四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610011)甘良燕 邵利

一、研究背景

迷思概念的研究一直是西方教育學(xué)界關(guān)心的熱點問題之一.研究的領(lǐng)域涉及物理、化學(xué)、科學(xué)、生物、數(shù)學(xué)等學(xué)科.臺灣地區(qū)較早開始對迷思概念的研究,研究成果頗豐,對日常課堂的教學(xué)起到指導(dǎo)作用,而我國大陸地區(qū)在相關(guān)問題上的研究才剛剛起步,研究內(nèi)容主要集中在化學(xué)、生物、物理等學(xué)科,有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科上的迷思概念研究甚少.在CNKI上以“迷思概念”為主題從2000年到2017年進行檢索一共檢索到273條結(jié)果,以“迷思概念”并含“數(shù)學(xué)”為主題檢索到17條結(jié)果,可見對迷思概念的研究較少,尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科迷思概念的研究還很少.

冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù),也是高中數(shù)學(xué)課程中基礎(chǔ)內(nèi)容之一和刻畫現(xiàn)實世界的幾類重要模型之一.另外冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)有助于加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解和應(yīng)用.但是由于“迷思概念”的發(fā)生機制異常復(fù)雜,可歸于日常生活的影響,事物表面或明顯特征的影響,知識與文化背景的影響,同伴文化的影響,教學(xué)的誤導(dǎo),大眾傳媒的誤導(dǎo)等.并且冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的定義很相似,是形似質(zhì)異的兩類函數(shù).對冪函數(shù)來說,底數(shù)是自變量,指數(shù)是常數(shù),對指數(shù)函數(shù)來說,指數(shù)是自變量,底數(shù)是常數(shù).兩類函數(shù)不僅結(jié)構(gòu)很相似,并且冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的種類較多,各具特色,所以兩者的概念和性質(zhì)容易混淆.歸為明顯特征導(dǎo)致的迷思概念,又由于兩類函數(shù)的性質(zhì)比較復(fù)雜,在教學(xué)過程中由于教學(xué)的誤導(dǎo)進一步導(dǎo)致迷思概念的產(chǎn)生.

迷思概念的產(chǎn)生不僅會讓學(xué)生不能正確理解知識,而且還會阻礙學(xué)生對新知識的探究,影響后繼的學(xué)習(xí).為了幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的迷思概念,利用類比的方法從抽象到具體,利用函數(shù)的幾何直觀性,分析歸納冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù),轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的迷思概念,從而高效學(xué)習(xí).

二、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)迷思概念的探查

指數(shù)函數(shù)的定義是“一般地,形如的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)”也就是說指數(shù)為自變量,底數(shù)為大于0且不等于1的常量的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù).冪函數(shù)的定義是“一般地,形如的函數(shù)叫做冪函數(shù)”即以底數(shù)為自變量,冪為因變量,指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).兩類函數(shù)的定義都是形式定義,并且很相似.但兩類函數(shù)的的概念實質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)不同,是形似質(zhì)異的兩類函數(shù).兩類函數(shù)在定義域,值域,定點,單調(diào)性,和奇偶性等函數(shù)的基本性質(zhì)上也是很容易混淆的.

通過以上的分析,明確了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時客觀存在迷思概念,然而從整體來看,辨識兩類函數(shù)是有規(guī)律可循的.為了適應(yīng)新的知識需要采取同化或者順應(yīng)的方式,已達到知識結(jié)構(gòu)的平衡所謂同化,是指學(xué)習(xí)者憑借既有知識,采取類推的方式將新知識納入原有認知圖示.類比教學(xué)是一種科學(xué)的教學(xué)方法,利用類比的科學(xué)思維特點,可以簡化學(xué)生對科學(xué)概念的理解.冪函數(shù)的學(xué)習(xí)在指數(shù)函數(shù)之后,所以可以類比指數(shù)函數(shù)對冪函數(shù)的學(xué)習(xí)進行同化.這屬于是建立在學(xué)生已有觀念基礎(chǔ)上的策略.另一種有效的方法是使用多媒體教育技術(shù)創(chuàng)建學(xué)習(xí)環(huán)境轉(zhuǎn)變概念,利用幾何畫板作出冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖像讓學(xué)生自主觀察圖像特征.觀察后把學(xué)生分成小組進行討論并展示討論的結(jié)果.這個過程讓學(xué)生直觀的進行探索,觀察發(fā)現(xiàn),交流符合學(xué)生的認知規(guī)律和思維習(xí)慣.

三、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)迷思概念的轉(zhuǎn)變

在指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的學(xué)習(xí)中,加深對它們的理解才不會把它們混為一談,常通過圖像來對比性質(zhì),進行總結(jié).下面通過圖像來對性質(zhì)進行總結(jié),在同一坐標中畫出冪函數(shù)的圖像(見圖1),同時在另一個坐標系中畫出指數(shù)函數(shù)的圖像.(見圖2)

圖1

圖2

所有的冪函數(shù)在x∈(0,+∞)都是有意義的,所以取x∈(0,+∞)來觀察冪函數(shù)當時的函數(shù)圖像.從定義域,值域,最值,定點,單調(diào)性,奇偶性與圖像分布等進行分析,總結(jié)性質(zhì).冪函數(shù)有下面七條性質(zhì).

(1)冪函數(shù)恒過定點(1,1),既是當x=1時,函數(shù)值y=1,與a的取值無關(guān).

(2)當a＞0,冪函數(shù)在(0,+∞)上為增函數(shù),當a＜0時,冪函數(shù)在(0,+∞)上為減函數(shù).

(3)當a＜0時,有當x趨于+∞時,y趨于0,既是冪函數(shù)圖像向右趨近于x軸,當y趨于+∞時,x趨于0,既是冪函數(shù)的圖像向上趨近于y軸.

(4)當x∈(0,1)時,隨著a的值增大,冪函數(shù)的值越小,當x＞1時,隨著a的值增大,冪函數(shù)的值越大.

(5)冪函數(shù)在x∈(0,+∞)沒有最值.

(6)冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限.

(7)冪函數(shù)的奇偶性辨識,冪函數(shù)的奇偶性是在圖像有雙支的情況下討論.其中,當分子p是奇數(shù)時則冪函數(shù)是奇函數(shù),當分子p是偶數(shù)時冪函數(shù)是偶函數(shù).

由圖像把冪函數(shù)統(tǒng)一在第一象限來分析單調(diào)性,在第一象限由指數(shù)的正負決定單調(diào)性,指正函數(shù)單增,指負函數(shù)單減.函數(shù)在坐標軸里的定點有區(qū)別,指正函數(shù)過兩定點(0,0)和(1,1),指負函數(shù)過一個定點(1,1)且無限的逼近x軸和y軸但與兩坐標軸不相交.冪函數(shù)的圖像有單支與雙支的區(qū)別,冪函數(shù)(p,q是互質(zhì)的正整數(shù),q＞1),當q為偶數(shù)時,由偶次根式下被開方數(shù)大于0可知圖像是單支的在第一象限;當q為奇數(shù)時,圖像有雙支,具體在哪個象限由分子p的奇偶性決定,p為偶數(shù)在一,二象限,p為奇數(shù)在一,三象限.冪函數(shù)指數(shù)分子的奇偶性決定函數(shù)的奇偶性,分子是奇數(shù)冪函數(shù)為奇函數(shù),分子為偶數(shù)冪函數(shù)為偶函數(shù).

對于指數(shù)函數(shù),觀察的圖像.當a＞1或0＜a＜1時,函數(shù)的圖像位于一、二象限,同樣的從定義域,值域,定點,最值,單調(diào)性,奇偶性和圖像分布來分析指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),進行總結(jié).

(1)指數(shù)函數(shù)的定義域是R,值域是(0,+∞).

(2)圖像恒過定點(0,1).

(3)當a＞1時,在R上是增函數(shù),當0＜a＜1時,在R上為減函數(shù).

(4)指數(shù)函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第三、四象限.

(5)指數(shù)函數(shù)沒有最值,沒有奇偶性.

關(guān)于定點可以利用圖像直觀的看出指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別.冪函數(shù)的圖像當a＞0時過定點(0,0)和(1,1),當a＜0時過定點(1,1).而指數(shù)函數(shù)的圖像過定點(0,1).指數(shù)函數(shù)恒過一點,而冪函數(shù)需要對指數(shù)分情況來討論確定圖像過的定點.兩函數(shù)的單調(diào)性都是以常數(shù)進行判斷的,指數(shù)函數(shù)是以底數(shù)與1的大小進行判斷.大于1單增,小于1(大于0)單減,冪函數(shù)大于0單增,小于0單減.冪函數(shù)中函數(shù)的奇偶性與指數(shù)的奇偶性有關(guān),而指數(shù)函數(shù)無奇偶性.冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限,指數(shù)函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第三、四象限.

四、小結(jié)與啟示

指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)雖然有很多相似的地方,但是仔細分析發(fā)現(xiàn)無論是形式還是性質(zhì),兩類函數(shù)都有很大的區(qū)別.通過指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)迷思概念的分析,尋找迷思概念的轉(zhuǎn)變方法.一方面是基于學(xué)生原有的認知通過類比的教學(xué)模式來達到,另一方面是選擇合適的教學(xué)媒體例如幾何畫版等,把抽象的概念具體化,使學(xué)生正確表征函數(shù).

改變教學(xué)模式,減少迷思概念的形成.對于同樣的教學(xué)內(nèi)容考慮學(xué)生的認知,設(shè)計不同于傳統(tǒng)的教學(xué)方法是有效的方法之一.合理選擇教學(xué)媒體,把抽象的概念內(nèi)容直觀化幫助學(xué)生形成科學(xué)的概念.