

如果按教師能否順利地完成既定的教學任務，那么這節(jié)課是失敗的.但如果評價的標準是能不能夠根據(jù)學生的認知水平，幫助他們理解知識關系，構建和完善知識結構框架，培養(yǎng)學生分析、比較、計算等能力，那么這節(jié)課就是成功的.本節(jié)課沒有為了遵循教學計劃和安排忽視學生的問題，而是引導學生逐步深入思考，直至問題解決.本節(jié)課通過認真思考和熱烈討論，學生的思維活動過程分為：1.學生從曲線交點問題只考慮判別式到需要加韋達定理，從具體例題入手，通過歸納和對比研究兩類題型的解題差異.2.從等式中變量間關系出發(fā)解釋交點問題需要考慮韋達定理.用類比的方法，從教材解析幾何中橢圓方程得到坐標之間的相互約束出發(fā)，理解圓和拋物線具有同樣的規(guī)律.3.通過兩類不同題的解法，歸納出二次曲線交點問題的一般性解法和規(guī)范答題過程.4.從本源上理解產生增根的原因.學生通過思考、提問不僅提高了對知識的理解掌握，同時也提高了自己分析問題和解決問題的能力.

本節(jié)課的教學都是通過學生的活動來實現(xiàn)，彰顯了學生在課堂教學中的主體地位，也體現(xiàn)了教師在課堂教學中的主導作用.課堂學習氛圍濃厚，學生樂于積極思考，敢于大膽發(fā)言，分享自己的感悟和體會.學生的主動性得以充分發(fā)揮.在這堂課中教師是教學的組織者和引導者，適時加以點撥，掌控整個課堂，使得學生的思考層層深入，直至問題本源.

這場美麗的邂逅是由學生5的問題而引發(fā)，沒有質疑，學生就不會深入思考.朱熹曾說：“大疑則大悟，小疑則小悟，不疑則不悟.”教學過程中“問題”是讓師生雙方相互交流、相互溝通、相互理解、相互啟發(fā)、相互補充，提高教學質量的實質.在教學中我們需要重視學生的疑問，呵護學生的質疑之心，這才是尊重學生，尊重課堂，尊重數(shù)學.

【參考文獻】

[1]蔡欣.一次沒有預約的“美麗”[J].中學數(shù)學教學參考，2017（z1）：20-22.

[2]張向東.求兩個二次曲線交點個數(shù)的解決策略[J].滄州師范?？茖W校學報，2010（3）：127-128.