馬 銳,鄒志輝,2,芮擁軍,賈東順

(1.中國海洋大學海洋地球科學學院海底科學與探測技術教育部重點實驗室,山東青島266100;2.青島海洋科學與技術國家實驗室海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室,山東青島266061;3.中國石油化工股份有限公司勝利油田分公司物探研究院,山東東營257022;4.中國石油集團東方地球物理勘探有限責任公司遼河物探分公司,遼寧盤錦124010)

地震波正演數值模擬的計算區(qū)域大小有限,若對計算區(qū)域的邊界不做任何處理,地震波到達計算區(qū)域邊界時會產生數值噪聲,對正常傳播的地震波造成干擾。為逼近無限大空間的地震波傳播,需要在有限區(qū)域的邊界設計數值邊界條件,以吸收邊界產生的數值噪聲。

早期地震波正演模擬多采用基于旁軸近似的單程波方程吸收條件[1-2],該吸收條件僅對接近垂直入射至邊界的地震波具有較好的衰減,對大入射角地震波的衰減效果較差。另一種被廣泛應用的吸收邊界條件是海綿吸收邊界條件,該邊界條件在正常運算區(qū)域外部加了一個衰減層,使得入射至邊界衰減層的地震波振幅被逐漸衰減而不產生明顯反射[3]。海綿吸收邊界的吸收效果取決于衰減系數和邊界寬度等參數,為了達到較好的衰減效果人們通常要將衰減邊界設置得足夠寬,以滿足對地震波振幅衰減程度的要求,這會大幅增加計算量和對計算機內存的占用[4]。

完全匹配層吸收邊界條件(PML)最早由BERENGER[5]在研究電磁場有限域波動問題時提出,相比傳統(tǒng)的吸收邊界條件,PML的吸收效果更好[6-7]。隨后該吸收邊界被推廣到聲波和彈性波的數值模擬[8-13]。常規(guī)PML吸收邊界按照不同的實現方式,可以分為分裂格式PML(SPML)和非分裂格式PML(NPML)[14]。NPML不需要分裂波場分量,編程實現較容易,但實現過程中包含大量卷積,計算過程復雜[15-16]。為了提高NPML計算效率和簡化運算過程,前人提出了非卷積形式的NPML吸收邊界[17]。SPML通過分裂波場的傳播分量來實現,計算方程簡潔,計算量相對NPML更小,所以目前很多正演模擬仍然采用SPML[18-19]。

然而,SPML邊界條件對于切向入射到邊界的地震波吸收效果差,當入射波頻率較低時還會在邊界附近產生虛假反射[20]。針對上述問題,前人提出一種不分裂褶積型PML邊界條件(CPML)[21-22],其在聲波和彈性波數值模擬中均取得了較好的應用效果[23-24]。但是,CPML在推導中使用了遞歸卷積的方法,導致其應用受到較多限制,如無法適應空間網格的靈活變化,難以用于高階的時間離散格式等[25]。與CPML相比,SPML限制條件少,可以適用于各種正演模擬方法?？梢?改進SPML以提高邊界的吸收效果對于地震波數值模擬在地震學不同領域的應用具有重要意義。

針對SPML對切向入射到邊界的地震波吸收效果差的問題,本文將SPML邊界與海綿吸收邊界進行空間銜接,構建內部為SPML,外部為海綿吸收邊界的復合吸收邊界,使SPML未吸收完全的地震波得到二次衰減。同時針對常規(guī)海綿邊界對大角度入射波吸收不足的問題,改進了其衰減函數,以進一步改善復合吸收邊界的吸收效果。

1 SPML邊界吸收能力的理論分析

偽譜法彈性波正演模擬使用有限差分求時間導數,通過傅里葉變換在波數域求空間導數,具有節(jié)省空間離散樣點數和不產生空間數值頻散的優(yōu)點[26-28]。

COLLINO等[29]通過復坐標伸展變換推導出了各向同性介質一階應力-速度方程的完全匹配層吸收邊界條件,其應用在偽譜法數值模擬中需轉化到時間-波數域,具體形式如下:

(3)

d(x)和d(y)是笛卡爾坐標系沿x和y方向的衰減函數,其表達式為[31-32]:

式中:δ為SPML邊界的總厚度;R為理論反射系數。

在SPML區(qū)域內,衰減函數d(x)和d(y)控制了對邊界入射波的吸收能力,它們通過復坐標伸展變換被引入到彈性波方程。二維空間的復坐標伸展變換公式為[33-34]:

(6)

平面波在SPML區(qū)域沿x方向的衰減形式為[35]:

(7)

(8)

衰減項Dx在正常運算區(qū)域中的值為1,表示未對地震波進行衰減,在SPML區(qū)域中的值按指數形式衰減。波矢量的x和y方向分量可以寫為:

(9)

式中:γ是波前面法向與對應邊界法向(例如圖1中x軸方向)的夾角;cp為相速度。將(9)式代入(8)式,Dx的表達式變?yōu)?

(10)

當入射波傳播方向近似平行于邊界時,波前面的法線方向n與x軸的夾角γ趨于90°(如圖1所示),Dx趨近于1,表明SPML邊界對大角度入射波幾乎沒有吸收。

衰減項Dx隨入射角γ的變化情況如圖2所示。這里用到的地震縱波速度vP為3000m/s。當地震波入射角γ趨于90°時,邊界所對應的衰減系數項Dx趨近于1,導致入射到邊界的地震波所受衰減很小,因此SPML邊界難以對其有效吸收。

圖1 模型正常計算區(qū)域與SPML區(qū)域的幾何關系

圖2 SPML邊界衰減項Dx與地震波入射角γ的關系

2 復合吸收邊界

2.1 復合吸收邊界的結構

復合吸收邊界的基本思想是在SPML吸收邊界之外添加一層海綿吸收邊界,以對SPML邊界未完全吸收的地震波進行二次衰減,對其充分吸收。復合吸收邊界的結構如圖3所示。

圖3 復合吸收邊界結構

在圖3中,整個區(qū)域由內至外依次是正常運算區(qū)域(白色)、SPML邊界(灰色)和海綿吸收邊界(陰影)。上、下SPML邊界只衰減含有y方向偏導數的波場分量,左、右SPML邊界只衰減含有x方向偏導數的波場分量。當未被SPML邊界充分吸收的地震波進入到海綿吸收邊界區(qū)域時,海綿吸收邊界會進一步對其進行衰減,實現對邊界波場的二次衰減。

2.2 海綿吸收邊界及其改進

由于海綿吸收邊界的作用是對SPML邊界未完全衰減的地震波作進一步衰減,它應該能夠吸收大角度入射波。然而,常規(guī)海綿吸收邊界[2]對于大角度邊界入射波的吸收能力也不夠強,因此有必要對常規(guī)海綿吸收邊界進行改進,以提高其對大角度邊界入射波的衰減效果。

常規(guī)海綿吸收邊界條件在計算區(qū)域外劃定邊界層,在數值模擬過程中將質點的速度值和應力值在邊界內分別乘以指數型衰減函數,使得地震波在邊界內逐漸衰減而不產生反射,從而實現對地震波的吸收。常規(guī)海綿吸收邊界的指數型衰減函數C在第i層的表達式為[2]:

(11)

式中:i代表海綿吸收邊界內的邊界層號;l為海綿吸收邊界總層數;α為衰減系數。

當以大角度入射至邊界的地震波傳播方向與海綿邊界切向接近平行時,其主要沿著衰減系數較小的表層傳播,海綿邊界的衰減效果有限,難以在復合邊界中起到對SPML邊界剩余波場的充分吸收。為使海綿邊界在沿邊界的切線方向也具備一定的衰減能力,我們將海綿吸收邊界的衰減函數由僅沿y方向的一維變化推廣為沿x和y方向的二維變化,使指數型衰減函數C具有沿邊界法線方向和切線方向同時衰減的能力。改進后的衰減函數C′在(i,j)位置(i代表海綿吸收邊界內的邊界層號,j代表每層吸收邊界的網格點號)的表達式為:

式中:α和β分別代表沿邊界垂向和切向的衰減系數;Nx,Ny代表正演區(qū)域沿縱、橫向的網格點數。由于地震波橫向振幅變化劇烈,會產生明顯的反射噪聲,所以衰減函數沿x軸方向的變化需要足夠緩慢。一種設置方法是使周期T與網格間距dx或dy的乘積大于地震波的一個波長λ。

圖4顯示了海綿吸收邊界改進前、后的衰減函數C和C′的分布。y=0是海綿邊界與SPML邊界的交界。圖4a和圖4b分別對應(11)式和(12)式的衰減函數,參數Nx=601,dx=10,dy=10,T=100。對于l=10的邊界,對應的垂向和切向衰減系數分別為α=0.04,β=0.20。

圖4 常規(guī)海綿吸收邊界(a)與改進型海綿吸收邊界(b)的衰減函數值

圖4a中常規(guī)海綿邊界的衰減函數在y方向上呈指數變化,而邊界內各層的衰減函數值在x方向都為常量。若地震波以大角度入射至海綿邊界時(即接近平行于x軸方向),由于其表層衰減函數值趨于1(等于1表示沒有衰減),致使傳播至表層的地震波不能得到快速有效的吸收,因此常規(guī)海綿吸收邊界所采用的衰減函數在沿x方向的衰減能力不足。相比之下,圖4b中改進型海綿邊界的衰減函數值除了沿y方向呈指數變化外,沿x方向也存在高低相間的周期變化,谷值位置對地震波的衰減能力強于峰值。由于常規(guī)海綿吸收邊界的衰減能力與峰值的衰減效果相同,因此改進型海綿邊界對大角度入射波的總體衰減能力要強于常規(guī)海綿吸收邊界。

材料力學主要解決三類問題：強度問題、剛度問題和穩(wěn)定性問題[1-2]。強度是指桿件在外載荷作用下抵抗斷裂和過量塑性變形的能力。剛度是指桿件在外載荷作用下抵抗彈性變形的能力。穩(wěn)定性在材料力學中范圍比彈性力學中的窄了很多，特指桿件在軸向壓力作用下保持其原有平衡狀態(tài)的能力。這三類問題反映了固體構件在外載荷作用下力學性能的三個不同的側面。這三類問題的計算公式大部分情況下可以統(tǒng)一表示為：橫截面內力/包含橫截面幾何性質的參數≤許可量。

3 數值測試

3.1 改進型海綿吸收邊界衰減效果測試

改進前、后海綿吸收邊界對大角度入射波的衰減效果可以通過對比波場和地震記錄來觀察和分析。為了不產生額外干擾,我們選擇了均勻介質模型,地震波速度vP=3300m/s,vS=1833m/s,介質密度ρ=2800kg/m3,模型的大小為6400m×1000m,離散網格尺寸為10m×10m。數值模擬過程中,為滿足穩(wěn)定性條件,選擇的時間采樣間隔為0.3ms;震源為P波源,震源子波采用主頻為7Hz的Ricker子波。海綿邊界衰減函數的參數α=0.04,β=0.20。復合吸收邊界由20層平行于邊界的網格排列構成,SPML和海綿邊界分別占用內層和外層的10層網格。震源設置在接近復合邊界的位置(圖5中五角星處),以產生大角度邊界入射波。

當復合吸收邊界使用圖4中所示的兩種海綿吸收邊界的衰減函數時,彈性波數值模擬得到的波場快照在邊界處將產生明顯差異,如圖5所示。使用常規(guī)海綿吸收邊界時,運算區(qū)域的邊界處會產生明顯的噪聲波形,而在改進海綿邊界的快照中則較弱(圖5中箭頭所示位置)。這說明,常規(guī)海綿吸收邊界對大角度邊界入射波的吸收效果弱于改進型海綿吸收邊界。

圖5 不同海綿吸收邊界對應的波場快照(1200ms)(黑線表示吸收邊界與正常運算區(qū)域的分界線;箭頭指出了邊界噪聲)a 常規(guī)海綿吸收邊界; b 改進型海綿吸收邊界

3.2 復合吸收邊界衰減效果測試

為分析復合吸收邊界對大角度入射波的衰減效果,本節(jié)使用復合吸收邊界和SPML邊界分別計算地震波場,并對兩種情況所獲得的地震波場和理論地震記錄進行對比分析。我們選擇了層狀速度模型和Marmousi速度模型分別進行正演模擬和結果分析。

3.2.1 水平層狀模型

速度模型中出現較強的速度跳變時,由低速介質中震源發(fā)出的地震波入射至高速介質后的傳播方向與邊界法向夾角較大。圖6是一個兩層速度模型,其上層和下層的速度分別為3300m/s和1500m/s,縱橫波速度比為1.8,介質密度ρ=2800kg/m3。模型被離散化為620×240個規(guī)則網格,縱向和橫向網格大小均為10m。為滿足數值模擬穩(wěn)定性條件,時間采樣間隔采用0.3ms,震源子波采用主頻為7Hz的Ricker子波。

圖7給出了層狀速度模型采用SPML和復合吸收邊界得到的水平分量波場快照。由圖7可見,使用SPML邊界的波場快照在邊界附近產生了較強的數值噪聲(圖7a中箭頭所示),產生這種現象的主要原因是地震波大角度入射時,邊界處的SPML衰減函數失效,導致地震波未被有效衰減,在邊界處產生了數值噪聲。在速度分界面處,邊界數值噪聲的振幅并未出現明顯變化,表明這種干擾噪聲能夠傳播至正常運算區(qū)域,這對于所要模擬波場的危害很大。隨著波傳播時間進一步增加,這些數值噪聲將透過邊界,向正常運算區(qū)域內擴散,并與正常地震波混合,降低正演模擬結果的精度。

圖6 層狀速度模型及觀測系統(tǒng)(五角星代表震源;虛線代表檢波點位置)

圖7 層狀速度模型采用SPML(a)和復合吸收邊界(b)得到的水平分量波場快照(2800ms)(黑色五角星代表震源位置,黑線表示正常運算區(qū)域與邊界層的分界線)

采用復合吸收邊界后,邊界處的數值噪聲要弱很多,如圖7b中箭頭所示。雖然在邊界層內部存在少量數值噪聲,但它們被較好地控制在吸收邊界內部,并未明顯出現在正常運算區(qū)域,因而對正常傳播的地震波的干擾可以忽略,有效提高了對大角度入射波的吸收效果。

圖8是在平行于邊界的地震測線上(圖6中虛線)采集到的不同邊界條件水平分量地震單炮記錄。

圖8a顯示,SPML吸收邊界在較大偏移距處產生了較強的虛假波形(橢圓虛線處所示)。這些虛假波形緊貼邊界傳播,并有隨著偏移距和波傳播時間增加而變強的趨勢。這種變化趨勢與地震波在遠偏移距變弱的趨勢相反,導致有效地震信號最終被噪聲所淹沒。由于邊界吸收不足進入正常運算區(qū)域的噪聲不嚴格遵守正演模擬控制方程,因此隨著計算時間的增加,較強的數值噪聲會使正演模擬結果變得不穩(wěn)定[30]。圖8b中的地震記錄并未出現明顯的虛假波形(橢圓虛線處所示),這表明復合邊界對大角度入射波進行了有效吸收。這種現象在圖8放大后顯得尤為突出(圖9)。可見,復合吸收邊界對大角度入射波的吸收效果要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)SPML吸收邊界,降低噪聲的同時提高了計算的精度。

圖8 層狀速度模型水平分量地震記錄(橢圓標出了邊界噪聲)a SPML邊界; b 復合吸收邊界

圖9 層狀速度模型單道地震記錄波形對比(所選地震道范圍為圖8中4.5～5.5km,紅色箭頭和虛線框指出了數值噪聲的位置)a SPML邊界; b 復合吸收邊界

3.2.2 Marmousi模型

為了進一步測試復合吸收邊界在復雜速度模型中的應用效果,采用如圖10所示的Marmousi速度模型,縱橫波速度比取1.8,介質密度ρ為2800kg/m3。整個空間離散為1149×375個均勻網格,網格大小為20m×20m,數值模擬采用的時間采樣間隔為0.3ms,震源子波采用主頻為7Hz的Ricker子波,炮檢點位置如圖10所示。

圖10 Marmousi速度模型及觀測系統(tǒng)(五角星代表震源;虛線代表測線)

圖11給出了Marmousi模型采用不同邊界條件得到的波場快照(5600ms)。由圖11可見,當地震波接近切向入射到邊界時,使用SPML邊界的波場快照在邊界處出現了數值噪聲(圖11a中綠色箭頭所示),這些數值噪聲向正常運算區(qū)域內擴散,與正常地震波混合,降低了正演模擬結果的精度。與采用SPML邊界的結果不同,采用復合吸收邊界后,邊界處并未產生明顯的數值噪聲(圖11b中綠色箭頭所示)。

吸收邊界條件不同所產生的數值噪聲的差異也反映在地震記錄中。圖12是平行于邊界地震測線(圖10中黃色虛線)的水平分量單炮地震記錄。由圖12 可見,SPML邊界地震記錄在5.5s之后存在明顯的虛假波形(較強部分如圖12a中綠色橢圓處所示),而復合吸收邊界的地震記錄中未出現明顯的虛假波形(圖12b中綠色橢圓處所示)。

為對比地震記錄的細節(jié),從圖12地震記錄中抽取10～15km的地震道,并以波形的形式顯示,如圖13 所示。圖13中的波形對比更加明顯地展示了SPML邊界地震記錄中的邊界干擾波與模擬所產生的波場重疊,導致部分反射波難以辨別。然而,這種邊界干擾波在使用復合吸收邊界所得到的地震記錄中并不明顯。這表明復合吸收邊界對于復雜速度模型偽譜法正演模擬產生的邊界干擾波也具有較好的吸收效果。

圖11 Marmousi模型采用不同邊界條件得到的波場快照(5600ms)a SPML邊界; b 復合吸收邊界; c 圖11a中紅色虛線窗口放大顯示結果; d圖11b中紅色虛線窗口放大顯示結果

圖13 Marmousi模型地震記錄波形對比a SPML邊界; b 復合吸收邊界

4 結論

本文將SPML邊界與海綿吸收邊界相結合,提出了一種適用于偽譜法彈性波數值模擬的復合吸收邊界條件,有效提高了對接近平行于邊界傳播的大角度邊界入射波的吸收能力,并得到如下結論和認識:①理論分析顯示,SPML邊界對大角度入射波衰減能力不足;②將常規(guī)海綿吸收邊界的衰減函數由一維變化改進為二維變化可以有效吸收平行于邊界傳播的地震波;③復合吸收邊界繼承了SPML對小角度入射波的良好吸收效果,且對大角度入射波的吸收效果優(yōu)于SPML邊界。

本文提出的復合吸收邊界數值實現過程較為方便,理論上既可以應用于偽譜法正演模擬,也可以應用于有限差分、有限元等格式的地震波數值模擬中,在不進行復雜數學推導的情況下提高了對邊界干擾波的吸收能力。

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