張金環(huán)

兩角差的余弦公式的教學(xué)在三角恒等變換中是開(kāi)頭一節(jié)，本節(jié)課的教學(xué)，對(duì)于后面的兩角和的余弦以及兩角和與差的正弦公式都有很強(qiáng)的引領(lǐng)作用，開(kāi)啟了利用向量方法研究角度問(wèn)題的先例，在三角恒等變換一章中占有很重要的地位；同時(shí)，由于本節(jié)課特殊的教學(xué)視角，在省、市舉行的基本功比賽中，這節(jié)課經(jīng)常作為比賽課題，本人就這節(jié)課面對(duì)全組數(shù)學(xué)教師上了一節(jié)公開(kāi)課，覺(jué)得還有很多要探究的地方，于是，我又查閱了中數(shù)參考文獻(xiàn)[1][2][3]，加上自己教學(xué)中的一些感悟，談幾點(diǎn)對(duì)本節(jié)課的看法.

兩角差的余弦公式是一節(jié)概念公式探究課，探究的重點(diǎn)是公式的推導(dǎo).課本上給出了推導(dǎo)兩角差的余弦公式的兩種方法：一是用三角形全等和距離公式來(lái)構(gòu)造三角恒等關(guān)系式.如圖

P0（1，0），P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cos（α-β），sin（α-β）

由=得[cos（α-β）-1]2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

化簡(jiǎn)得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

另一種方法是利用向量的數(shù)量積來(lái)推導(dǎo)，步驟如下：

在直角坐標(biāo)系中，以x軸為始邊作α，β角，其終邊分別為射線(xiàn)OP1，OP2，其中P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ）分別為其終邊與單位圓的交點(diǎn)，則∠P1OP2=α-β.

設(shè)向量==（cosα，sinα），==（cosβ，sinβ），則·=cos（α-β）=cos（α-β）.

另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有·=cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

應(yīng)該說(shuō)，無(wú)論是距離公式法還是向量法學(xué)生都很難想到，有的學(xué)生就在課堂上提出疑問(wèn)：怎么想到用距離相等來(lái)證明的？我怎么看不出=？有的學(xué)生雖然沒(méi)有直接提出問(wèn)題，從他們困惑的眼神可以看出學(xué)生的茫然，而且這種方法里涉及的α，β，α-β角的范圍還是在[0，π]內(nèi)，教材上也沒(méi)有對(duì)這個(gè)問(wèn)題作詳細(xì)的說(shuō)明，而這與高中階段將角度推廣到任意角的思想是不符合的，因此以上思想可以作為備用方法，在公式推導(dǎo)完后由教師指導(dǎo)學(xué)生完成以上證明.而利用向量法來(lái)證明兩角差的余弦公式，也是很突兀的，就像是魔術(shù)師的帽子里突然跳出一只兔子.因此，教學(xué)中的情景引入很重要，啟發(fā)學(xué)生的思維，讓他們一步步地意識(shí)到可以利用向量數(shù)量積來(lái)研究向量的夾角問(wèn)題.好在學(xué)生剛剛學(xué)完向量，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)還比較熟悉，知識(shí)儲(chǔ)備很完善，具體可以從以下幾個(gè)方面去拓展教學(xué).

1.如何讓學(xué)生想到利用向量法推導(dǎo)公式

教學(xué)時(shí)，遵循從特殊到一般的原則，先證明α-β∈[0，π]時(shí)的情形，可以先提出幾個(gè)問(wèn)題作為鋪墊：

（1）如何在坐標(biāo)系中放置α，β角？

（2）已知α，β的三角函數(shù)值求cos（α-β）時(shí)，α-β可以看成什么角？

（3）前面學(xué)習(xí)的哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)涉及夾角問(wèn)題？

（4）由向量的運(yùn)算法則知：（cosx，sinx）·（1，1）如何按定義展開(kāi)？

2.是否需要對(duì)角α-β與（，）的關(guān)系進(jìn)行探究？

文[1][2][3]對(duì)這個(gè)問(wèn)題都進(jìn)行了探討，其中文[1]認(rèn)為不必過(guò)多討論，[2][3]持贊同意見(jiàn)，在這里不一一贅述.需不需要進(jìn)行探究，可以放到課堂上檢驗(yàn).當(dāng)我講解了α-β∈[0，π]的情形得到兩角差的余弦公式后，有學(xué)生提出疑問(wèn)：老師，當(dāng)α-β∈[π，2π]時(shí)該怎么辦？我說(shuō)你覺(jué)得呢？他思考了一下說(shuō)可以考慮利用三角函數(shù)的周期性減去一個(gè)周期2π.馬上又有學(xué)生提出來(lái)：減一個(gè)周期2π，α-β∈[-π，0]，還不在（，）的范圍內(nèi)，怎么辦？看來(lái)，這個(gè)問(wèn)題不解決，學(xué)生在這節(jié)課上所得到的只能是對(duì)公式的死記硬背，更不要提對(duì)公式的活學(xué)活用了.

3.當(dāng)α-β？埸[0，π]時(shí)公式的證明

文[1]中對(duì)α-β∈[0，π]的情形已作了證明，在這里就不贅述了.

下面討論α-β∈[π，2π]，則α-β-π∈[0，π]，此時(shí)cos（α-β-π）=-cos（α-β）

另一方面，cos（α-β-π）中的α-β-π∈[0，π]可以利用兩角和與差的余弦公式展開(kāi)：cos（α-β-π）=cos（α-π）cosβ+sin（α-π）sinβ=-cosαcosβ-sinαsinβ

即-cos（α-β）=-cosαcosβ-sinαsinβ

所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

同理當(dāng)α-β∈[-π，0]時(shí)

則α-β+π∈[0，π]

cos（α-β+π）=-cos（α-β）

又cos（α-β+π）=cos（α+π）cosβ+sin（α+π）sinβ

=-cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

當(dāng)α-β∈[2π，+∞]及（-∞，-2π）時(shí)，則可以利用cos（α-β+2kπ）=cos（α-β）解決.

cos（α-β+2kπ）=cos（α-β）

=cos[（2kπ-β）+α]=cosαcosβ+sinαsinβ

4.有沒(méi)有其他方法證明？

利用余弦定理、兩點(diǎn)間距離證明.

如圖，2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2，

=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）

在△OP1P2中，P1P22=OP12+OP22-2OP1OP2cos（α-β）

∴P1P22=1+1-2cos（α-β）

∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

以上是兩角差的余弦公式一節(jié)需要探究的幾個(gè)點(diǎn)，本節(jié)課的關(guān)鍵是如何通過(guò)已學(xué)的知識(shí)，如三角函數(shù)的定義，平面向量的數(shù)量積，余弦定理等，通過(guò)解析法，把幾個(gè)條件通過(guò)恰當(dāng)?shù)耐茖?dǎo)，得到余弦公式的過(guò)程.對(duì)于文中提到的1、2、3、4幾個(gè)問(wèn)題，可以作為本節(jié)的拓展內(nèi)容，對(duì)學(xué)生來(lái)講既是一種知識(shí)的升華，又提供給學(xué)生寬廣的探索空間.可以說(shuō)，只有順利地解決了以上幾個(gè)問(wèn)題，才能讓學(xué)生真正有所悟，從而收到好的教學(xué)效果.美國(guó)心理學(xué)家布魯納說(shuō)“探索是數(shù)學(xué)的生命線(xiàn)”.一堂概念公式探究課，教師在充分備課的基礎(chǔ)上，以學(xué)生自主探究活動(dòng)為主線(xiàn)，教師精講點(diǎn)撥為輔線(xiàn)，真正讓學(xué)生體會(huì)到如何探究，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并在探究的過(guò)程中，獲得自己獨(dú)有的情感體驗(yàn).這樣的課堂，才是真實(shí)的，才具有生命力，讓我們共同為這樣的數(shù)學(xué)課堂而努力吧！

參考文獻(xiàn)：

[1]漆林偉.“兩角差的余弦公式”教學(xué)中的幾個(gè)問(wèn)題的再思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（9）

[2]姚強(qiáng).這節(jié)課要不要探究：“兩角和與差的余弦”聽(tīng)課反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2012（9）：72

[3]洪昌強(qiáng)，陳淑麗.讓學(xué)生的思維在教學(xué)中自然流淌：以“兩角和與差的余弦公式”教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（1/2）：25-27.

？誗編輯 郭小琴