上海師范大學(xué)(200234)沈越

1 前言

在折紙數(shù)理學(xué)中,芳賀的三個(gè)定理展示了三種在正方形的邊上折三等分點(diǎn)的方法.筆者通過觀察發(fā)現(xiàn),這三種折法的共同之處在于都利用了正方形上邊的中點(diǎn).于是筆者思考,能否利用正方形的中心來進(jìn)行折疊,得到正方形邊上的三等分點(diǎn)呢?經(jīng)過探究,筆者發(fā)現(xiàn)了一種新的折法,可以用來折出正方形邊上的三等分點(diǎn).此外,筆者還將這種折法運(yùn)用于一般長(zhǎng)方形,并將這種折法稍加變形后再運(yùn)用于正方形,得出了一些有意義的結(jié)論.特別地,筆者給出了在正方形邊上折n等分點(diǎn)的一種方法.

2 一種新的折正方形邊上三等分點(diǎn)的折法

操作1 在正方形ABCD中,將CD與AB重合對(duì)折,折痕為EF;再將AB、CD分別與EF重合對(duì)折,折痕分別為GH、MN,如圖1所示;

圖1

圖2

操作2 以MH為折痕,將梯形CDMH向上翻折,CH翻折后的對(duì)應(yīng)邊C′H與AB交于點(diǎn)K,如圖2所示,則K點(diǎn)是邊AB上的三等分點(diǎn).

為了敘述方便,下文統(tǒng)一將這種新折法稱為該折法.現(xiàn)對(duì)該折法折出的點(diǎn)K是AB邊上三等分點(diǎn)進(jìn)行證明,證明如下:

易知MH過正方形中心O.令A(yù)B邊中點(diǎn)為P,連接OP、OK、OF,并作OS⊥KH交KH于點(diǎn)S(如圖3所示).令大正方形ABCD邊長(zhǎng)為2a,則小正方形OPBF邊長(zhǎng)為a,BH=HF=設(shè)BK=x,則PK=a?x.此外,由于∠OHS=∠OHF,∠OSH=∠OFH=90°,OH=OH,故△OSH～=△OFH(a.a.s.),OS=OF=a.又由于OS=OP=a,OK=OK,∠OSK=∠OPK=90°,故△OSK～=△OPK(h.l.),SK=PK=a?x.在Rt△KBH中運(yùn)用勾股定理,有

圖3

3 該折法在一般長(zhǎng)方形中的拓展探究

設(shè)長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2a,AD=2ka.對(duì)長(zhǎng)方形ABCD運(yùn)用該折法進(jìn)行折疊,得到CH的對(duì)應(yīng)邊C′H與AB的交點(diǎn)K.為了探求K在AB上的位置,同樣,我們將長(zhǎng)方形ABCD的中心O分別與AB邊上中點(diǎn)P、BC邊上中點(diǎn)F進(jìn)行連接,得到了小長(zhǎng)方形OPBF,其中BP=a,OP=ka(如圖4所示).由于在小長(zhǎng)方形OPBF中,該折法的折疊過程與芳賀第二定理的折疊過程一致,故直接運(yùn)用文[1]中“芳賀第二定理在一般長(zhǎng)方形中的拓展探究”的結(jié)論,當(dāng)k＜2時(shí)有

圖4

圖5

4 對(duì)該折法在正方形中變形的拓展探究

通過觀察筆者發(fā)現(xiàn),該折法的折痕不僅通過正方形的中心O,而且與正方形的邊AD、BC的交點(diǎn)也是特殊點(diǎn)(M、H分別是AD、BC邊上的四等分點(diǎn)),于是筆者設(shè)想,如果只保留折痕過正方形中心O點(diǎn)的性質(zhì),而不要求其過AD、BC邊上的四等分點(diǎn),C′H與AB的交點(diǎn)K在AB上的位置是否有某些更一般的結(jié)論?為此,筆者在正方形中進(jìn)行了如下操作:

操作3 在正方形ABCD中,將CD與AB重合對(duì)折,折痕為EF;將AD與BC重合對(duì)折,折痕為PQ.記PQ與EF的交點(diǎn)為O,則O是正方形ABCD的中心,如圖6所示.

操作4 在BF上任取一點(diǎn)H,連接HO并延長(zhǎng)使之與AD交于點(diǎn)M.以MH為折痕,將梯形CDMH向上翻折,CH的對(duì)應(yīng)線段C′H與AB交于點(diǎn)K,如圖7所示.

圖6

圖7

圖8

易有折痕MH過正方形中心O點(diǎn).為了探求K在AB上的位置,我們連接OP、OK、OF,并作OS⊥KH交KH于點(diǎn)S(如圖8所示).令大正方形ABCD邊長(zhǎng)為2a,則小正方形OPBF邊長(zhǎng)為a.設(shè)HF=ta,BK=x,則BH=a?ta,PK=a?x.此外,由于∠OHS=∠OHF,∠OSH=∠OFH=90°,OH=OH,故△OSH～=△OFH(a.a.s.),HS=HF=ta,OS=OF=a.又由于OS=OP=a,OK=OK,∠OSK=∠OPK=90°,故△OSK～=△OPK(h.l.),SK=PK=a?x.在Rt△KBH中運(yùn)用勾股定理,有

作為結(jié)論,我們有:當(dāng)該折法的折痕繞正方形中心O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),K點(diǎn)分AB邊的比值同折痕MH與正方形邊AD、BC的交點(diǎn)M、H的位置有關(guān),且等于特別地,當(dāng)H取BF的中點(diǎn)時(shí),有故可知該折法能折出AB邊上的三等分點(diǎn)K.此外,若要折AB邊上的四等分點(diǎn)、五等分點(diǎn)、六等分點(diǎn)K等等,只需相應(yīng)地先找到BF邊上靠近F那一側(cè)的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)、五等分點(diǎn)H等等,然后連接HO并延長(zhǎng)使之交AD于M,再以MH為折痕將梯形CDMH向上翻折即得.從理論上來看,通過折紙找AB邊上的n等分點(diǎn)可以在有限步內(nèi)完成:先利用中點(diǎn)尋找三等分點(diǎn),再利用三等分點(diǎn)尋找四等分點(diǎn)等等,直到利用(n?1)等分點(diǎn)尋找n等分點(diǎn).

5 結(jié)語

本文給出了在正方形邊上折三等分點(diǎn)的一種新折法,并通過將該折法運(yùn)用于一般長(zhǎng)方形以及稍加變形后運(yùn)用于正方形中的拓展探究,得到了一些有意義的結(jié)論,特別是在最后筆者給出了在有限步內(nèi),通過層層遞進(jìn)的方式折正方形邊上n等分點(diǎn)的方式,值得讀者做進(jìn)一步的深思與研究.

此外,若將本文中的折紙方法用于幾何教學(xué)(特別是全等三角形、勾股定理的教學(xué)),設(shè)計(jì)一些以小組合作為方式的探究活動(dòng),可極大地提升學(xué)生遷移與運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力,增加他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.相信老師與學(xué)生們?cè)诤献魈骄康倪^程中,會(huì)發(fā)現(xiàn)更多新奇有趣的結(jié)果,感受到折紙的魅力!

[1]沈越.芳賀第一與第二定理在一般長(zhǎng)方形中的拓展探究.[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2016.(06):19-21