廣東省廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬天河學(xué)校(510650)陳龍彬

解題的目的不是簡單地得出正確答案,我們更應(yīng)該自覺地進(jìn)行解后分析,這樣我們能夠得到更多、更寶貴的東西.下面以一道中考題為例,說明解后分析的重要性.

1、題目呈現(xiàn)

例(2017廣州中考)如圖1,AB是⊙O的直徑,弧AC=弧BC,AB=2,連接AC,

圖1

(1)求證:∠CAB=45°;

(2)若直線l為⊙O的切線,C是切點(diǎn),在直線l上取一點(diǎn)D,使BD=AB,BD所在直線與AC所在的直線相交于點(diǎn)E,連接AD.

①試探究AE與AD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

2、題意的初步理解

(1)題目的條件是什么,一共有幾個(gè),其數(shù)學(xué)含義如何.

條件1:AB是⊙O的直徑,即∠ACB=90°;

條件2:弧AC=弧BC,即可推出∠CAB=∠CBA或AC=BC;

條件3:AB=2,即可用于計(jì)算該圖形中的線段長度;

條件4:直線l為⊙O的切線,C是切點(diǎn),即OC⊥l;

條件5:BD=AB,D在直線l上,即D在以B為圓心,AB為半徑的圓上,同時(shí)也在直線l上.

(2)題目的結(jié)論是什么,一共有幾個(gè),其數(shù)學(xué)含義如何.

結(jié)論1:∠CAB=45°,是一個(gè)特殊角.

結(jié)論2:AE與AD的數(shù)量關(guān)系,即證明AE=k·AD;

(3)題目的條件與結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系.根據(jù)條件1與2可知△ACB是等腰直角三角形,從而證明∠CAB=45°.而根據(jù)條件5可知D點(diǎn)的位置有兩種情況,如圖2、3所示,由圖可猜想,AD=AE,并且當(dāng)D的位置確定后,的值也會(huì)確定.

圖2

圖3

面對證明線段相等的問題,根據(jù)已作出圖形的結(jié)構(gòu)可考慮證明△AED是等腰三角形.面對兩線段的比值問題,中學(xué)的基本思路是:求出兩條線段的具體值或利用相似三角形.本文著重對第(2)②問進(jìn)行解法研究,并且只對圖2這一情況進(jìn)行分析與探究.

3、關(guān)于第(2)①問圖2的解法

解過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,連接OC,如圖4所示,因?yàn)锳B=2,所以O(shè)A=OC=1,易證:四邊形DFOC是矩形,所以DF=OC=1,所以BD=2DF,所以∠DBF=30°,因?yàn)锽A=BD,所以∠BAD=∠BDA=75°,因?yàn)椤螦ED=∠CAB+∠DBF=75°,所以∠BDA=∠AED,所以AD=AE.

圖4

4、關(guān)于第(2)②問圖2的解法研究

基于第(2)①問的解答過程以及條件3,比較自然會(huì)考慮先將EB與CD的具體長度求出,然后再代入中即可求出答案.

圖5

由解法1可知:EB=2CD,圖3的情況也可以類似于解法1的思路求出EB=2CD,至此本題已經(jīng)完全解決,但思考不能到此為止,兩條線段的比值為“2”,而“2”在幾何中是一個(gè)特殊值,如果結(jié)合含30°角的直角三角形來考慮,我們有以下解法.

解法2 過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G,連接OC、GC、BC、如圖6所示,因?yàn)锳B是⊙O的直徑,所以∠BCE=90°,所以∠EGB=∠BCE=90°,所以E、G、B、C四點(diǎn)共圓,且EB為該圓的直徑.由(2)①可知:∠DBA=∠DAC=30°,所以∠CBE=15°,所以由圓周角定理可知:∠EGC=∠CBE=15°,所以∠CGB=∠DAG=75°,所以AD//CG,因?yàn)锳G//CD,所以四邊形ADCG是平行四邊形,所以CD=AG.因?yàn)椤螩AB=45°,所以AG=GE=CD,所以EB=2GE=2CD.

解法2的妙處是利用平行四邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)把CD轉(zhuǎn)移到GE,然后利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)從而得出EB=2GE.而在解法1和解法2中,我們應(yīng)該注意到∠DAC=∠EBA,∠DCA=∠EAB,我們有以下解法.

圖6

解法3的關(guān)鍵是∠DAC=∠EBA,∠DCA=∠EAB以及AD=AE,而這些結(jié)論都是從(2)①中證明過程所獲得,從解法3也可以看出命題者設(shè)置第(2)①小問的意圖.而兩條線段的比值為“2”還可以與中點(diǎn)聯(lián)系,我們有以下兩種解法.

解法4設(shè)EB的中點(diǎn)為F,過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G,如圖7,設(shè)GE=x,所以易求得:AE=EF=x,所以AE2=EF·BE.因?yàn)椤螦EF=∠BEA,所以△AEF∽△BEF,所以∠EAF=∠EBA=30°,∠EFA=∠EAB=45°.因?yàn)椤螪AC=∠EAF=30°,∠DCA=∠EFA=45°,AD=AE,所以△ADC～=△EAF(AAS),所以

圖7

解法5 設(shè)EB的中點(diǎn)為點(diǎn)F,連接CF、BC,如圖8.因?yàn)锳B是⊙O的直徑,所以∠ECB=90°,所以由(2)①可知:∠CBD=15°,∠CDB=30°,所以∠FCB=15°,所以∠CFD=∠FCB+∠CBD=30°,所以

圖8

解法4與解法5的妙處在于找出EB的中點(diǎn)F,然后利用全等三角形的性質(zhì)或直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出EB=2CD,實(shí)際上這兩種解法相當(dāng)于“截長”.于是我們有以下“補(bǔ)短”的解法.

圖9

解法6 延長DC至點(diǎn)F,使得CD=CF,連接BF、OC,如圖9所示因?yàn)镺C⊥AB,所以由對稱性可知:∠FBA=∠DAB=75°,所以∠FBD=∠FBA?∠EBA=45°.因?yàn)椤螰DB=∠EBA,∠FBD=∠EAB=45°,BD=AB,

5、解題的自覺反思

通過本題我們可以發(fā)現(xiàn),教師在解決壓軸題時(shí),應(yīng)當(dāng)自覺進(jìn)行反思,這樣可以獲得更多解法,同時(shí)通過一題多解也可以提高對本題的認(rèn)識(shí).因此教師在平常的教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后反思,培養(yǎng)學(xué)生分析問題,探究問題,解決問題的能力,同時(shí)還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.