馬 壯 方一鳴 李建雄 劉 樂

1.燕山大學(xué)工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室，秦皇島，0660042.國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術(shù)研究中心，秦皇島，0660043唐山學(xué)院智能與信息工程學(xué)院，唐山，063000

0 引言

連鑄結(jié)晶器是鋼鐵連鑄自動化生產(chǎn)過程中的關(guān)鍵設(shè)備之一，其振動波形、振動頻率、拉坯速度等參數(shù)直接影響著鑄坯質(zhì)量。目前，連鑄結(jié)晶器按照振動控制方式主要分為采用正弦振動與非正弦振動[1-4]兩大類；按照驅(qū)動方式主要分為是伺服驅(qū)動和非伺服驅(qū)動兩大類。本文以伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器非正弦振動裝置[5]為研究對象，該裝置采用單方向連續(xù)轉(zhuǎn)動控制方式，不僅有效避免了電機頻繁的正反轉(zhuǎn)啟停，且具備節(jié)能降耗、結(jié)構(gòu)簡單、可維護性好等優(yōu)點[6]，但其系統(tǒng)的負載具有時變等不確定性，這在某種程度上制約了系統(tǒng)控制精度的進一步提高。

近年來，國內(nèi)外關(guān)于伺服電機驅(qū)動系統(tǒng)的研究，主要針對控制精度、跟蹤精度和抑制擾動等方面。文獻[7]針對伺服系統(tǒng)存在外部擾動和參數(shù)不確定性等特點，采用預(yù)測控制方法設(shè)計了控制器，保證了閉環(huán)系統(tǒng)對轉(zhuǎn)速的精確跟蹤和對電機電流的輸出控制。文獻[8]提出在伺服系統(tǒng)位置前饋控制的基礎(chǔ)上，引入位置環(huán)微分負反饋控制策略，這樣既能保證系統(tǒng)無超調(diào)快速響應(yīng)，又不影響位置前饋跟蹤性能。文獻[9]采用模糊控制與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，實現(xiàn)連鑄結(jié)晶器非正弦振動系統(tǒng)的跟蹤控制，仿真結(jié)果驗證了所設(shè)計的方案能提高非正弦振動系統(tǒng)跟蹤控制性能和魯棒性。文獻[10]應(yīng)用無源性控制理論和方法，研究了在負載轉(zhuǎn)矩和期望轉(zhuǎn)矩任意時變的情形下異步電動機期望轉(zhuǎn)矩的漸近跟蹤控制問題。文獻[11]提出以轉(zhuǎn)速、負載轉(zhuǎn)矩為觀測對象的擴展滑模觀測器，對觀測的負載轉(zhuǎn)矩進行前饋補償，克服了負載時變對控制性能的影響。文獻[12]采用非奇異終端滑模的負載觀測器，將觀測值補償?shù)较到y(tǒng)的控制器中，從而增強了系統(tǒng)的魯棒性，并提高了跟蹤精度。文獻[13-14]引用自抗擾控制技術(shù)在線估計轉(zhuǎn)矩擾動，進一步提高了伺服控制精度。然而，針對僅具有位移傳感器的連鑄結(jié)晶器振動控制系統(tǒng)來說，因其單方向、變角速度旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的伺服電機位置轉(zhuǎn)角的控制問題，前述方法并不能直接采用。

本文分析并建立伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器非正弦振動控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，對結(jié)晶器振動位移與伺服電機角位移之間的逆解非唯一問題將采用分段函數(shù)映射的方法；針對結(jié)晶器控制系統(tǒng)的時變負載轉(zhuǎn)矩特性，采用擴張狀態(tài)觀測器對時變負載轉(zhuǎn)矩和伺服電機轉(zhuǎn)速進行觀測，并將其輸出的觀測值引入到Backstepping控制器中進行補償，以抑制時變擾動與負載突變引起的系統(tǒng)性能的降低。

1 伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1.1 伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶控制系統(tǒng)描述

(a)系統(tǒng)振動裝置樣機原型

(b)系統(tǒng)振動裝置示意圖圖1 伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器振動裝置樣機及示意圖Fig.1 Vibration device prototype and schematic diagram of continuous casting mold driven by servo motor

本文研究的伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器振動裝置示意圖如圖1所示。伺服電機通過聯(lián)軸器、減速器、偏心軸以及連桿等機械傳動機構(gòu)，實現(xiàn)對結(jié)晶器振動臺的驅(qū)動控制。

伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器位移控制系統(tǒng)振動裝置原理為：首先，結(jié)晶器位移振動控制系統(tǒng)根據(jù)連鑄拉坯速度與給定位移振動波形計算出伺服電機的轉(zhuǎn)速；其次，將轉(zhuǎn)速傳送給伺服電機控制器，通過伺服電機控制器與伺服電機形成轉(zhuǎn)速與電流的雙閉環(huán)系統(tǒng)，跟隨系統(tǒng)轉(zhuǎn)速的給定；最后,通過機械傳動機構(gòu)完成結(jié)晶器位移振動控制系統(tǒng)輸出。其系統(tǒng)輸入輸出規(guī)律為：當伺服電機恒速運轉(zhuǎn)時，結(jié)晶器為正弦振動；當伺服電機變速運轉(zhuǎn)時，結(jié)晶器為非正弦振動。

本文主要分析負載的時變特性對系統(tǒng)位移控制精度的影響，并進行補償控制研究。其振動裝置的負載主要包括鋼水、結(jié)晶器本體、振動臺的質(zhì)量等。同時，結(jié)晶器非正弦(含正弦)振動過程中負載存在加速度，也會產(chǎn)生力矩；結(jié)晶器中鐵水的多少也將會引起負載的波動。

1.2 系統(tǒng)模型描述

1.2.1 伺服電機雙閉環(huán)系統(tǒng)部分模型

伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器模擬振動系統(tǒng)采用的是永磁同步電動機(PMSM)；控制器為西門子S120驅(qū)動控制器，構(gòu)成伺服電機轉(zhuǎn)速和電流環(huán)雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 伺服電機驅(qū)動器控制的電流與 轉(zhuǎn)速雙閉環(huán)控制原理圖Fig.2 Principle diagram of current and speed double close-loop for servo motor driver

本文的伺服電機模型采用的是d-q坐標系下狀態(tài)方程的形式[12]：

(1)

式中，n為伺服電機輸出轉(zhuǎn)速；ud、id分別為d軸電壓和電流；uq、iq分別為q軸電壓和電流；J為轉(zhuǎn)動慣量；B為黏性摩擦系數(shù)；TL為負載轉(zhuǎn)矩；p為磁極對數(shù)；L、Rs、ψf分別為伺服電機等效的電感、磁阻和磁鏈。

1.2.2 機械傳動機構(gòu)部分模型建立

連鑄結(jié)晶器振動裝置機械傳動機構(gòu)部分(圖1b)主要由減速器、偏心軸及連桿等組成。假設(shè)聯(lián)軸器、偏心軸以及連桿機構(gòu)為剛性連接，并忽略其非線性因素，這里僅考慮減速器的測量誤差以及齒輪間隙磨損造成的減速比變化的影響，本文采用減速器的理想減速比i=5.113 5。結(jié)晶器連桿機構(gòu)振動位移模型為

xp=hsinθm

(2)

式中,h為連鑄結(jié)晶器振動位移,h=3 mm；θm為偏心軸的位置轉(zhuǎn)角。

θm與伺服電機輸出的角速度ω的關(guān)系表達式如下：

ω=2πnm/60=2πn/(60i)

(3)

(4)

式中，ω為伺服電機輸出的角速度；nm為伺服電機經(jīng)減速器后輸出的轉(zhuǎn)速。

由式(2)～式(4)可知，振動位移模型為

(5)

(6)

1.2.3f(·)函數(shù)關(guān)系的確立

結(jié)晶器位移振動范圍在[-h,h]，其逆解與角位移并不是一一對應(yīng)的。為使其相對應(yīng)，本文提出了一種分段映射函數(shù)法f(·)，建立區(qū)間內(nèi)偏心軸角位移與結(jié)晶器位移的一一對應(yīng)關(guān)系，其原理如圖3所示。圖3a中結(jié)晶器振動位移h=3 mm，在一個周期范圍內(nèi)劃分了4個時間段，即為t1、t2、t3、t4。

(a)振動位移及其絕對值曲線

(b)期望角位移和|xp|/h反正弦曲線圖3 結(jié)晶器振動位移與角位移變換原理圖Fig.3 Conversion principle diagram between mold vibration displacement and angular displacement

在結(jié)晶器控制系統(tǒng)的偏心軸零位確定為初始值為0的情況下，其振動波形如圖3a所示；本系統(tǒng)的伺服電機單方向旋轉(zhuǎn)的角位移與量綱一振動位移|xp|/h的反正弦函數(shù)關(guān)系如圖3b所示。其變換推導(dǎo)過程如下。

(1)根據(jù)結(jié)晶器第一個周期的振動位移及其絕對值推導(dǎo)角位移與|xp|/h之間的關(guān)系，如下式所示:

(7)

其中，ti與ω的關(guān)系為

(8)

(2)引入變量k，在0≤ωt≤ωt0區(qū)間，其值為1；在ωt0≤ωt≤ωt1區(qū)間，k=2；其中j=i+1,以此類推，通過式(7)可歸納出：

f(xp)=

(9)

ωti<ωt<ωtj

(3)變量k的初始值為1，其k←k+1的更新條件為

(|xp(t)|-|xp(t-1)|)·(|xp(t+1)|- |xp(t)|)<0

(10)

(4)更新k后，返回步驟(2)即可。

定義1θ(t)是伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器非正弦控制裝置的角位移輸出，A為關(guān)于振動波形偏斜率α的表達式。θ(t)為自變量時間t的連續(xù)函數(shù)，t∈[0,∞)，其表達式如下：

θ(t)=ωt+Asinωt

(11)

定理1 對于結(jié)晶器振動位移xp=hsinθ(t)，其中h>0。在t∈[0,∞)的任意時刻，關(guān)于f(xp)的表達式，式(9)是連續(xù)函數(shù)，且θ(t)與xp一一對應(yīng)。

證明：

(12)

在計算映射函數(shù)的右極限時，k更新為k+1，此時極限為

(13)

故可得

(14)

由式(14)可知，即f(xp)在此點為連續(xù)函數(shù)。同理，當k為偶數(shù)時，f(xp)也為連續(xù)函數(shù)。因此f(xp)為映射函數(shù)。證畢。

(2)唯一性證明。由定義1可知：θ′(t)=ω+Aωcos(ωt)≥ω-Aω=ω(1-A)>0,因此，θ(t)為單調(diào)增函數(shù)?，F(xiàn)僅須證明f(xp)為單調(diào)增函數(shù)，即可證明f(xp)與θ(t)是一一對應(yīng)的。當k為奇數(shù)時，f(xp)的導(dǎo)數(shù)為

(15)

同理，當k為偶數(shù)時，f(xp)的導(dǎo)數(shù)為

f′(xp)=ω(1-A)>0

(16)

證畢。

由式(13)可知，在ω=13.61 rad/s，A=0.4的情況下。圖4所示為角位移映射函數(shù)與實際位移實時跟蹤曲線。由圖4可以看出，實際角位移經(jīng)映射函數(shù)轉(zhuǎn)換后得到的曲線，具有很高的轉(zhuǎn)換精度，同時表明了本方法的可行性。

圖4 映射函數(shù)f(·)和實際角位移跟蹤曲線Fig.4 Curve of mapping function f(·) and the actual angular displacement

因電流環(huán)均考慮在伺服電機驅(qū)動器之內(nèi)，經(jīng)整定采用PI調(diào)節(jié)器，故此部分不再贅述。

(17)

式中，D(t)為含有負載擾動Δd和參數(shù)攝動ΔB的復(fù)合擾動。

負載轉(zhuǎn)矩(TL+Δd)具有時變特性，Δd為時變負載擾動的不確定項，Δd滿足下式：

sup‖Δd(t)‖=δ<+∞t∈[0,+∞)

(18)

式中,δ為已知常數(shù)。

2 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

首先，針對負載時變擾動，采用擴張狀態(tài)觀測器進行觀測；然后，采用Backstepping控制方法進行位置環(huán)控制器設(shè)計，并進行穩(wěn)定性分析。系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。

圖5 伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器位移控制系統(tǒng)原理圖Fig.5 Control system principle diagram of continuous casting mold driven by servo motor for displacement

2.1 時變負載狀態(tài)觀測器的設(shè)計

在結(jié)晶器控制系統(tǒng)中，針對式(18)中的負載轉(zhuǎn)矩不確定項，擬采用帶有動態(tài)補償律的非線性擴張狀態(tài)觀測器[15]，表達式如下:

(19)

g(·)的表達式如下：

(20)

式中，exp為自然對數(shù)。

參數(shù)矩陣K=[k1k2…kn+1]可由下式中的期望極點來確定：

(21)

式中，pi為預(yù)設(shè)極點;K為狀態(tài)觀測器參數(shù)矩陣；I為單位矩陣;s為拉普拉斯算子。

2.2 控制器設(shè)計

由式(19)，定義系統(tǒng)狀態(tài)誤差向量E=(e1,e2)=x-xd，xd=(x1d，x2d)，x、xd分別為系統(tǒng)狀態(tài)向量、期望狀態(tài)向量，則系統(tǒng)誤差模型為

(22)

采用Backstepping控制方法完成式(22)控制器設(shè)計，步驟如下：

根據(jù)式(22)的第1式構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V1為

(23)

令虛擬控制量σ=K1e1+e2(K1>0為可調(diào)參數(shù))，則式(23)的微分為

(24)

針對子系統(tǒng)式(22)的第2式，選取實際控制量u為

(25)

式中，K2為可調(diào)參數(shù)，K2>0。

構(gòu)造正定Lyapunov函數(shù)V2為

(26)

對V2求一階導(dǎo)數(shù)：

(27)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，伺服電機驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器振動控制系統(tǒng)在所設(shè)計控制器(式(25))的作用下是全局漸近穩(wěn)定的。

3 仿真研究

為了驗證所設(shè)計算法的有效性，針對前文中設(shè)計的控制器及非線性處理方法進行時變負載轉(zhuǎn)矩的結(jié)晶器振動控制系統(tǒng)仿真研究。圖1中的減速器的減速比i=5.114 5。伺服電機采用的是德國Siemens的1FT6134-6，其具體參數(shù)見表1。

表1 永磁同步電機參數(shù)

電流d、q軸的PI調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)為

(28)

式中,Kp為比例調(diào)節(jié)系數(shù);τ為積分調(diào)節(jié)時間。

經(jīng)系統(tǒng)參數(shù)整定，式(28)中的參數(shù)分別為KP=12.982，τ=0.002 s。

本文采用的擴張狀態(tài)觀測器，預(yù)設(shè)極點為三重根p1,2,3=-5，根據(jù)式(21)計算可得：k1=75，k2=75，k3=125。

結(jié)晶器的給定角位移信號為

θ*=ωt-Asin(ωt)

(29)

式中，f為連鑄結(jié)晶器非正弦振動頻率,f=130 Hz。

文獻[4]中負載擾動表達式如下：

TL=5.133 5+6.498 5sin(ω0t-Asinω0t)

(30)

針對結(jié)晶器振動過程中負載轉(zhuǎn)矩的時變特點，仿真研究中在t=2 s時刻突加負載擾動Δd1=10 N·m,且在t=3.5 s時刻突減負載擾動Δd2=10 N·m,用以驗證系統(tǒng)的可靠性。

圖6～圖9所示分別為時變擾動與突加負載變化時，系統(tǒng)在反步控制與PID控制結(jié)晶器振動位移跟蹤曲線與跟蹤誤差曲線。由圖7可以看出，本文提出方法的誤差范圍為-0.1～0.1mm，而PID控制方法的誤差為0.5mm，故本文采用的方法控制精度較高。由圖9可以看出，本文提出的方法與圖6相比基本未變化，而PID控制方法的控制精度則有顯著較低。由此可知，Backstepping控制較PID控制能夠更好地抑制由于負載時變與突變引起的擾動。而經(jīng)典PID控制方法具有算法簡單、控制效果較好等優(yōu)勢，但它在抑制時變與突加負載擾動時，系統(tǒng)的跟蹤性能較Backstepping控制方法差，PID控制方法的跟蹤誤差在負載突變時影響更加明顯。

圖6 時變無擾動振動位移跟蹤曲線Fig.6 Tracking curve of vibration displacement without time-varying load torque disturbances

圖7 時變無擾動誤差跟蹤曲線Fig.7 Tracking error curve of vibration displacement without time-varying load torque disturbances

圖8 時變突加擾動振動位移跟蹤曲線Fig.8 Tracking curve of vibration displacement with time-varying disturbance

圖9 時變突加擾動誤差跟蹤曲線Fig.9 Tracking error curve of vibration displacement with time-varying disturbance

4 結(jié)論

(1)本文研究了結(jié)晶器非正弦控制系統(tǒng)中振動位移與伺服電機角位移逆解不唯一問題，提出了一種利用函數(shù)映射的方法。

(2)在考慮系統(tǒng)時變負載擾動的情況下，采用了以角位移與伺服電機電流為輸入的擴張狀態(tài)觀測器來估計電機轉(zhuǎn)速與負載擾動，并將其補償?shù)娇刂破髦小?/p>

(3)采用Lyapunov定理證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所提出的方法能夠?qū)崿F(xiàn)對時變負載與時變突加負載的自適應(yīng)控制。

(4)仿真研究表明，映射函數(shù)與反步控制相結(jié)合的方法符合結(jié)晶器非正弦控制系統(tǒng)的性能要求，具備較好的收斂性與魯棒性。相比于經(jīng)典PID控制方法，本文所提出的方法不僅實現(xiàn)了對振動位移的精確跟蹤控制，而且在突加負載擾動情況下也具有較好的瞬態(tài)性能。

[1]ARAKIT,IKEDAM.OptimizationofMoldOscillationforHighSpeedCasting—NewCriteriaforMoldOscillation[J].CanadianMetallurgicalQuarterly,1999,38(5):295-300.

[2]ZHANGXZ,ZHENGXR,LIUQG,etal.InvestigationandApplicationofNon-sinusoidalOscillationTechniqueofMold[J].JournalofIronandSteelResearch,International,2013,20(12):19-24.

[3]MAY,WANGXD,ZANGXY,etal.ExperimentalResearchonEffectofControlModelonLubricationforSlabContinuousCastingMould[J].Iron&SteelMaking,2008,35(3):164-168.

[4]LIXiankui,ZHANGLiping,YANGLadao,etal.DynamicsStudyonNewNon-sinusoidalOscillationSystemofMold[J].JournalofIronandSteelResearchInternational,2008,15(S1):517-522.

[5] 李憲奎. 機械驅(qū)動的非正弦振動發(fā)生裝置: 中國, 專利號CN2395826 [P]. 2000.9.LIXiankui.Non-sinusoidalOscillatingGeneratorDrivenbyMechanism:China,CN2395826 [P].2000.9.

[6] 方一鳴,李宮胤,李建雄,等. 伺服電機驅(qū)動連鑄結(jié)晶器振動系統(tǒng)建模與分析[J]. 儀器儀表學(xué)報,2014,35(11):2615-2623.FANGYiming,LIGongyin,LIJianxiong,etal.ModelingandAnalysingforOscillationSystemofContinuousCastingMoldDrivenbyServoMotor[J].ChineseJournalofScientificInstrument,2014,35(11):2615-2623.

[7]ERROUISSIR,OUHROUCHEM,CHENWH,etal.RobustNonlinearPredictiveControllerforPermanent-magnetSynchronousMotorswithanOptimizedCostFunction[J].IEEETransactionsonIndustrialElectronics,2012,59(7):2849-2858.

[8] 黃科元, 周滔滔, 黃守道,等. 含前饋補償和微分反饋的數(shù)控位置伺服系統(tǒng) [J]. 中國機械工程,2014,25(15):2017-2023.HUANGKeyuan,ZHOUTaotao,HUANGShoudao,etal.CNCPositionServoSystemwithFeedforwardCompensationandDifferentialFeedback[J].ChinaMechanicalEngineering,2014,25(15):2017-2023.

[9] 張興中, 李憲奎. 連鑄結(jié)晶器非正弦振動系統(tǒng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制[J]. 中國機械工程,2005,16(2):112-114.ZHANGXingzhong,LIXiankui.FuzzyNeuralNetworkTrackingControlofNon-sinusoidalOscillatioinSystemforContinuousCastingMould[J].ChinaMechanicalEngineering,2005,16(2):112-114.

[10] 馬良河,姜建國. 負載轉(zhuǎn)矩未知時變情形下異步電動機的無源性跟蹤控制[J]. 電工技術(shù)學(xué)報,2004,19(1):12-15, 25.MALianghe,JIANGJianguo.InductionMotorTrackingControlBasedonPassivityPrinciplewithUnknownTime-varyingLoadTorque[J].TransactionsofChinaElectrotechnicalSociety,2004,19(1):12-15, 25.

[11] 張曉光,孫力,趙克. 基于負載轉(zhuǎn)矩滑模觀測的永磁同步電機滑模控制[J]. 中國電機工程學(xué)報,2012,32(3):111-116.ZHANGXiaoguang,SUNLi,ZHAOKe.SlidingModeControlofPMSMBasedonaNovelLoadTorqueSlidingModeObserver[J].JournalofChineseElectricalEngineeringScience,2012,32(3):111-116.

[12] 方一鳴,李智,吳洋羊,等. 基于終端滑模負載觀測器的永磁同步電機位置系統(tǒng)反步控制[J]. 電機與控制學(xué)報,2014,18(9):105-111.FANGYiming,LIZhi,WUYangyang,etal.BacksteppingControlofPMSMPositionSystemsBasedonTerminal-slidingModeLoadObserver[J].ElectricMachinesandControl,2014,18(9):105-111.

[13] 龍滿林, 付永領(lǐng), 李光華,等. 自抗擾算法在直流力矩電機伺服系統(tǒng)中的應(yīng)用[J]. 中國機械工程,2012,23(9):1047-1050.LONGManlin,FUYongling,LIGuanghua,etal.ADRAlgorithmAppliedinServoSystemDrivenbyDCTorqueMotor[J].ChinaMechanicalEngineering,2012,23(9):1047-1050.

[14]LIUH,LIS.SpeedControlforPMSMServoSystemUsingPredictiveFunctionalControlandExtendedStateObserver[J].IEEETransactionsonIndustrialElectronics,2012,59(2):1171-1183.

[15] 陳松林,趙海香. 三階擴張狀態(tài)觀測器的優(yōu)化參數(shù)配置方法[J]. 控制與決策,2014,29(10):1851-1855.CHENSonglin,ZHAOHaixiang.ParameterOptimizationofThird-orderExtendedStateObserver[J].ControlandDecision,2014,29(10):1851-1855.