楊甲山

(梧州學院 信息與電子工程學院，復雜系統(tǒng)仿真與智能計算實驗室,廣西 梧州 543002)

敘述了時間測度鏈上的基本概念及動力方程的基本理論以及動力方程振動性的最新進展,闡述了作者研究所得的一些最新成果,給出了應用實例,同時也提出了值得進一步研究的領域.

振動性; Emden-Fowler型動力方程; 時間測度鏈; 變時滯

眾所周知，振動(也稱振蕩)是自然界和機械工程等技術領域中最普遍、最常見的一種物理現象，它廣泛存在于物理學、生物種群動力學、自動控制技術等學科中的機械運動、電子電磁運動及原子運動等各種運動形式之中.無論在哪一種技術領域,還是在哪一種物理過程中,都會碰到各種形式、各種程度的振動過程.從自然界到工業(yè)各領域,從日常生活到社會領域,振動現象屢見不鮮.而振動現象往往通過方程的振動性表現出來.因此振動性是一種帶有普遍意義的物質運動形式,是系統(tǒng)最重要的動力學性質之一.另一方面,在自然科學和社會科學的研究中,許多現象都可用泛函微分差分方程作為其數學模型,因此,對方程的定性理論(如振動性、穩(wěn)定性、漸近性等)的研究不僅具有理論價值,而且具有實際意義.

既然時滯泛函差分方程是時滯泛函微分方程的離散形式，人們自然會問：經過差分化后的差分方程，其性質與原來的微分方程是否相同呢？許多研究表明，微分方程的許多性質經差分化后是保留下來了，但是，也有許多研究表明，微分方程與其相應的差分方程會有一些完全不同的性質. 例如，觀察單個種群的生態(tài)數學模型的Logistic方程

x′(t)=rx(t)[1-k-1x(t)]，r>0,k>0，

(1)

此方程的每一個解都是單調增加的. 但與其相應的離散系統(tǒng)——差分方程

Δx(n+1)=ax(n)[1-x(n)]

(2)

相比就會發(fā)現，當a=4時相應的差分方程(2)有一個混沌解，這就有了本質上的區(qū)別[1-2]. 另外，時滯泛函微分方程的振動性與相應的時滯泛函差分方程的振動性也會具有完全不同的特性. 例如，二階常微分方程

x″(t)+a(t)f(x(t))=0

(3)

的某些振動性質與相應的二階差分方程

Δ2x(n-1)+a(n)f(x(n))=0

(4)

的振動性質是不同的[3]. 另一方面，觀察差分算子

(5)

和微分算子

(6)

發(fā)現它們的結構又十分類似. 這就啟發(fā)科研工作者們：能否定義一個更一般的算子，它可以包括這兩種特殊的算子呢？

德國學者StefanHilger[4]在其導師BerndAulbach指導下，于1990年首次提出了時間測度鏈(timescales,也稱時間尺度、時標、時間軸、時間模等)的概念，并由此創(chuàng)建了時間測度鏈上動力系統(tǒng)(dynamicequationsontimescales)的理論. 之后, 這一新領域內有關問題(特別是時間測度鏈上動力方程的振動與非振動性、漸近性及穩(wěn)定性等定性理論問題)的研究引起了國內外學術界的極大興趣, 并發(fā)表了許多研究論文及專著[2-78].如Agarwal等[5-7]、Peterson等[8]、Sahiner[9]等給出了時間測度鏈上微積分的基本理論及時間測度鏈上的動力方程的諸多研究成果. 時間測度鏈T是實數域上的任意閉子集，當時間測度鏈T等于實數集或整數集時，時間測度鏈上動力方程的理論則分別表示微分方程和差分方程的經典理論. 時間測度鏈上動力方程的新理論不僅在生物種群動力學、量子力學、伺服力學、物理學(特別是量子理論及核物理等)、神經網絡、自動控制技術、經濟學和社會科學等領域中有非常重要的應用，而且還能解決許多不同領域里微分方程或差分方程不能解決的實際問題. 如Thomas和Peterson用時間測度鏈上的動力方程彌合了西尼羅河病毒傳播的連續(xù)方面和離散方面之間的空隙[7-9].諸如物種種群的動態(tài)模型在季節(jié)上是離散的(并且遵循不同步長的動態(tài)模型差分方法或者經常被連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)所仿效). 例如，在冬季當它們的卵處于孵化或休眠狀態(tài)時，生物種群消失了，然而在接下來的新的季節(jié)里，孵化會產生不重復的種群[10]. 動力方程的新理論不僅在時間測度鏈上統(tǒng)一了微分方程和差分方程的有關理論，而且隨著時間測度鏈的不同，將動力方程推廣到了微分方程與差分方程之間. 在自然科學和社會科學的實踐中, 許多有實際意義的時間測度鏈是存在的. 例如，當T=qN0={qt:t∈N0,q>1}時，這種情形的動力方程稱為q-差分方程，這類方程在量子理論方面有重要的應用. 再例如當T=hN，T=N2={t2:t∈N}和時，它們可以應用于異于微分方程和差分方程的動力方程. 因此，時間測度鏈上的動力方程的振動理論、漸近理論等問題是微分方程學科的重要組成部分，它為解決自動控制技術、計算機科學、物理學(特別是核物理、量子理論方面等)、生物種群動力學、伺服力學、人口學、經濟學以及神經網絡等領域的實際問題提供了數學理論依據和科學基礎. 所以,時間測度鏈上動力方程的振動與非振動等理論的研究既有重要的理論意義，更有廣泛的應用前景.

論文將簡單介紹動力方程振動性的一些最近的進展、作者的一些最新研究成果以及值得關注的領域.

1 一些基本概念

下面簡單介紹一下有關時間測度鏈的一些基本概念及基本理論[5,8].

所謂時間測度鏈T, 就是實數域上的任意閉子集, 它仍然具有由誘導的拓撲以及中的順序關系. 在時間測度鏈T上,記σ(t):=inf{s∈T:s>t}，ρ(t):=sup{s∈T:s0，則稱點t是右離散的(right-scattered)；如果μ(t)=0，則稱點t是右稠密的(right-dense)；如果ρ(t)

(7)

如果函數f在點t處連續(xù),而點t是右稠密的,則其Δ-導數定義為

(8)

于是, 函數f(t)的Δ-導數fΔ、前跳算子σ與前跳距離μ之間有如下關系

fσ=f+μfΔ,

(9)

其中:fσ=f°σ.

在時間測度鏈T上,兩個函數的積及商的求導法則分別為

(fg)Δ(t)=fΔ(t)g(t)+f(σ(t))gΔ(t)=f(t)gΔ(t)+fΔ(t)g(σ(t)),

(10)

(11)

其中:ggσ≠0. 設a,b∈T,f為Δ-可微函數, 則fΔ的柯西(Cauchy)積分公式為

(12)

類似地,兩類無窮限廣義積分分別定義為

(13)

在時間測度鏈T上,分部積分公式(the integration by parts formula)為

(14)

(15)

在時間測度鏈T上,n階動力方程的一般形式為

f(t,x(t),xΔ(t),xΔ2(t),…,xΔn(t))=0,t∈T.

(16)

在方程(16)中一定含有xΔn(t)這一項, 其中xΔ2(t),…,xΔn(t)分別稱為二階Δ-導數，…,n階Δ-導數，并統(tǒng)稱為高階Δ-導數.

關于時間測度鏈上的更詳細的理論及時間測度鏈上動力方程的基本理論,可參見文[5]或[8].

2 二階動力方程的振動性進展

動力方程雖然是最近發(fā)展起來的一個新的數學方向，其歷史僅20余年, 但是, 由于它具有非常廣泛的實際應用背景，并能解決一些用其他數學分支不能解決的問題，其發(fā)展也就變得異常迅速. 特別是近年來，時間測度鏈上動力方程的振動性的研究取得了豐碩成果[5-7,9-78], 且一階動力方程的振動性理論已漸趨完善. 考慮時間測度鏈上如下一類非常廣泛的具有非線性中立項的二階非線性變時滯Emden-Fowler型阻尼動力方程

[A(t)φ1(yΔ(t))]Δ+b(t)φ1(yΔ(t))+P(t)F(φ2(x(δ(t))))=0,t∈T,

(17)

其中:y(t)=x(t)+B(t)g(x(τ(t)))，φ1(u)=|u|λ-1u，φ2(u)=|u|β-1u，λ>0,β>0為實常數；T為任意時間測度鏈，函數A(t),B(t),b(t),P(t)∈Crd(T,R)，即A(t),B(t),b(t),P(t)均為定義在時間測度鏈T到實數域R上的實值rd-連續(xù)函數；τ(t),δ(t)均為定義在時間測度鏈T到T上的滯量函數；而函數g(u),F(u)∈C(R,R)，并且滿足ug(u)>0(u≠0),uF(u)>0(u≠0).并假設方程(17)中的有關函數滿足下列條件：

(H3)b(t)≥0;P(t)>0;A(t)>0且AΔ(t)≥0，并且-b/A∈R+.

方程(1)包含了大量的動力方程: 線性的、非線性的、無阻尼的、有阻尼的、無中立項的、有中立項的、常時滯的及變時滯的等，而其簡單的特殊類型的動力方程的振動與非振動性及漸近性等,已出現了很多好的研究成果[6-7,9-78]. 如文[6]研究了時間測度鏈T上二階時滯動力方程

xΔΔ(t)+p(t)x(τ(t))=0,t∈T,

(18)

得到了方程(18)振動的若干充分條件. 而文[9,11]則研究了時間測度鏈T上二階時滯動力方程

[r(t)xΔ(t)]Δ+p(t)f(x(τ(t)))=0,t∈T

(19)

的振動性,得到了方程(19)若干新的振動準則,推廣并改進了文[6]中的有關結果.文[12]則研究了時間測度鏈T上一類二階常時滯泛函動力方程

{r(t)[(x(t)+p(t)x(t-τ))Δ]γ}Δ+f(t,x(t-δ))=0,t∈T,

(20)

得到了方程(20)振動的一些充分條件.而文[13-15]則研究了時間測度鏈T上一類二階變時滯的泛函動力方程

{r(t)[(x(t)+p(t)x(τ(t)))Δ]γ}Δ+f(t,x(δ(t)))=0,t∈T.

(21)

利用廣義的黎卡提(Riccati)變換及不等式技巧,得到了方程(21)振動的若干振動準則,推廣、改進并豐富了已有的結果.

最近, 二階Emden-Fowler型動力方程的振動性也出現了大量的研究成果. 如當T=R時的微分方程的情形,文[16-17]研究了二階擬線性的Emden-Fowler型微分方程

[r(t)|x′(t)|α-1x′(t)]′+q(t)|x(t)|α-1x(t)=0,t≥t0

(22)

的振動性,給出了方程(22)若干振動準則. 文[18]則研究了一類更廣泛的二階擬線性的Emden-Fowler型變時滯微分方程

[r(t)|z′(t)|α-1z′(t)]′+f(t,x(σ(t)))=0,t≥t0

(23)

的振動性,得到了方程(23)振動的若干新的充分條件,方程中α>0是常數,函數z(t):=x(t)+p(t)x(τ(t))，f(t,x)sgnx≥q(t)|x|α(x≠0),q(t)>0且0≤p(t)≤p<1.

當T為任意時間測度鏈時,文[19]分別研究了2個Emden-Fowler型動力方程

[r(t)xΔ(t)]Δ+p(t)f(x(τ(t)))=0,t≥t0,t∈T

(24)

和

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+p(t)xγ(t)=0,t≥t0,t∈T

(25)

的振動性,并分別得到了上述2個方程(24)和(25)的一些振動性定理.這里要求常數γ>0是2個正奇數之商,并且rΔ(t)≥0.顯然當γ>0是任意實數或者條件rΔ(t)≥0不滿足，文[19]中的結果是不成立的.而文[20]研究了下列二階Emden-Fowler型變時滯動力方程

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+p(t)xγ(τ(t))=0,t≥t0,t∈T

(26)

的振動性,得到了方程(26)振動的若干判別定理,推廣并改進了文[19]的一些結論,但同樣γ>0是2個正奇數之商,且“σ(t)>t，ρ(t)

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+f(t,x(g(t)))=0,t≥t0,t∈T,

(27)

其中:函數|f(t,u)|≥q(t)|uγ|，得到了方程(27)若干振動性定理.但文[21]也要求γ≥1是2個正奇數之商,當γ是大于0的任意實數時其結果也是不成立的.緊接著,文[22]研究了一類更一般的二階Emden-Fowler型變時滯動力方程

[p(t)(yΔ(t))γ]Δ+f(t,x(δ(t))=0,t≥t0,t∈T

(28)

的振動性,方程中y(t):=x(t)+r(t)x(τ(t))，|f(t,u)|≥q(t)|uγ|，q(t)>0，得到了方程(28)振動的一些判別定理.但文[22]中同樣也要求“γ≥1且τ°δ=δ°τ”,顯然其結果當0<γ<1時也不成立.受到以上研究的啟發(fā),文[23-24]考慮了方程

(29)

在此基礎上,文[25-27]研究了更一般的二階Emden-Fowler型變時滯動力方程

{a(t)φ1([x(t)+p(t)g(x(τ(t)))]Δ)}Δ+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0,t∈T.

(30)

上述方程中的函數φ1(u)=|u|α-1u，φ2(u)=|u|β-1u，而α>0和β>0均為實常數.顯然這是Emden-Fowler型方程的更一般的情形,當α=β或者α=β且p(t)=0時就可得到上述各種類型的動力方程.作者利用時間測度鏈上的有關理論和廣義Riccati變換技術及積分平均技巧,并借助時間測度鏈上的H?lder不等式,得到了方程(30)振動的一系列新準則, 其中一個最基本的結論為定理1.

定理1[25]如果存在一個正的單調非減且Δ可微的函數ξ(t)，使得對充分大的T≥t0及δ(t)>G(T):=δ0，有

(31)

其中

(32)

顯然,無論是α≥β還是α≤β，定理1都給出了方程(30)振動的判別定理.由定理1及其證明思想就可得到方程(30)許多其他類型的振動準則[25],這些結果改進、推廣并豐富了現有的振動性結論.其他Emden-Fowler型動力方程的振動性研究成果可參看文[28-31].

對于具有阻尼項的二階Emden-Fowler型動力方程的振動性問題,文[32]率先研究了下列動力方程

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+p(t)(xΔσ(t))γ+q(t)f(x(τ(t)))=0,t∈T,

(33)

在條件

(34)

成立下得到方程(33)的一些振動準則，推廣并改進了已有的一些結果,其中

緊接著,文[33]研究了下列一類具有阻尼項的二階擬線性動力方程

(a(t)|xΔ(t)|λ-1xΔ(t))Δ+b(t)|xΔ(t)|λ-1xΔ(t)+p(t)|x(δ(t))|λ-1x(δ(t))=0,t∈T,

(35)

并得到方程(35)振動的一系列判別準則,結果之一為定理2.

定理2[33]假設

(36)

如果有一個正的可微函數φ:T→R，使得

(37)

則方程(35)在[t0,∞)T上是振動的.

這是文[33]的核心結果之一,也是方程(35)振動性最基本的判定定理,由此定理及其證明的基本思想,就可引導出方程(35)振動的一系列判定定理(如Kamenev型振動準則及Philos型振動準則等)[33-35].若條件(36)不成立,則有定理3.

定理3[33]假設

(38)

如果條件(37)成立, 并且

(39)

則在[t0,∞)T上方程(35)的每一個解x(t)或者振動或者收斂于0.

定理4[10]假設條件(38)成立, 并且

(40)

但另一方面,對于下列二階Euler微分方程

(t2x′(t))′+q0x(t)=0.

(41)

以上面這些研究為契機,文[40]再次討論了方程(33)的振動性,得到了該方程的一個Philos型振動準則(由于此振動準則篇幅較長,故在此不作敘述),此振動準則雖然解決了二階Euler微分方程(41)振動性的判別問題,但卻要求γ≥1是2個正奇數之商,當γ是大于0的任意實數時其結果是不成立的,文[41]的結果亦是如此.根據以上研究成果,作者在文[42]中討論了一類非常廣泛的二階阻尼動力方程(17)的振動性,主要結果為定理5.

定理5[42]設0≤B(t)<1且

(42)

(43)

當λ>β時，有

(44)

這是文[42]的核心定理之一,由此定理及其證明的思路就可推出方程(17)的各種振動性定理(包括當條件(43)或(44)不成立時的振動準則)[42]. 顯然,此定理解決了二階Emden-Fowler型動力方程當λ≠β時的振動問題.

如果條件(42)不成立,就有定理6.

(45)

如果存在函數φ∈C1(T,(0,∞))，使得當λ≤β時(43)式成立,當λ>β時(44)式成立,進一步,若

(46)

其中

(47)

(48)

(49)

則方程(17)在[t0,∞)T上是振動的.

以上定理5、6對兩種情形的Euler微分方程(q0>0是常數)

(50)

及方程(41)均能得到結果：當q0>1/4時方程是振動的.

其他類型方程振動的判別條件可參見文[44-47].當中立項的系數函數B(t)不滿足條件0≤B(t)<1時,由于研究較為困難,這種情形方程(17)的振動性成果比較少,只有一些簡單情形的振動準則[48-52].對方程(17),此時可引入一雙廣義的Riccati變換

(51)

及

(52)

通過對這一雙Riccati變換進行仔細綜合分析、研究和推導運算后，得到方程(17)振動的一個充分條件，即定理7.

定理7[53]設條件(42)成立,0≤B(t)≤b0<+∞，如果存在函數φ∈C1(T,(0,∞))，使得

(53)

(54)

則方程(17)在[t0,∞)T上是振動的.

當條件(42)不滿足而滿足(45)時, 引入另一雙廣義的Riccati變換

(55)

(56)

通過對這一雙Riccati變換進行仔細綜合分析、研究和推導運算后，得到方程(17)振動的一個充分條件，即定理8.

定理8[53]設條件(45)成立,0≤B(t)≤b0<+∞，如果存在函數φ∈C1(T,(0,∞))，使得(56)式與

(57)

同時函數

(58)

(59)

則方程(17)在[t0,∞)T上是振動的.

由定理7、8及其證明思想,就可引導出方程(17)當0≤B(t)≤b0<+∞時振動的一系列判定定理(如Kamenev型振動準則及Philos型振動準則等)[53].

同樣,定理7、8對兩種情形的Euler微分方程(50)及(41)均能得到結果:當q0>1/4時方程是振動的.

例1 考慮時間測度鏈T=[l,+∞)(l>1為常數)上的動力方程

(60)

其中：m=1,2,3,…，且

容易驗證,定理5的所有條件都是滿足的,于是由定理5知,方程(60)是振動的.

例2 考慮動力方程

(61)

其中：p0>0是常數. 可以驗證,當p0>1/2時定理6的所有條件都是滿足的,于是由定理6知,當p0>1/2時方程(61)是振動的.

例3 考慮動力方程

(62)

3 其他動力方程的振動性進展

到目前為止,關于時間測度鏈上具有正負系數的動力方程振動性的研究僅有為數不多的幾篇論文[54-57].在時間測度鏈上中立型動力方程中,當中立項的系數函數B(t)≤0時,其振動性成果不多,僅當-1

關于時間測度鏈上3階或4階動力方程的振動性,也出現了一定數量的研究論文[61-69],但總體成果卻不是很多,而關于n階動力方程的振動理論方面的論文就更少了[70-75].因此,從目前公開的關于3階及3階以上的高階動力方程的研究成果來看,其動力學性質(如振動與非振動性、穩(wěn)定性、漸近性等)既不完善也不成熟, 因此這類方程的定性理論也是值得挖掘的內容之一.

關于時間測度鏈上二維動力方程(即動力方程組)的有關動力學性質的研究目前也不多見[76-78],如文[76]研究了下列二維動力方程(t∈T)

(63)

建立了二維動力方程(63)所有解振動的一些充分條件.目前,有關這類方程的定性理論的研究尚無多少進展,因此這類方程的定性理論也是值得探索的內容之一.

綜上所述,時間測度鏈上的動力方程是一個較新的領域,也是有著廣泛應用前景的應用數學分支,目前雖然出現一定數量的研究成果,并在一定程度上統(tǒng)一了相應的微分方程和差分方程的有關結論,但其整體理論還處在剛剛開始起步的萌芽階段,其動力學性質如振動理論、漸近理論及其應用等問題的研究,仍然在深入探索之中,研究內容廣泛且豐富,其理論和方法既不成熟也不完善,有待于進一步探索和研究,有許多未知的領域有待數學工作者去開拓,也有許多方法和問題等待我們去挖掘和解決,這些是值得數學工作者及自然科學和社會科學的有關研究工作者廣泛關注的.

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